sdt
zanza.tv
1. A gömb fogalma, származtatása:
A gömb adott ponttól (középpont), adott távolságra (sugár) levő pontok halmaza a térben.A gömböt úgy is származtathatjuk, hogy egy kört az átmérője mentén megforgatunk:
1. A görögök szerint a legtökéletesebb mértani test.
2. A gömb felszíne nem teríthető ki síkba.
3. A felszín és térfogat képlete Arkhimédésztől származik.
2. A gömb jellemzői:
d => r: (0.)`color(red)(r = d/2)`
r => A: (1.)
`color(red)(A = 4*r^2*pi)`
r => V: (2.)
`color(red)(V = 4/3*r^3*pi)`
3. Mintafeladatok:
Gömb esetén három adat van (r,A,V).Ha az egyik ismert, akkor a másik kettő már egyértelműen meghatározható.
Ez három különböző lehetőséget jelent.
1. eset: r => A,V
`color(red)(A = 4*r^2*pi)`
`color(red)(V = 4/3*r^3*pi)`
2. eset: A => r: (3.)
`color(blue)(r = sqrt(A/(4*pi)))`
3. eset: V = > r: (4.)
`color(blue)(r = root(3)((3*V)/(4*pi)))`
1. r = 5
A = ?
V = ?
Megoldás:A = ?
V = ?
`A = 4*5^2*3,14 = 314`
`V = 4/3*5^3*3,14 = 523,33`
2. A = 200
r = ?
V = ?
Megoldás:r = ?
V = ?
`r = sqrt(200/(4*3,14))= 3,99`
`V = 4/3*3,99^3*3,14 = 265,94`
3. V = 1500
r = ?
A = ?
Megoldás:r = ?
A = ?
`r = root(3)((3*1500)/(4*3,14)) = 7,1`
`A=4*7,1^2*3,14 = 265,94`
4. Gömb és más testek kapcsolata (beírt és köré írt gömb)
1. Feladat:
Kockából gömb
Egy 10 cm oldalhosszúságú fakockából a lehető legnagyobb térfogatú gömböt szeretnénk kifaragni. Hány százalék a hulladék?
A kocka élhossza a gömb átmérőjével egyezik meg.Ennek megfelelően r = 5cm.
Kocka térfogata:
`V_k =10^3 =1000cm^3`
Gömb térfogata:
`V_g = 4/3*5^3*3,14 = 523,33cm^3`
Hulladék térfogata:
`V_h = V_k - V_g`
`V_h = 1000-523,33=476,67cm^3`
veszteségarány = A veszteség térfogata per a kiindulási test térfogata.
`V_h/V_k = (476,67)/1000 = 0,477 = 47,7%`
2. Feladat:
Gömbbe kocka
Mekkora az a oldalhosszúságú kocka köré írható gömb sugara?
Ábra: A gömb átmérője a kocka testátlójával egyenlő.
`f = a*sqrt(3)`
`R = f/2 = a*sqrt(3)/2`
3. Feladat:
Kúpba gömb
Egy egyenes kúp alapkörének átmérője 10 egység, minden alkotója 13 egység.
Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a kúp belsejében van és érinti a kúp alaplapját és minden alkotóját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Mekkora a gömb felszíne, térfogata?
Megoldás: Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a kúp belsejében van és érinti a kúp alaplapját és minden alkotóját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Mekkora a gömb felszíne, térfogata?
Ábra:
Vágjuk ketté a gömböt tartalmazó kúpot.
A síkmetszetek: egyenlő szárú háromszög és főkör.
1. A kúp alapkörének átmérőjéből határozzuk meg a kúp sugarát!
`d_k = 2*r_k` (1.)
`r_k = d_k/2 = 10/2 = 5`
2. A sugár és az alkotó ismeretében számoljuk ki Pitagorasz-tétellel a kúp magasságát! `r_k^2 + m_k^2 = a_k^2` (2.)
`m_k^2 = a_k^2 - r_k^2`
`m_k^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144`
` m_k = sqrt(144) = 12`
3. Hasonlóság segítségével határozzuk meg a gömb sugarát!
CVB△∼OEC△ (Szögeik egyenlők):
Arányok:
`r_g/r_k = (m_k - r_g)/a_k` (3.) kényszerfeltétel
`r_g/5 = (12-r_g)/13`
`13*r_g = 5*(12-r_g)`
`13*r_g = 60 -5*r_g`
`18*r_g = 60`
`r_g = 60/18 = 10/3`
4. Határozzuk meg a gömb felszínét!
`A_g = 4*r_g^2*pi` (4.)
`A_g = 4*(10/3)^2*3,14 = 139,63`
5. Határozzuk meg a gömb térfogatát!
`V_g = 4/3*r_g^3*pi` (5.)
`V_g = 4/3*(10/3)^3*3,14 = 155`
4. feladat:
Gúlába gömb
Hatoldalú szabályos gúla alapélei 8 egység hosszúak, magassága 11 egység.
Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a gúla belsejében van és érinti minden lapját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Megoldás:Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a gúla belsejében van és érinti minden lapját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Előlnézeti kép:
1. Határozzuk meg az alaplapi szabályos kis háromszög magasságát (`m_(ah)`)! `m_(ah) = a_(ah)*sqrt(3)/2` (1.) szabályos háromszög
`m_(ah) = 4*sqrt(3) cm`
2. Határozzuk meg az oldallapi egyenlő szárú nagy háromszög magasságát (`m_(oh)`)! `m_(ah)^2 +m_g^2 =m_(oh)^2` (2.)
`m_(oh) =sqrt(121+16*3) = 13cm`
Keresztmetszeti kép:
kicsi befogó : nagy befogó = kicsi átfogó : nagy átfogó
`r_g/m_(ah)=(m_g-r)/m_(oh)` (3.) kényszerfeltétel
`r/(4*sqrt(3))=(11-r)/13`
`13*r = 44*sqrt(3) - 4*sqrt(3)*r`
`(13-4*sqrt(3))*r=44*sqrt(3)`
`r=(44*sqrt(3))/(13-4*sqrt(3))`
`r=(44*13*sqrt(3)+44*4*3)/(169-48)=`
`=(4*13*sqrt(3)+16*3)/11=(52*sqrt(3)+48)/11`
`r=3,82cm`
5. feladat:
Gömbből gömb
Olyan fél kg tömör vasgolyót tervezünk, amely belül üres, falvastagsága mindenütt egyenlő, külső átmérője 12 cm.
Mekkora legyen a falvastagsága?
(a vas sűrűsége 7,86 g/cm³).
Megoldás:Mekkora legyen a falvastagsága?
(a vas sűrűsége 7,86 g/cm³).
Feladatok:
1. Határozzuk meg a külső sugár értékét!
`r_k = d_k/2`
`r_k = 12/3 = 6cm`
2. Határozzuk meg a belső sugár értékét!
`r_b = r_k - x`
Keresztmetszeti ábra:
3. Írjuk fel a golyó térfogatképletét!
`V_(golyó)=V_(külső)-V_(belső)`
`V_g = 4/3*r_k^3*pi -4/3*(r_k -x)^3*pi`
`V_g = 4/3*3,14*(6^3 - (6-x)^3)`
4. Fejezzük ki a golyó térfogatát a tömeg és a sűrűség segítségével!
m = 0,5kg = 500g
ϱ = 7,86 g/cm³
`ϱ = m/V`
`V=m/ϱ `
`V_g = 500/(7,86)`
5. A két mennyiség egyenlőségéből számoljuk ki az x-et!
`4/3*3,14*(6^3 - (6-x)^3) = 500/(7,86)`
`6^3 - (6-x)^3 = (500*3)/(7,86*4*3,14)`
`216 - (6-x)^3 = 15,19`
`(6-x)^3 = 200,81`
6-x=5,86
x=6-5,86 = 0,15cm
6. Feladat:
Hengerbe gömb
Egy 15cm magas henger alakú pohár alapkörének sugara 4cm.
A pohár félig van vízzel.
Mennyivel emelkedik a víz szintje, ha beledobunk egy 2cm sugarú acélgolyót?
A pohár félig van vízzel.
Mennyivel emelkedik a víz szintje, ha beledobunk egy 2cm sugarú acélgolyót?
A megoldás menete:
1. A golyó a saját térfogatának megfelelő térfogatú vízet szorít ki. (Vg=Vh)
2. Számoljuk ki a golyó térfogatát! (Vg = ?)
3. Legyen az vízszintemelkedés mértéke = x
4. A henger térfogatképletébe behelyettesítve határozzuk meg az x értékét!
Megoldás:
`V_g =4/3*2^3*3,14 = 33,49cm^3`
`V_h =4^2*3,14*x`
`V_g=V_h`
50,24*x = 33,49
x = 0,67cm
Házi feladatok
1. A Föld felszínének 70,8%-a víz. Mekkora a szárazföld területe, ha a bolygónkat 6380km sugarú gömbnek tekintjük?2. Hány liter levegő fér egy 41cm átmérőjű strandlabdába?
3. Egy 50cm sugarú, 75cm magas henger alakú edényben viasz van, amelyekből 7cm sugarú gömb alakú gyertyákat öntünk. Hány db készítéséhez van elegendő alapanyagunk?
