Matek 12: július 2022

2022. július 31., vasárnap

19. Kúppal kapcsolatos feladatok

Kúppal kapcsolatos feladatok

Milyen képletek jellemzik a gúlát?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legyen az alapél hossza a, magassága m.

r² + m² = a²

sin α = r/a
cos α = m/a
tg α = r/m

A = r²·π + r·π·a
A = r·π·(r + a)

V = r²·π·m/3

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

2 paramétercsoport van: (r,m,a,α)(A,V).
Vagyishogy lényegében 4paraméter az, ami lényegi: r,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6

Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott r,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott r,A
3. Adott r,V

4. Adott a,A → másodfokú egyenlet! (m,A = túl bonyolult!!)
5. Adott m,V

6. Adott A,V → bonyolult másodfokú háromismeretlenes egyenletrendszer!!

Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.

Mintafeladatok

1. Egy kúp sugarának hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
m = 5cm
a = ?
α = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
a = √r² + m²
α = tan-1 r/m
A = r·π(r + a)
V = r²·π·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √3² + 5² = 5.83cm
α = tan-1 3/5 = 30.96°
A = 3·3,14·(3 + 5.83) = 83.23cm²
V = 3²·3,14·5/3 = 47.12cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

2. Egy kúp sugarának hossza 3 cm. A felszíne 85cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
A = 85cm²
a = ?
m = ?
α = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

Az A képletéből indulunk ki!
A = r·π(r + a) |/r/π
A/r/π = r + a |-r
a = A/r/π -r

m = √a² - r²
α = tan-1 r/m
V = r²·π·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = 85/3/3,14 -3 = 6.02cm
m = √6.02² - 3² = 5.22cm
α = tan-1 3/5.22 = 29.90°
V = 3²·3,14·5.22/3 = 49.18cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

3. Egy kúp sugarának nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 15 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterek?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3 cm
V = 15 cm³
m = ?
a = ?
α = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = 3·V/r²/π
a = √r² + m²
α = tan-1 r/m
A = r·π(r + a)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 3·15/3²/3,14 = 1.59cm
a = √3² + 1.59² = 3.40cm
α = tan-1 3/1.59 = 62.05°
A = 3·3,14·(3 + 3.40) = 60.28cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

4. Egy kúp alkotájának a nagysága 6 cm. A felszíne 85 cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterek?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 6 cm
A = 85 cm²
r = ?
m = ?
α = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: r² +a·r - A/π = 0
mfa = 1
mfb = a
mfc = -A/π
r = (-mfb + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)

m = √a² - r²
α = tan-1 (r/m)
V = r²·π·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
r = 3.00cm
m = √6² - 3.00² = 5.19cm
α = tan-1 3.00/5.19 = 30.05°
V = 3.00²·3,14·5.19/3 = 49.10cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

5. Egy kúp magasságának a nagysága 5 cm. A térfogata 150 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 5 cm
V = 150 cm³
r = ?
a = ?
α = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
r = √0,955·V/m
a = √r² + m²
α = tan-1 r/m
A = r·π·(r + a)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = √0,955·150/5 = 5.35cm
a = √5.35² + 5² = 7.32cm
α = tan-1 5/5.35 = 46.95°
A = 5.35·3,14·(5.35 + 7.32) = 213.16cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

Nézzünk meg még egy érdekes esetet!

Ha A és m van megadva, akkor:

$r^2 + m^2 = a^2 |-r^2$

$1. m^2 = a^2 - r^2 = (a+r)(a-r)$

$2. A/pi = r^2 + r*a = r(a+r)$
Osszuk el egymással az egyenleteket: (1./2.)

$m^2*pi/A =(a-r)/r$

$(m^2*pi/A)*r = a - r$

$(m^2*pi/A+1)*r = a$
visszahelyettesítések:

$r^2 + m^2 = (m^2*pi/A+1)^2*r^2$

$m^2 = ((m^2*pi/A+1)^2-1)*r^2$
1.

$r = m/sqrt((m^2*pi/A+1)^2-1)$
vagy

$A/pi = r^2 + r^2*(m^2*pi/A+1) = r^2*(m^2*pi/A+2)$
2.

$r =sqrt((A/pi)/(m^2*pi/A+2))$

Ellenőrizzük, hogy ugyanarra az eredményre vezetnek, ha A = 83,23cm² és m = 5cm.
1.

$r = 5/sqrt((5^2*(3,14)/(83,23)+1)^2-1) = 5/(1,6661) = 3cm$
2.

$r =sqrt(((83,23)/(3,14))/(5^2*(3,14)/(83,23)+2)) = 3cm$

Nézzünk meg még egy érdekes esetet!

Ha A és V van megadva, akkor:
A.

$r^2 + m^2 = a^2$ →

$r^2 = a^2 - m^2$
B.

$A = r^2*pi + r*pi*a$ →

$a = (A -r^2*pi)/(r*pi)$ →

$a^2 = (A - r^2*pi)^2/(r*pi)^2$
C.

$V = (r^2*pi*m)/3$ →

$m = (3*V)/(r^2*pi)$ →

$m^2 = (3*V)^2/(r^2*pi)^2$

$(A - r^2*pi)^2/(r^2*pi^2) - (3*V)^2/(r^4*pi^2) = r^2 |*(r^4*pi^2)$

$r^2*(A - r^2*pi)^2 - 9*V^2 = r^2*(r^4*pi^2)$

$r^2*(A^2 - 2*r^2*pi*A +r^4*pi^2) - 9*V^2 = r^6*pi^2$

$r^2*A^2 - 2*r^4*pi*A +r^6*pi^2 - 9*V^2 = r^6*pi^2|-r^6*pi^2$

$- 2*r^4*pi*A +r^2*A^2 - 9*V^2 = 0$
Ez az eset egy másodfokú egyenletre vezet!
Ellenőrzés: Legyen A = 83.23cm² és V = 47.12cm³. Határozzuk meg r és m értékét!
Másodfokú egyenlet: -2·3,14·83,23·r⁴ + 83,23²·r² -9·47,12² = 0
-522,6844r⁴ +6927,2329r² - 19982,6496 = 0 |:(-522,6844)
r⁴ -13,2532r² +38,2308 = 0

$(r^2)_1 = (13,2532+sqrt(13,2532^2-4*38,2308))/2$ → r₁ = 3cm

$(r^2)_2 = (13,2532-sqrt(13,2532^2-4*38,2308))/2$ → r₂ = 2,06cm

$m_1 = (3*47,12)/(9*3,14) = 5cm$

$m_2 = (3*47,12)/(4,24*3,14) = 10,6cm$

Tesztfeladatok

1. Egy kúp sugarának hossza 11 cm. A magassága 16cm.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
α = °
A = cm²
V = cm³

2. Egy kúp sugarának hossza 7 cm. A felszíne 498cm².
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
m = cm
α = °
V = cm³

3. Egy kúp sugarának nagysága 8cm. A térfogatának a nagysága 1072 cm³.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
a = cm
α = °
A = cm²

4. Egy kúp alkotájának a nagysága 21 cm. A felszíne 616 cm².
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
m = cm
α = °
V = cm³

5. Egy kúp magasságának a nagysága 18 cm. A térfogata 75 cm³.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
a = cm
α = °
A = cm²

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.

18. Kúp

Kúp

Mi a kúp? Hogyan származtatjuk?

A kúp alaplapja egy körlap.
Az alaplap síkján kívül van a felső csúcspont.
A kúpot úgy származtatjuk, hogy a felső csúcspontot összekötjük a körvonal egy tetszőleges pontjával (így egy alkotóhoz jutunk),
majd a tetszőleges pontot végigmozgatjuk a körvonal egészén.
Ha a felső csúcspont a kör középpontja felett helyezkedik el,
- akkor egyenes kúpról,
- ellenkező esetben ferde kúpról beszélünk.

A körüljáratásos származtatás mellett létezik egy forgatásos módszer is, amellyel forgáskúpot kapunk.
Ilyenkor
- vagy egy derékszögű háromszöget forgatunk meg a befogója körül,
- vagy egy egyenlő szárú háromszöget, a szimmetriatengelye körül.
A forgatás során érintett pontokból áll a forgáskúp.
forgaskup

Melyek a forgáskúp jellemzői?

Pontok:
O = az alaplap körének középpontja
P = a felső csúcspont
A,B = az alaplap két átellenes pontja

Távolságok:
r = az alaplap körének sugara
m = a testmagasság
a = alkotó hossza

Szögek:
α = a kúp nyílásszögének a fele

Milyen képletekkel jellemezhető a kúp?

Pitagorasz-tétel:

r² + m² = a²

Szögfüggvények:

sin α = r/a
cos α = m/a
tg α = r/m

Felszín:

A = T + P
T = r²·π
A palást egy körcikk, melynek a területe a háromszög területéhez hasonlóan számolható:
P = 2·r·π·a/2 = r·π·a

A = r²·π + r·π·a
A = r·π(r + a)

Térfogat:

V = T·m/3 (gúlához hasonlóan)
V = r²·π·m/3

Mi a helyzet a ferdekúppal?

A ferdekúp esetén két jellemző alkotó van:
a(min) = a legrövidebb alkotó
a(max) = a leghosszabb alkotó
ferd kup

a palást alakja sem lesz körcikk, hanem inkább ellipsziscikk:
halo ferdkupe

ennek megfelelően az egyenes és a ferdekúp felszíne eltér egymástól.

Az egyenes és a ferdekúp térfogata viszont egyenlő Cavalieri-elv (rétegenkénti eltolhatóság) miatt.

Hogyan szerkezthető meg a kúp palástja?

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Hogyan származtatható a kúp?
2. Miben tér el egymástól az egyenes és a ferdekúp?
3. Mit nevezünk alkotónak?
4. Mit tudunk a ferde kúp alkotójáról?
5. Miért a nyílásszög felével szogtunk dolgozni?
6. Milyen alakzatokból áll a kúp hálója?
7. Hogyan számoljuk ki a palást területét?
8. Hogyan számoljuk ki a ferdekúp térfogatát?
9. Mi a hasonlóság a gúla és a kúp térfogatképlete között?
10. Ha egy nagyonsok oldalú szabályos gúla köré és belírható kúpokat szerkesztünk
és megvizsgáljuk ezek felszínét és térfogatát, mit mondhatunk róluk?

2022. július 30., szombat

17. Speciális gúlák

Speciális gúlák

Mit tudunk a szabályos sokszög alapú gúlák megnevezéséről?

Elnevezések:
Szabályos háromszög alapú gúla = szabályos, háromoldalú gúla.
Négyzet alapú gúla = szabályos, négyoldalú gúla.
Szabályos ötszög alapú gúla = szabályos, ötoldalú gúla.
...
Gyakran fordul elő a szabályos, háromoldalú gúla megnevezés vessző nélkül is: szabályos háromoldalú gúla.
Ez az elnevezés egy kicsit értelemzavaró lehet, mert a szabályos és a háromoldalú jelző is a gúlára vonatkozik.

Mi jellemzi a szabályos háromoldalú gúlát?

Felülnézet:

Nézzük meg az általános esetet!

1. ismeret:
Ha az alaplapot derékszögű háromszögekre bontjuk, akkor a derékszögű háromszög egyik szöge meghatározható,
mert ez a teljes szögnek felének az n-ed része.

α = 360°/2/n = 180°/n

2. ismeret:
A derékszögű háromszög oldalait is ismerjük:
befogók: (a/2) = az alaplap oldalhosszának a fele és r = az alaplapba beleírható kör sugara.
átfogó: R
3. ismeret:
A derékszögű háromszögű háromszögre felírható a Pitagorasz-tétel:

(a/2)² + r² = R²

4. ismeret:
Írjuk fel a szögfüggvényeket:

sin α = (a/2)/R
cos α = r/R
tg α = (a/2)/r

5. ismeret:
Derékszögű háromszögekre az első ábrán:

R² + m² = b²
r² + m² = mo²
(a/2)² + mo² = b²

6. ismeret:
Felszín:

T = derékszögű háromszög területe = (a/2)·r/2
A = 2·n·T + n·a·mo/2
A = n·a·r/2 + n·a·mo/2

7. ismeret:
Térfogat:

V = n·a·r·m/6

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos háromoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
α = 180°/3 = 60°
r = 1,5/tg 60° = 0,866cm
R = 1,5/sin 60° = 1,7321cm
mo = √0,866² +5² = 5,0744cm
A = 3·3·0,866/2 + 3·3·5,0744/2 = 24,78cm²
V = 3·3·0,866·5/6 = 6,495cm³

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos négyoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
α = 180°/4 = 45°
r = 1,5/tg 45° = 1,5cm
R = 1,5/sin 45° = 2,1213cm
mo = √1,5² +5² = 5,22cm
A = 4·3·1,5/2 + 4·3·5,22/2 = 40,32cm²
V = 4·3·1,5·5/6 = 15cm³

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos hatoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
α = 180°/6 = 30°
r = 1,5/tg 30° = 2,5981cm
R = 1,5/sin 30° = 3cm
mo = √2,5981² +5² = 5,6347cm
A = 6·3·2,5981/2 + 6·3·5,6347/2 = 74,0952cm²
V = 6·3·2,5981·5/6 = 38,9715cm³

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos nyolcoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
α = 180°/8 = 22,5°
r = 1,5/tg 22,5° = 3,62132cm
R = 1,5/sin 22,5° = 3,9197cm
mo = √3,62132² +5² = 6,1737cm
A = 8·3·3,62132/2 + 8·3·6,1737/2 = 117,54024cm²
V = 8·3·3,62132·5/6 = 72,4264cm³

Ellenőrző kérdések:

1. Egy szabályos háromoldalú gúla alapélének hossza 13cm, magassága 15cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³

2. Egy szabályos ötoldalú gúla alapélének hossza 13cm, magassága 15cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³

3. Egy szabályos hatoldalú gúla alapélének hossza 13cm, magassága 15cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³

4. Egy szabályos nyolcoldalú gúla alapélének hossza 13cm, magassága 15cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³

Eredmény:
0/8

2022. július 29., péntek

16. Gúlával kapcsolatos számolásos feladatok

Gúla

Milyen képletek jellemzik a gúlát?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legyen az alapél hossza a, magassága m.

(a/2)² + m² = mo²
sin α = m/mo
cos α = (a/2)/mo
tg α = m/(a/2)

a²/2 + m² = b²
sin β = m/b
cos β = a·0,7071/b
tg β = 1,4142·m/a

(a/2)² + mo² = m²
sin γ = mo/b
cos γ = a·0,5/b
tg γ = 2·m0/a

A = a² + 2·a·mo
V = a²·m/3

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

2 paramétercsoport van: (a,m,mo,b,α,β,γ)(A,V).
Vagyishogy lényegében 4paraméter az, ami lényegi: a,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6

Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,A
3. Adott a,V

4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V

6. Adott A,V → bonyolult básodfokú háromismeretlenes egyenletrendszer!!

Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.

Mintafeladatok

1. Egy gúla alapélének hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
m = 5cm
mo = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
mo = √(a/2)² + m²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
A = a² + 2·a·mo
V = a²·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
mo = √(3/2)² + 5² = cm
b = √3²/2 + 5² = cm
α = tan-1 5/(3/2) = °
β = tan-1 1,4142·5/3 = °
γ = tan-1 2·/3 = °
A = 3² + 2·3· = cm²
V = 3²·5/3 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

2. Egy gúla alapélének hossza 3 cm. A felszíne 50cm².
Mekkora a gúla magassága, testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
A = 50cm²
mo = ?
m = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

Az A képletéből indulunk ki!
A = a² + 2·a·mo | - a²
A - a² = 2·a·mo |/2/a
(A - a²)/2/a = mo

mo = (A - a²)/2/a
m = √mo² - (a/2)²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
V = a²·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
mo = (50 - 3²)/2/3 = cm
m = √² - (3/2)² = cm
b = √3²/2 + ² = cm
α = tan-1 /(3/2) = °
β = tan-1 1,4142·/3 = °
γ = tan-1 2·/3 = °
V = 3²·/3 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

3. Egy gúla alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 20 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterek?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3 cm
V = 20 cm³
m = ?
mo = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = 3·V/a²
mo = √(a/2)² + m²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
A = a² + 2·a·mo
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 3·20/3² = cm
mo = √(3/2)² + ² = cm
b = √3²/2 + ² = cm
α = tan-1 /(3/2) = °
β = tan-1 1,4142·/3 = °
γ = tan-1 2·/3 = °
A = 3² + 2·3· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

4. Egy gúla oldallapjának magassága 5 cm. A felszíne 50 cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterek?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
mo = 5 cm
A = 50 cm²
a = ?
m = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: a² +2·mo·a - A = 0
mfa = 1
mfb = 2·mo
mfc = -A
a = (-b + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)

m = √mo² - (a/2)²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
V = a²·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = cm
m = √5² - (/2)² = cm
b = √²/2 + 5² = cm
α = tan-1 /(/2) = °
β = tan-1 1,4142·/ = °
γ = tan-1 2·5/ = °
V = ²·/3 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

5. Egy gúla magasságának a nagysága 25 cm. A térfogata 350 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 25 cm
V = 350 cm³
a = ?
mo = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √3·V/m
mo = √(a/2)² + m²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
A = a² + 2·a·mo
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √3·350/25 = cm
mo = √(/2)² + 5² = cm
b = √²/2 + 5² = cm
α = tan-1 5/(/2) = °
β = tan-1 1,4142·5/ = °
γ = tan-1 2·/ = °
A = ² + 2·· = cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

Tesztfeladatok

1. Egy gúla alapélének hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
V = cm³

2. Egy gúla alapélének hossza 3 cm. A felszíne 50cm².
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
mo = cm
m = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
V = cm³

3. Egy gúla alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 20 cm³.
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²

4. Egy gúla oldalmagassága 5 cm. A felszíne 50 cm².
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
m = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
V = cm³

5. Egy gúla magasságának a nagysága 25 cm. A térfogata 350 cm³.
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.