Kúp
Mi a kúp? Hogyan származtatjuk?
A kúp alaplapja egy körlap. Az alaplap síkján kívül van a felső csúcspont.
A kúpot úgy származtatjuk, hogy a felső csúcspontot összekötjük a körvonal egy tetszőleges pontjával (így egy alkotóhoz jutunk),
majd a tetszőleges pontot végigmozgatjuk a körvonal egészén.
Ha a felső csúcspont a kör középpontja felett helyezkedik el,
- akkor egyenes kúpról,
- ellenkező esetben ferde kúpról beszélünk.
A körüljáratásos származtatás mellett létezik egy forgatásos módszer is, amellyel forgáskúpot kapunk.
Ilyenkor
- vagy egy derékszögű háromszöget forgatunk meg a befogója körül,
- vagy egy egyenlő szárú háromszöget, a szimmetriatengelye körül.
A forgatás során érintett pontokból áll a forgáskúp.


Melyek a forgáskúp jellemzői?
O = az alaplap körének középpontja
P = a felső csúcspont
A,B = az alaplap két átellenes pontja
Távolságok:
r = az alaplap körének sugara
m = a testmagasság
a = alkotó hossza
Szögek:
α = a kúp nyílásszögének a fele
Milyen képletekkel jellemezhető a kúp?
Pitagorasz-tétel:
r² + m² = a²
Szögfüggvények:
sin α = r/a
cos α = m/a
tg α = r/m
Felszín: cos α = m/a
tg α = r/m

A = T + P
T = r²·π
A palást egy körcikk, melynek a területe a háromszög területéhez hasonlóan számolható:
P = 2·r·π·a/2 = r·π·a
A = r²·π + r·π·a
A = r·π(r + a)
Térfogat: A = r·π(r + a)
V = T·m/3 (gúlához hasonlóan)
V = r²·π·m/3
V = r²·π·m/3
Mi a helyzet a ferdekúppal?
A ferdekúp esetén két jellemző alkotó van: a(min) = a legrövidebb alkotó
a(max) = a leghosszabb alkotó

a palást alakja sem lesz körcikk, hanem inkább ellipsziscikk:

ennek megfelelően az egyenes és a ferdekúp felszíne eltér egymástól.
Az egyenes és a ferdekúp térfogata viszont egyenlő Cavalieri-elv (rétegenkénti eltolhatóság) miatt.
Hogyan szerkezthető meg a kúp palástja?

Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Hogyan származtatható a kúp? 2. Miben tér el egymástól az egyenes és a ferdekúp?
3. Mit nevezünk alkotónak?
4. Mit tudunk a ferde kúp alkotójáról?
5. Miért a nyílásszög felével szogtunk dolgozni?
6. Milyen alakzatokból áll a kúp hálója?
7. Hogyan számoljuk ki a palást területét?
8. Hogyan számoljuk ki a ferdekúp térfogatát?
9. Mi a hasonlóság a gúla és a kúp térfogatképlete között?
10. Ha egy nagyonsok oldalú szabályos gúla köré és belírható kúpokat szerkesztünk
és megvizsgáljuk ezek felszínét és térfogatát, mit mondhatunk róluk?