1. Számsorozatok fogalma
Bizonyos szabály szerint folytatódó számok egymásutánját számsorozatoknak nevezzük.
pl.
2;3;5;7;11; ... = prímszámok sorozata
1;3;5;7; ... = páratlan pozitív egész számok
1;4;9;16; ... = négyzetszámok
pl.
2;3;5;7;11; ... = prímszámok sorozata
1;3;5;7; ... = páratlan pozitív egész számok
1;4;9;16; ... = négyzetszámok
2. Indexezés
A számsorozatok jelölésére az ábécé kis betűit használjuk.
A számsorozatok tagokból állnak.
Minden tagnak van egy sorszáma (indexe), amely megmutatja, hogy hányadik az adott tag a számsorban.
A számsorozatok tagokból állnak.
Minden tagnak van egy sorszáma (indexe), amely megmutatja, hogy hányadik az adott tag a számsorban.
A sorszámot a sorozatot jelölő betű jobb alsó sarkába tett szám jelzi.
pl.
a1 = 2;
a2 = 3;
a3 = 5;
...
pl.
a1 = 2;
a2 = 3;
a3 = 5;
...
3. Fontos indexek
A sorozatok általában az 1. indexű taggal kezdődnek, kivéve néhány esetet, amikor az indexezés a nulladik taggal kezdődik. (Ez elsősorban az informatikában fordul elő.)
Jelölés szempontjából fontos szerepe van az n. tagnak.
Az n. tag a számsorozat általános tagja.
A számsorozatokat az általános tag kapcsos zárójelbe tételével jelöljük.
pl.
{an} = prímszámok
{bn} = pozitív páratlan egész számok
{cn} = négyzetszámok
Az n. tag a számsorozat általános tagja.
A számsorozatokat az általános tag kapcsos zárójelbe tételével jelöljük.
pl.
{an} = prímszámok
{bn} = pozitív páratlan egész számok
{cn} = négyzetszámok
4. Képzési szabály, képlet
A képzési szabály segítségével adhatjuk meg egyértelműen a sorozatokat, hiszen egy elkezdett sorozatra sokféle szabály illeszthető, így sokféleképpen folytatható.
A számsorozatot nagyon gyakran képlet segítségével adjuk meg.
A képletben az n mint változó szerepel.
Az n értéke pozitív egész szám (esetleg természetes szám) lehet.
pl.
an = 2·n + 1, n = pozitív egész szám
bn = n², n = pozitív egész szám
A képletben az n mint változó szerepel.
Az n értéke pozitív egész szám (esetleg természetes szám) lehet.
pl.
an = 2·n + 1, n = pozitív egész szám
bn = n², n = pozitív egész szám
A számsorozat bármely tagja a képletbe való behelyettesítéssel egyértelműen meghatározható.
pl.
an = 2*n +1
a1 = 2*1 + 1 = 3
a2 = 2*2 + 1 = 5
a3 = 2*3 + 1 = 7
...
pl.
an = 2*n +1
a1 = 2*1 + 1 = 3
a2 = 2*2 + 1 = 5
a3 = 2*3 + 1 = 7
...
5. A számsorozatok és a függvények kapcsolata
Ennek megfelelően elmondhatjuk, hogy a számsorozatok nem mások, mint a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvények.
A számsorozatok a függvényeken kívül még hasonlóságot mutatnak
A számsorozatok a függvényeken kívül még hasonlóságot mutatnak
- a halmazokkal,
- és a statisztikai adatokkal is.
6. Számunkra fontos számsorozatok
Négy sorozatnak van jelentősége a hétköznapi életben:
- a számtani sorozatnak,
- a mértani sorozatnak,
- a konstans sorozatnak,
- és a Fibonacci-sorozatnak.
A számtani sorozat olyan számsorozat, amely lineárisan (egyenletesen) változik: mindig ugyanannyival nő vagy csökken.
pl.
1;2;3;4;... (mindig ugyanannyival nő)
10;8;6;... (mindig ugyanannyival csökken)
speciális eset:
3;3;3;... (nem változik, azaz konstans)
pl.
1;2;3;4;... (mindig ugyanannyival nő)
10;8;6;... (mindig ugyanannyival csökken)
speciális eset:
3;3;3;... (nem változik, azaz konstans)
A mértani sorozat olyan számsorozat, amely exponenciálisan (gyorsulva) változik: mindig ugyanannyi-szorosára nő vagy csökken.
pl.
1;2;4;8; ... (mindig ugyanannyi-szorosára nő)
1;1/2;1/4;1/8; ... (mindig ugyanannyi-szorosára csökken)
speciális eset:
3;3;3; ... (nem változik, azaz konstans)
pl.
1;2;4;8; ... (mindig ugyanannyi-szorosára nő)
1;1/2;1/4;1/8; ... (mindig ugyanannyi-szorosára csökken)
speciális eset:
3;3;3; ... (nem változik, azaz konstans)
A konstans sorozat felfogható számtani sorozatként és mértani sorozatként is.
A Fibonacci-sorozat a képzési szabálya miatt érdekes.
Az olyan sorozatokat, amelyeket úgy képzünk, hogy meghatározzuk a kezdő értékeket és megadjuk, hogy az általános tag hogyan függ az őt megelőző értékektől rekurzív sorozatoknak nevezzük.
A Fibonacci sorozat képzési szabálya:
a1 = 1
a2 = 1
an = an-1 + an-2 (tehát az előző két tag összege)
a3 = 1 + 1 = 2
a4 = 1 + 2 =3
a5 = 2 + 3 = 5
Az olyan sorozatokat, amelyeket úgy képzünk, hogy meghatározzuk a kezdő értékeket és megadjuk, hogy az általános tag hogyan függ az őt megelőző értékektől rekurzív sorozatoknak nevezzük.
A Fibonacci sorozat képzési szabálya:
a1 = 1
a2 = 1
an = an-1 + an-2 (tehát az előző két tag összege)
a3 = 1 + 1 = 2
a4 = 1 + 2 =3
a5 = 2 + 3 = 5
7. Feladatok:
1. Határozd meg a sorozat adott indexű értékét! Ha nem egész az érték, akkor tized pontosságra kerekíts!an=(5*n)/(n+4)
a4 = ? (2,5)
a5 = ? (2,78)
a20 = ?(4,17)
bn= (-1)^n
b4 = ?(1)
b5 = ?(-1)
b20 = ?(1)
c1 = 2
c2 = 3
cn = cn-1 - cn-2
c3 = ?(1)
c4 = ?(-2)
c5 = ?(-3)
