Gúla
Milyen képletek jellemzik a gúlát?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legyen az alapél hossza a, magassága m.
(a/2)² + m² = mo²
sin α = m/mo
cos α = (a/2)/mo
tg α = m/(a/2)
a²/2 + m² = b²
sin β = m/b
cos β = a·0,7071/b
tg β = 1,4142·m/a
(a/2)² + mo² = m²
sin γ = mo/b
cos γ = a·0,5/b
tg γ = 2·m0/a
A = a² + 2·a·mo
V = a²·m/3
sin α = m/mo
cos α = (a/2)/mo
tg α = m/(a/2)
a²/2 + m² = b²
sin β = m/b
cos β = a·0,7071/b
tg β = 1,4142·m/a
(a/2)² + mo² = m²
sin γ = mo/b
cos γ = a·0,5/b
tg γ = 2·m0/a
A = a² + 2·a·mo
V = a²·m/3
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
2 paramétercsoport van: (a,m,mo,b,α,β,γ)(A,V). Vagyishogy lényegében 4paraméter az, ami lényegi: a,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,A
3. Adott a,V
4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V
6. Adott A,V → bonyolult básodfokú háromismeretlenes egyenletrendszer!!
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
Mintafeladatok
1. Egy gúla alapélének hossza 3 cm. A magassága 5cm. Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
m = 5cm
mo = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
mo = √(a/2)² + m²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
A = a² + 2·a·mo
V = a²·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
mo = √(3/2)² + 5² = 5.22cm
b = √3²/2 + 5² = 5.43cm
α = tan-1 5/(3/2) = 73.30°
β = tan-1 1,4142·5/3 = 67.01°
γ = tan-1 2·5.22/3 = 73.97°
A = 3² + 2·3·5.22 = 40.32cm²
V = 3²·5/3 = 15.00cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy gúla alapélének hossza 3 cm. A felszíne 50cm².
Mekkora a gúla magassága, testátlója és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
A = 50cm²
mo = ?
m = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Az A képletéből indulunk ki!
A = a² + 2·a·mo | - a²
A - a² = 2·a·mo |/2/a
(A - a²)/2/a = mo
mo = (A - a²)/2/aA = a² + 2·a·mo | - a²
A - a² = 2·a·mo |/2/a
(A - a²)/2/a = mo
m = √mo² - (a/2)²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
V = a²·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
mo = (50 - 3²)/2/3 = 6.83cm
m = √6.83² - (3/2)² = 6.67cm
b = √3²/2 + 6.67² = 7.00cm
α = tan-1 6.67/(3/2) = 77.32°
β = tan-1 1,4142·6.67/3 = 72.35°
γ = tan-1 2·6.83/3 = 77.62°
V = 3²·6.67/3 = 20.00cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy gúla alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 20 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterek?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3 cm
V = 20 cm³
m = ?
mo = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = 3·V/a²
mo = √(a/2)² + m²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
A = a² + 2·a·mo
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 3·20/3² = 6.67cm
mo = √(3/2)² + 6.67² = 6.83cm
b = √3²/2 + 6.67² = 7.00cm
α = tan-1 6.67/(3/2) = 77.32°
β = tan-1 1,4142·6.67/3 = 72.35°
γ = tan-1 2·6.83/3 = 77.62°
A = 3² + 2·3·6.83 = 50.00cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy gúla oldallapjának magassága 5 cm. A felszíne 50 cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterek?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
mo = 5 cm
A = 50 cm²
a = ?
m = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: a² +2·mo·a - A = 0
mfa = 1
mfb = 2·mo
mfc = -A
a = (-b + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
m = √mo² - (a/2)²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
V = a²·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = 3.66cm
m = √5² - (3.66/2)² = 4.65cm
b = √3.66²/2 + 5² = 5.32cm
α = tan-1 4.65/(3.66/2) = 68.53°
β = tan-1 1,4142·4.65/3.66 = 60.92°
γ = tan-1 2·5/3.66 = 69.90°
V = 3.66²·4.65/3 = 62.34cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy gúla magasságának a nagysága 25.00 cm. A térfogata 350 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 25 cm
V = 350 cm³
a = ?
mo = ?
b = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √3·V/m
mo = √(a/2)² + m²
b = √a²/2 + m²
α = tan-1 m/(a/2)
β = tan-1 1,4142·m/a
γ = tan-1 2·mo/a
A = a² + 2·a·mo
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √3·350/25 = 6.48cm
mo = √(6.48/2)² + 5² = 25.21cm
b = √6.48²/2 + 5² = 25.42cm
α = tan-1 5/(6.48/2) = 82.61°
β = tan-1 1,4142·5/6.48 = 79.61°
γ = tan-1 2·25.21/6.48 = 82.68°
A = 6.48² + 2·6.48·25.21 = 368.75cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy gúla alapélének hossza 4 cm. A magassága 11cm.
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
V = cm³
2. Egy gúla alapélének hossza 7 cm. A felszíne 278cm².
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
mo = cm
m = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
V = cm³
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
mo = cm
m = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
V = cm³
3. Egy gúla alapélének nagysága 2cm. A térfogatának a nagysága 27 cm³.
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
4. Egy gúla oldalmagassága 12 cm. A felszíne 145 cm².
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
m = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
V = cm³
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
m = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
V = cm³
5. Egy gúla magasságának a nagysága 11 cm. A térfogata 92 cm³.
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
Határozzuk meg a gúla többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
mo = cm
b = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm²
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
