Síkgeometria
alapelemek:
pont = rámutatásra szolgál = A,B, ...
egyenes = két sík metszete
félegyenes
szög
szögegység
szögmérték
szögfajták:
-nullszög, teljesszög
-egyenesszög
-derékszög
-hegyesszög
-tompaszög
-konvex szög
-konkáv szög
-forgásszög
szögpárok:
-párhuzamos szárú szögek
-egyállású szögek
-félig egyállású szögek
-mellékszögek (nem elkülönülő)
-pótszögek
-társszögek (elkülönülő)
-fordított állású szögek
-csúcsszögek
-váltószög
-merőleges szárú szög
-szögtartományon kivül levő csúcsú
-szögtartományon belül levő csúcsú
szakasz
távolságegység
hosszúság
számegyenes
valós számok
koordináta-rendszer
síkidomok:
általános háromszög:
jellemzők:
csúcsok: A, B, C
oldalak: a, b, c
háromszög egyenlőtlenségek
szögek: α, β, γ
oldalak és szögek közötti összefüggések
belső szögek összege
külső szögek összege
belső és külső szögek közötti kapcsolat
nevezetes pontok, vonalak:
súlyvonal, súlypont
középvonalak
oldalfelező merőlegesek, köré írható kör
Thalész-kör
szögfelező egyenesek, beleírt kör
magasságvonalak, magasságpont
magasságok talppontjai
kerülete: K
területe: T
T = oldalhossz·magasság/2
Héron-képlet
Trigonometrikus területképlet
oldalak és szögek közötti összefüggések:
koszinusz-tételek
szinusz-tételek
háromszögek egybevágóságának alapesetei
szimmetrikus háromszögek:
egyenlő oldalú (szabályos) △
egyenlő szárú △
háromszögek hasonlóságának alapesetei
párhuzamos szelők tétele
derékszögű háromszög
elnevezések:
α szöggel szemköszti befogó = a
α szög melletti befogó = b
átfogó = c
szögek közötti összefüggések
α + β = 90° (pótszögek)
oldalak közötti összefüggések
Pitagorasz-tétel: a² + b² = c²
magasságvonalra vonatkozó tételek:
m = magassághossz
p = a oldal merőleges vetülete
q = a oldal merőleges vetülete
c = p + q
p² + m² = a²
q² + m² = b²
a² = p·c, b² = q·c (befogótételek)
m² = p·q (magasságtétel)
szögek és oldalak közötti összefüggések (szögfüggvények):
sin α = a/c
cos α = b/c
tg α = a/b
négyszögek:
jellemzők:
belső szögek összege = 360°
fajtái:
-négyzet
K = 4a, T = a², e = 1,4142a (átlóhossz)
-téglalap
K = 2a + 2b, T = ab, e = √(a² + b²)
-rombusz
-paralelogramma
-derékszögű trapéz
-szimmetrikus|húrtrapéz
(a - c)²/4 + m² = b²
K = a +2b + c, T = m·(a + c)/2
-általános trapéz
-deltoid
(konvex és konkáv)
-általános négyszög
-húrnégyszögek
-érintőnégyszögek
szabályos sokszögek:
szimmetriatengelyek
szimmetriaközéppont
derékszögű háromszögek
α = 360°/(2n)
sokszög oldalszáma = n
sokszög oldalhossza = a
bele írható kör sugara = r
köré írható kör sugara = R
sin α = (a/2)/R → R = (a/2)/sin α
tg α = (a/2)/r → r = (a/2)/tg α
K = na, T = nar/2
kör
látókörív
Thalész-tétel általánosítása
jellemzők:
középpont = O
sugár = r
K = 2rπ
T = r²π
π ≈ 3,14159
átmérő = d
d = 2r
koncentrikus sugár = R
(körgyűrű)
körvonal = k
érintő = e
ívhossz = i
középponti szög = α
kerületi szög = β
i = α/360°·2rπ
körcikk (körgyűrűcikk)
T = α/360°·r²π
körszelet (körgyűrűszelet)
húr
érintő és szelőszakaszok tétele
transzformációk:
egybevágóságok
tengelyes tükrözés
tengelyes szimmetria
eltolás
vektorok (a, b, ...)
jellemzők:
kezdőpont, végpont
irány, hossz |a|
párhuzamos eltolhatóság
erővektor esetén szigorúbb feltételek érvényesek
speciális vektorok:
nullvektor (O)
egységvektor (e)
bázisvektorok (i,j)
helyvektor (v)
koordináták: v = v1·i + v2·j
hossz: |v| = √(v1² + v2²)
irányszög: α = tan-1 v2/v1 (1. síknegyed esetén)
műveletek vektorokkal:
számszoros (skalárszoros)
ellentett = (-1)-szeres
koordinátákkal:
c·a (c·a1, c·a2)
összegzés:
paralelogramma módszer
közös kezdőpontba helyezés
főátló berajzolása
háromszög/lánc-szabály:
egymás után helyezés
koordinátákkal:
a + b = (a1 + b1, a2 + b2)
kivonás:
paralelogramma módszer
közös kezdőpontba helyezés
mellékátló berajzolása (kisebbítendő irányába nyíl)
háromszög/lánc-szabály:
a és -b egymás után helyezése
koordinátákkal:
a - b = (a1 - b1, a2 - b2)
skaláris szorzat:
a·b = |a|·|b|·cos α
koordinátákkal:
a·b = a1·b1 + a2·b2
vektoriális szorzat:
jobb kéz szabály érvényes
elforgatás
forgásszimmetria
középpontos tükrözés
középpontos szimmetria
hasonlóság
középpontos hasonlóság (nagyítás, kicsinyítés)
