Kúppal kapcsolatos feladatok
Milyen képletek jellemzik a gúlát?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legyen az alapél hossza a, magassága m.
r² + m² = a²
sin α = r/a
cos α = m/a
tg α = r/m
A = r²·π + r·π·a
A = r·π·(r + a)
V = r²·π·m/3
sin α = r/a
cos α = m/a
tg α = r/m
A = r²·π + r·π·a
A = r·π·(r + a)
V = r²·π·m/3
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
2 paramétercsoport van: (r,m,a,α)(A,V). Vagyishogy lényegében 4paraméter az, ami lényegi: r,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott r,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott r,A
3. Adott r,V
4. Adott a,A → másodfokú egyenlet! (m,A = túl bonyolult!!)
5. Adott m,V
6. Adott A,V → bonyolult másodfokú háromismeretlenes egyenletrendszer!!
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
Mintafeladatok
1. Egy kúp sugarának hossza 3 cm. A magassága 5cm. Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
m = 5cm
a = ?
α = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
a = √r² + m²
α = tan-1 r/m
A = r·π(r + a)
V = r²·π·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √3² + 5² = 5.83cm
α = tan-1 3/5 = 30.96°
A = 3·3,14·(3 + 5.83) = 83.23cm²
V = 3²·3,14·5/3 = 47.12cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy kúp sugarának hossza 3 cm. A felszíne 85cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
A = 85cm²
a = ?
m = ?
α = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Az A képletéből indulunk ki!
A = r·π(r + a) |/r/π
A/r/π = r + a |-r
a = A/r/π -r
m = √a² - r² A = r·π(r + a) |/r/π
A/r/π = r + a |-r
a = A/r/π -r
α = tan-1 r/m
V = r²·π·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = 85/3/3,14 -3 = 6.02cm
m = √6.02² - 3² = 5.22cm
α = tan-1 3/5.22 = 29.90°
V = 3²·3,14·5.22/3 = 49.18cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy kúp sugarának nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 15 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterek?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3 cm
V = 15 cm³
m = ?
a = ?
α = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = 3·V/r²/π
a = √r² + m²
α = tan-1 r/m
A = r·π(r + a)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 3·15/3²/3,14 = 1.59cm
a = √3² + 1.59² = 3.40cm
α = tan-1 3/1.59 = 62.05°
A = 3·3,14·(3 + 3.40) = 60.28cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy kúp alkotájának a nagysága 6 cm. A felszíne 85 cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterek?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 6 cm
A = 85 cm²
r = ?
m = ?
α = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: r² +a·r - A/π = 0
mfa = 1
mfb = a
mfc = -A/π
r = (-mfb + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
m = √a² - r²
α = tan-1 (r/m)
V = r²·π·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
r = 3.00cm
m = √6² - 3.00² = 5.19cm
α = tan-1 3.00/5.19 = 30.05°
V = 3.00²·3,14·5.19/3 = 49.10cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy kúp magasságának a nagysága 5 cm. A térfogata 150 cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 5 cm
V = 150 cm³
r = ?
a = ?
α = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
r = √0,955·V/m
a = √r² + m²
α = tan-1 r/m
A = r·π·(r + a)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = √0,955·150/5 = 5.35cm
a = √5.35² + 5² = 7.32cm
α = tan-1 5/5.35 = 46.95°
A = 5.35·3,14·(5.35 + 7.32) = 213.16cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Nézzünk meg még egy érdekes esetet!
Ha A és m van megadva, akkor:`r^2 + m^2 = a^2 |-r^2`
`1. m^2 = a^2 - r^2 = (a+r)(a-r)`
`2. A/pi = r^2 + r*a = r(a+r)`
Osszuk el egymással az egyenleteket: (1./2.)
`m^2*pi/A =(a-r)/r`
`(m^2*pi/A)*r = a - r`
`(m^2*pi/A+1)*r = a`
visszahelyettesítések:
`r^2 + m^2 = (m^2*pi/A+1)^2*r^2`
`m^2 = ((m^2*pi/A+1)^2-1)*r^2`
1. `r = m/sqrt((m^2*pi/A+1)^2-1)`
vagy
`A/pi = r^2 + r^2*(m^2*pi/A+1) = r^2*(m^2*pi/A+2)`
2. `r =sqrt((A/pi)/(m^2*pi/A+2))`
Ellenőrizzük, hogy ugyanarra az eredményre vezetnek, ha A = 83,23cm² és m = 5cm.
1. `r = 5/sqrt((5^2*(3,14)/(83,23)+1)^2-1) = 5/(1,6661) = 3cm`
2. `r =sqrt(((83,23)/(3,14))/(5^2*(3,14)/(83,23)+2)) = 3cm`
Nézzünk meg még egy érdekes esetet!
Ha A és V van megadva, akkor:A.`r^2 + m^2 = a^2` →`r^2 = a^2 - m^2`
B.`A = r^2*pi + r*pi*a` → `a = (A -r^2*pi)/(r*pi)` →`a^2 = (A - r^2*pi)^2/(r*pi)^2`
C.`V = (r^2*pi*m)/3` →`m = (3*V)/(r^2*pi)` →`m^2 = (3*V)^2/(r^2*pi)^2`
`(A - r^2*pi)^2/(r^2*pi^2) - (3*V)^2/(r^4*pi^2) = r^2 |*(r^4*pi^2)`
`r^2*(A - r^2*pi)^2 - 9*V^2 = r^2*(r^4*pi^2)`
`r^2*(A^2 - 2*r^2*pi*A +r^4*pi^2) - 9*V^2 = r^6*pi^2`
`r^2*A^2 - 2*r^4*pi*A +r^6*pi^2 - 9*V^2 = r^6*pi^2|-r^6*pi^2`
`- 2*r^4*pi*A +r^2*A^2 - 9*V^2 = 0`
Ez az eset egy másodfokú egyenletre vezet!
Ellenőrzés: Legyen A = 83.23cm² és V = 47.12cm³. Határozzuk meg r és m értékét!
Másodfokú egyenlet: -2·3,14·83,23·r4 + 83,23²·r² -9·47,12² = 0
-522,6844r4 +6927,2329r² - 19982,6496 = 0 |:(-522,6844)
r4 -13,2532r² +38,2308 = 0
`(r^2)_1 = (13,2532+sqrt(13,2532^2-4*38,2308))/2` → r1 = 3cm
`(r^2)_2 = (13,2532-sqrt(13,2532^2-4*38,2308))/2` → r2 = 2,06cm
`m_1 = (3*47,12)/(9*3,14) = 5cm`
`m_2 = (3*47,12)/(4,24*3,14) = 10,6cm`
Tesztfeladatok
1. Egy kúp sugarának hossza 3 cm. A magassága 22cm.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
α = °
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
α = °
A = cm²
V = cm³
2. Egy kúp sugarának hossza 6 cm. A felszíne 287cm².
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
m = cm
α = °
V = cm³
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
m = cm
α = °
V = cm³
3. Egy kúp sugarának nagysága 11cm. A térfogatának a nagysága 2027 cm³.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
a = cm
α = °
A = cm²
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
a = cm
α = °
A = cm²
4. Egy kúp alkotájának a nagysága 20 cm. A felszíne 138 cm².
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
m = cm
α = °
V = cm³
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
m = cm
α = °
V = cm³
5. Egy kúp magasságának a nagysága 7 cm. A térfogata 264 cm³.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
a = cm
α = °
A = cm²
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
a = cm
α = °
A = cm²
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
