17. Speciális gúlák

Speciális gúlák

Mit tudunk a szabályos sokszög alapú gúlák megnevezéséről?

Elnevezések:
Szabályos háromszög alapú gúla = szabályos, háromoldalú gúla.
Négyzet alapú gúla = szabályos, négyoldalú gúla.
Szabályos ötszög alapú gúla = szabályos, ötoldalú gúla.
...
Gyakran fordul elő a szabályos, háromoldalú gúla megnevezés vessző nélkül is: szabályos háromoldalú gúla.
Ez az elnevezés egy kicsit értelemzavaró lehet, mert a szabályos és a háromoldalú jelző is a gúlára vonatkozik.

Mi jellemzi a szabályos háromoldalú gúlát?

Felülnézet:

Nézzük meg az általános esetet!

1. ismeret:
Ha az alaplapot derékszögű háromszögekre bontjuk, akkor a derékszögű háromszög egyik szöge meghatározható,
mert ez a teljes szögnek felének az n-ed része.

 α = 360°/2/n = 180°/n

2. ismeret:
A derékszögű háromszög oldalait is ismerjük:
befogók: (a/2) = az alaplap oldalhosszának a fele és r = az alaplapba beleírható kör sugara.
átfogó: R
3. ismeret:
A derékszögű háromszögű háromszögre felírható a Pitagorasz-tétel:

 (a/2)² + r² = R²

4. ismeret:
Írjuk fel a szögfüggvényeket:

  sin α = (a/2)/R
  cos α = r/R
  tg α = (a/2)/r

5. ismeret:
Derékszögű háromszögekre az első ábrán:

 R² + m² = b²
 r² + m² = mo²
 (a/2)² + mo² = b²

6. ismeret:
Felszín:

 T = derékszögű háromszög területe = (a/2)·r/2
 A = 2·n·T + n·a·mo/2
 A = n·a·r/2 + n·a·mo/2

7. ismeret:
Térfogat:

 V = n·a·r·m/6

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos háromoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
 α = 180°/3 = 60°
 r = 1,5/tg 60° = 0,866cm
 R = 1,5/sin 60° = 1,7321cm
 mo = √0,866² +5² = 5,0744cm
 A = 3·3·0,866/2 + 3·3·5,0744/2 = 24,78cm²
 V = 3·3·0,866·5/6 = 6,495cm³

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos négyoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
 α = 180°/4 = 45°
 r = 1,5/tg 45° = 1,5cm
 R = 1,5/sin 45° = 2,1213cm
 mo = √1,5² +5² = 5,22cm
 A = 4·3·1,5/2 + 4·3·5,22/2 = 40,32cm²
 V = 4·3·1,5·5/6 = 15cm³

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos hatoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
 α = 180°/6 = 30°
 r = 1,5/tg 30° = 2,5981cm
 R = 1,5/sin 30° = 3cm
 mo = √2,5981² +5² = 5,6347cm
 A = 6·3·2,5981/2 + 6·3·5,6347/2 = 74,0952cm²
 V = 6·3·2,5981·5/6 = 38,9715cm³

Alkalmazzuk a képleteket a szabályos nyolcoldalú gúlára!

Tegyük fel, hogy adott a = 3cm és m = 5cm paraméterek!
 α = 180°/8 = 22,5°
 r = 1,5/tg 22,5° = 3,62132cm
 R = 1,5/sin 22,5° = 3,9197cm
 mo = √3,62132² +5² = 6,1737cm
 A = 8·3·3,62132/2 + 8·3·6,1737/2 = 117,54024cm²
 V = 8·3·3,62132·5/6 = 72,4264cm³

Ellenőrző kérdések:

1. Egy szabályos háromoldalú gúla alapélének hossza 14cm, magassága 15cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³


2. Egy szabályos ötoldalú gúla alapélének hossza 13cm, magassága 9cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³


3. Egy szabályos hatoldalú gúla alapélének hossza 4cm, magassága 14cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³


4. Egy szabályos nyolcoldalú gúla alapélének hossza 4cm, magassága 8cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?
A = cm²
V = cm³


Eredmény:
0/8