3. Számtani sorozat

Számtani sorozat

Mitől számtani a számtani sorozat?

Mi a közös a következő számsorozatokban?
{an} = 1; 2; 3; 4; ...
{bn} = 10; 8; 6; 4; ...
Megoldás: Mindkét sorozat mindig ugyanannyival nő, vagy csökken.

Azokat a számsorozatokat, amelyeknél bármely egymást követő két tag különbsége állandó számtani sorozatoknak nevezzük.
d = különbség/differencia
`d = a_n - a_(n-1)`

Más meghatározás szerint egy számsorozat számtani sorozat, ha három egymást követő tagjára teljesül,
hogy a két szélső tag számtani átlaga egyenlő a középső taggal.
`a_n = (a_(n-1)+a_(n+1))/2`
Ha a középső tag: x, akkor
az előző tag: x -d és
a következő tag: x +d
`x = (x +d + x -d)/2`

Hogyan adhatunk meg egy számtani sorozatot? (Mikor tekinthető egy számtani sorozat ismertnek?)

Ha adott egy számtani sorozat első tagja: a1 és a különbsége: d, akkor a számtani sorozat adottnak vehető.

Mit jelent ez?
Ez azt jelenti, hogy meghatározható:
- bármelyik (általános ennedik, vagy káadik) tagja: an, ak
- az első n, vagy k tag összege: Sn, Sk

Hogyan határozható meg egy számtani sorozat n-edik tagja?

Ha egy sorozat első néhány elemét kell meghatározni, akkor érdemes azt a számtani sorozat fogalma alapján lépegetéssel kiszámolni.

Képlet:
1. `color(red)(a_n = a_1 + (n-1)*d)`

Hogyan határozható meg az első n tag összegét!

Képletek:
2. `color(red)(S_n = n*(a_1+a_n)/2)`
Ez a képlet kiegyenlítés eredményeként jön létre.
Az első n tag összege egyenlő n-szer az első és utolsó tag számtani összegével.

Egyesítsük a két képletet!
3. `color(red)(S_n = ((2*a_1 +(n-1)*d)*n)/2)`

Mit nevezünk másodlagos számtani sorozatnak?

    2   __   __   __   __
     \ /  \ /  \ /  \ /
d1 =  +3   +5   +7   +9
        \ /  \ /  \ /  
d2 =    +2   +2    +2   

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. A páros pozitív egész számok számtani sorozatot alkotnak-e? Miért?
2. A négyzetszámok számtani sorozatot alkotnak-e? Miért?
3. Miben különbözik az elsődleges és a másodlagos számtani sorozat egymástól?
4. A konstans sorozat tekinthető-e számtani sorozatnak? Miért?
5. Melyik három paraméter határozz meg egy számtani sorozatot?
6. Hányszor kell hozzáadni az első taghoz a különbséget, hogy az n-edik taghoz jussunk?
7. Milyen összefüggés van egy számtani sorozat esetén bármely három egymást követő tag között?
8. Lehet-e minden esetben képlethasználat nélkül ellépegetni a sorozat n-edik tagjához? Miért?
9. Mit jelent az, hogy egy számtani sorozat első n tagjának az összegét két lépésben határozzuk meg?
10. Miért bonyolult az első n tag összevont összegképlete számtani sorozat esetén?