1. A számtani sorozat jellemzői
A számtani sorozatról tudjuk, hogy mindig ugyanannyival nő, vagy csökken.Azt a számot, amely megadja, hogy a sorozat mennyivel nő vagy csökken a sorozat különbségének, differenciájának nevezzük.
Az elnevezés onnan származik, hogy a számtani sorozat bármely két egymást követő tagjának a különbsége állandó.
A számtani sorozatot alapesetben az első taggal és a differenciával szokás megadni.
pl.
Ha a1 = 2 és d = 3, akkor a sorozat:
2;5;8;...
2. A számtani sorozat n. tagjának meghatásozása
Adott az a1 = 2; d = 3 paraméterekkel jellemzett sorozat.
Írjuk fel a sorozat első öt tagját!
A sorozatokkal kapcsolatos feladatokat (kis elemszám esetén) megoldhatjuk az általános iskolából ismert lépegetéses (Mórickás) módszerrel is.
1. lépés:
Húzzunk vonalakat, amelyekre számokat írunk:
__ __ __ __ __
2. lépés:
Adjuk meg az alapparamétereket:
2 __ __ __ __
\ / \ / \ / \ /
d = + 3 +3 +3 +3
3. lépés:
Lépegessünk!
2 5 8 11 14
\ / \ / \ / \ /
d = + 3 +3 +3 +3
Képlet:
Általános tag meghatározása:
1. an=a1+(n-1)⋅d
Az n. tagot úgy határozzuk meg, hogy kiindulunk az első tagból, és (n - 1)-szer hozzáadjuk a differencia értékét!
a5=2+(5-1)⋅3=2+4⋅3=2+12=14
Ez a képlet nagyon hasonlít az y = m*x + b hozzárendelési szabályhoz, amely a lineáris függvény hozzárendelési szabálya.
3. Mitől számtani a számtani sorozat?
Két szám számtani átlaga a számok összege osztva kettővel.A számtani sorozat három egymást követő tagjára érvényes tétel:
A középső tag egyenlő a két szélső tag számtani átlagával.
A számtani sorozat ezen elemei így is felírhatók:
x - d x x + d
x-d+x+d2=2⋅x2=x
Számtani sorozat-e?
an=2⋅n+5 (I)
bn=n2-1 (N)
cn=2-n2 (I)
dn=5 (I)
en=n2-4n+2 (I)
4. A számtani sorozat összegképlete
Adott az a1 = 2; d = 3 paraméterekkel jellemzett sorozat.
Adjuk meg a sorozat első öt tagjának az összegét!
1. módszer:
Ha a tagokat felsoroltuk, akkor adjuk őket össze:
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
Jelölés:
Sn = a sorozat első n tagjának az összege.
2. módszer:
Csináljunk a sorozatból egy konstans sorozatot!
2 + +14 = 16 = 2*8
5 + +11 = 16 = 2*8
8
Tehát a kiegyenlített (átlagolt) sorozat:
8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40.
3. módszer:
Képlettel:
Első n tag összegképlete:
2.Sn=n⋅a1+an2
Az első n tag összege egyenlő n-szer az első és utolsó tag számtani átlaga.
3. Sn=n⋅2⋅a1+(n-1)⋅d2
(Ez a képlet az 1. és a 2. képlet összevonásából született)
(Ezt használjuk az összetettebb feladatokban)
5. Alap feladattípusok:
Képletek:
1. an=a1+(n-1)⋅d
2. Sn=n⋅a1+an2
3. Sn=n⋅2⋅a1+(n-1)⋅d2
2. Sn=n⋅a1+an2
3. Sn=n⋅2⋅a1+(n-1)⋅d2
1. típus: Sima képletbehelyettesítés
1.
a1=2
d=3
a10=?
an=a1+(n-1)⋅d
a10=2+(10-1)⋅3
a10=2+9⋅3=2+27
a10=29
2. típus: Képletrendezés.
Vagy az an, vagy az Sn képletéből indulunk ki, attól függően, hogy melyik van megadva.
2.
a1=2
a10=29
d=?
an=a1+(n-1)⋅d
29=2+(10-1)⋅d |-2
27=9⋅d |:9
d=3
3.
a1=2
S10=155
d=?
Sn=n⋅2⋅a1+(n-1)⋅d2
155=10⋅2⋅2+(10-1)⋅d2 |:5
31=4+9⋅d |-4
27=9⋅d |:3
d=3
4.
d=3
a10=29
a1=?
an=a1+(n-1)⋅d
29=a1+(10-1)⋅3
29=a1+9⋅3=a1+27 |-27
a1=2
5.
d=3
S10=155
a1=?
Sn=n⋅2⋅a1+(n-1)⋅d2
155=10⋅2⋅a1+(10-1)⋅32 |:5
31=2⋅a1+9⋅3=2⋅a1+27 |-27
4=2⋅a1 |:2
a1=2
3. típus: Hányadik eleme, eleme-e?
Nem egész értékű megoldás esetén az adott szám nem tagja a sorozatnak.
6.
a1=2
d=3
an=29
n=?
an=a1+(n-1)⋅d
29=2+(n-1)⋅3 |-2
27=(n-1)⋅3
9=n-1 |+1
n=10
4. típus: Másodfokúra vezető egyenlet.
7.
a1=2
d=3
Sn=155
n=?
4. típus: Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.
Esetleg a kezdőindexhez való igazodás.
8.
a10=29
a20=59
a1=?
d=?
1. módszer:
an=a1+(n-1)⋅d
1. 29=a1+(10-1)⋅d
2. 59=a1+(20-1)⋅d
2.-1. 59-29=19⋅d-9⋅d |Összevonás
30=10⋅d |:10
d=3
29=a1+9⋅3 |-27
a1=2
2. módszer:
a20=a10+10⋅d
59=29+10⋅d |-29
30=10⋅d |:10
d=3
1. Egy cirkusz nézőtere trapéz alakú.
Minden sorban néggyel több hely van, mint az előzőben.
Hányan ülhetnek le az utolsó, nyolcadik sorban, ha az első sorban húsz szék van?
(48)
2.
Módosítsuk úgy a feladatot, hogy egy futballstadion egy szektorának első sorában hatvan szék van, és minden sorban kettővel nő az ülőhelyek száma.
Hányan férnek el a harmincadik sorban?
(118)
3.
Tegyük fel, hogy ebben a stadionban huszonkét teljesen egyforma szektor van, és minden szektorban negyven sor.
Összesen hány férőhelyes az aréna?
(3976*24 = 87120)
4.
Egy áruházban tizenöt sorban piramisszerűen tornyozták egymásra a konzervdobozokat.
Felfelé haladva minden sorban ugyanannyival volt kevesebb doboz.
Géza a hatodik sorban huszonnyolc, a tizenegyedik sorban tizenhárom dobozt számolt meg.
Hány konzervet raktak egymásra?
(330)
5.
Zsófi kapott egy könyvet a születésnapjára.
Elhatározta, hogy tíz nap alatt elolvassa.
Zsófi az olvasás mellett a matekot is szereti.
Kiszámolta, hogy ha az első napon tíz oldalt olvas, majd minden nap ugyanannyival emeli az adagot, akkor a tizedik napra negyvenhat oldal marad.
Hány oldalas Zsófi könyve?
(280)
1. Egy könyvszekrény hat polca közül a legfelsőn 22 könyv van, és minden további polcon 4-gyel több, mint a felette levőn.
Hány könyv van ebben a könyvszekrényben? (192db)
2. Egy nagymama 2,5méter hosszú sálat köt az unokájának. Az első napon 16cm-t köt, majd minden nap ugyanannyival többet, mint az előzőn.
Hányadik napon készül el, ha az utolsó napra 34cm marad? (10. napon)
Mennyivel köt többet a nagymama, mint az előzőn? (2cm)
3. Egy színház nézőterén soronként a székek száma egyenletesen nő. A 6. sorban 48, a 10. sorban 60 ülőhely van. Hány hely van az első sorban? (33 db)
Matek gyorstalpaló:
1. Határozzuk meg a számtani sorozat 39. tagjának értékét,
ha adott a1 = 1 és d = 2!
77
2. Határozzuk meg a számtani sorozat 39. tagjának összegét,
ha adott a1 = 1 és d = 2!
1521
3. Egy számtani sorozat első tagja 5, második tagja 8.
a. Adja meg a sorozat 80-adik tagját!
242
b. Tagja-e a sorozatnak a 2005?
nem
c. A sorozat első n tagjának összege 1550. Mekkora az n értéke?
31
4. Egy számtani sorozat hatodik tagja 30, a tizenegyedik tagja 10.
a. Mekkora az első tag?
50
b. Mekkora a differencia értéke?
-4
c. Mennyi az első 50 tag összege?
-2400
