Sorozatokkal kapcsolatos feladatok
Milyen fajta (alapfüggvényeken alapuló) képzési szabályok fordulnak elő feladatokban?
1. Típus: Lineáris kifejezés mint képzési szabály: an = a·n + b , ahol a,b ∈ Z
A lineáris kifejezés rekurzióban is előfordul:
a1 = a, an = b·an-1 + c
2. Típus: Másod- vagy magassabbfokú kifejezés mint képzési szabály:
an = a·n² + b·n + c , ahol a,b,c ∈ Z
an = a·(n + b)² + c , ahol a,b,c ∈ Z
esetleg an = a·n³ + b·n² + c·n +d , ahol a,b,c,d ∈ Z
3. Típus: Abszolútértékes kifejezés mint képzési szabály:
an = a·|n + b| + c , ahol a,b,c ∈ Z
4. Típus: Törtes kifejezés mint képzési szabály:
an = (a·n + b)/(c·n + d) , ahol a,b,c,d ∈ Z
5. Típus: Exponenciális kifejezés mint képzési szabály:
an = a·bn + c, ahol a,b,c ∈ Z
an = (-1)n esetén alternáló (váltakozó) sorozatról beszélhetünk: -1;1;-1;1;...
Mintafeladatok
1. Egy számsorozat képzési szabálya an = 3·n -2.Határozzuk meg a sorozat első öt tagját és az első öt tag összegét!
Megoldás:
a1 = 3·1 -2 = 1
a2 = 3·2 -2 = 4
a3 = 3·3 -2 = 7
a4 = 3·4 -2 = 10
a5 = 3·5 -2 = 13
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 35
2. Egy számsorozat képzési szabálya an = 3·|n -2| +1.
Határozzuk meg a sorozat 12. és 37. tagját!
Hányadik tagja a sorozatnak a 139 és a 466?
Megoldás:
a12 = 3·|12 -2| +1 = 31
a37 = 3·|37 -2| +1 = 106
k1 = (139 -1)/3 +2 = 48
k2 = (466 -1)/3 +2 = 157
(Negatív szám nem lehet megoldás!)
3. Egy számsorozat képzési szabálya an = 3·(n -2)² +1.
A felsorolt számok közül melyik tagja a sorozatnak: 769; 1588; 1945; 2884?
Megoldás:
k1 = √(769 -1)/3 +2 = 18 ,vagyis igen, tagja a sorozatnak.
k2 = √(1588 -1)/3 +2 = 25 ,vagyis igen, tagja a sorozatnak.
k3 = √(1945 -1)/3 +2 = 27.45584412271571 ,vagyis nem tagja a sorozatnak.
k4 = √(2884 -1)/3 +2 = 33 ,vagyis igen, tagja a sorozatnak.
4. Egy számsorozat első tagja -3, képzési szabálya an = 3·an-1 +7.
Határozzuk meg a sorozat első öt tagját!
Megoldás:
a1 = -3
a2 = 3·-3 +7 = -2
a3 = 3·-2 +7 = 1
a4 = 3·1 +7 = 10
a5 = 3·10 +7 = 37
5. Egy számsorozat első öt tagja: 3; 7; 11; 15; 19; ...
Határozzuk meg a sorozat képzési szabályát!
Megoldás:
Mivel a sorozat egyenletesen nő, ezért a képzési szabálya a lineáris függvénynek felel meg!
an = a·n + b
Ha ezt az egyenletet felírjuk az első két tagra, akkor egy kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk.
1. 3 = a + b
2. 7 = 2·a + b
2.-1. a = 4
b = 3 -4 = -1
A képzési szabály: an = 4·n -1
Tesztfeladatok
1. Egy számsorozat képzési szabálya an = 7·n -5.
Határozzuk meg a sorozat első öt tagját és az első öt tag összegét!
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
S5 =
Határozzuk meg a sorozat első öt tagját és az első öt tag összegét!
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
S5 =
2. Egy számsorozat képzési szabálya an = 7·|n -7| +4.
Határozzuk meg a sorozat 12. és 37. tagját!
Hányadik tagja a sorozatnak a 361 és a 900?
a12 =
a37 =
k1 =
k2 =
Határozzuk meg a sorozat 12. és 37. tagját!
Hányadik tagja a sorozatnak a 361 és a 900?
a12 =
a37 =
k1 =
k2 =
3. Egy számsorozat képzési szabálya
an = 3·(n -3)² +1.
A felsorolt számok közül melyik tagja a sorozatnak:
2701; 1202; 1730; 868?
Ha nem eleme, akkor a sorszám = 0.
k1 = . eleme
k2 = . eleme
k3 = . eleme
k4 = . eleme
A felsorolt számok közül melyik tagja a sorozatnak:
2701; 1202; 1730; 868?
Ha nem eleme, akkor a sorszám = 0.
k1 = . eleme
k2 = . eleme
k3 = . eleme
k4 = . eleme
4. Egy számsorozat első tagja -6, képzési szabálya
an = 5·an-1 +1.
Határozzuk meg a sorozat első öt tagját!
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
Határozzuk meg a sorozat első öt tagját!
a1 =
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
5. Egy számsorozat első öt tagja:
16; -8; -32; -56; -80; ...
Határozzuk meg a sorozat képzési szabályát!
A képzési szabály:
an = ·n
Határozzuk meg a sorozat képzési szabályát!
A képzési szabály:
an = ·n
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
