Függvények
jele: f,g, ...
Két halmaz között teremt szabályszerű kapcsolatot
ÉT = Értelmezési tartomány (Df) = kiindulási halmaz
minden elemhez hozzárendelünk elemet
ÉK = Értékkészlet (Rf) = hozzárendelési halmaz
minden elemhez csak egy elemet rendelünk hozzá
hozzárendelési szabály:
x = független változó (x ∈ ÉT)
y = f(x) = x-től függő változó (y ∈ ÉK)
megadása: pl.
x ↦ 2x + 1 (x-hez hozzárendeljük a kétszeresét meg még egyet)
y = 2x + 1, vagy
f(x) = 2x + 1
teljes alak: f: [-3;4] →R, x ↦ 2x + 1
[-3;4] = ÉT = a valós számok halmazának leszűkítése egy intervallumra
R = ÉK kitágítása a Valós számok halmazára, vagyis a képhalmazra
grafikonja:
ábrázoljuk koordináta rendszerben a függvényt!
az ábrázoláshoz használhatunk táblázatot, vagy az alapfüggvényt transzformáljuk
a függvény grafikonja nem tartalmazhat y tengellyel párhuzamos egyenest és visszakanyarodást
sorozatok esetén a grafikon diszkrét (egymástól elkülönülő) pontokból áll
lehet folytonos görbe/egyenes ⇔ szakadásos (fel kell emelni a ceruzánkat)
grafikonelemzés:
1. ÉT
szakadási helye = ahol a függvény nincs értelmezve
2. ÉK
Tartalmazó téglalapba foglalás
3. Szélső érték:
Maximum helye, értéke
Minimum helye, értéke
Korlátosság: maximum, minimum megléte
Határérték: a függvény asszimptotikusan|a végtelenben tart egy értékhez, megközelíti, de el nem éri
4. Zérushely: itt metszi az x tengelyt
y tengelmetszete
5. Menete:
intervallumok, ahol a függvény nő, csökken, nem változik
monotonitás = folyamatos a változás, nincs eltérő trend
szigorú monotonitás = folyamatos növekedés, vagy folyamatos csökkenés
invertálhatóság: a szigorúan monoton függvények tükrözése az y = x egyenesre
kovexitás:
Egy függvény konvex, ha az intervallumon a függvénygörbe bármely két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad.
Ellenkező esetben a függvény konkáv.
A konvexitás elsősorban arról tájékoztat, hogy a függvény gyorsulva, vagy lassulva változik.
inflexiós pont, ahol a függvény konvexitása megváltozik.
(szakadási pontban is változhat a konvexitás)
periódus = ismétlődés
paritás =
páros függvény (az y = x²-hez hasonlóan) y tengelyre tükrös
páratlan függvény (az y = x³-höz hasonlóan) origóra tükrös
grafikonkészítés, függvényábrázolás:
lineáris függvény:
inverze, ha van szintén lineáris függvény
alapfüggvény: y = x, képe: egyenes
hozzárendelési szabály:
y = mx + b
elemzés jobbról balra, előjeles karikázással
b = itt metszi az y tengelyt (start)
m = meredekség (1-et jobbra, m-t fel vagy le)
m = m1/m2 (m2-t jobbra, m1-t fel vagy le)
speciális esetek:
y = c konstans függvény = x tengellyel párhuzamos egyenes
y = mx egyenes arányosság függvény
abszolútérték függvény:
alapfüggvény: y = |x|, képe: V-alak
hozzárendelési szabály:
y = a|x + b| + c
c fel-le tolódás mértéke (megegyező módon)
b jobbra-balra tolódás mértéke (ellentétes módon)
csúcspont koordinátái (-b;c)
1-et megyek a csúcsból jobbra-balra a-t megyek fel|le
V lefele fordul, ha a negatív
másodfokú függvény:
alapfüggvény: y = x², képe: parabola, U-alak
hozzárendelési szabály:
y = a(x + b)² + c
c fel-le tolódás mértéke (megegyező módon)
b jobbra-balra tolódás mértéke (ellentétes módon)
csúcspont koordinátái (-b;c)
1-et,2-t megyek a csúcsból jobbra-balra négyzetesen megyek fel|le
parabola lefele fordul, ha a negatív
y = ax² + bx + c esetén:
teljes négyzetté kell alakítani
pl y = x² -4x + 5 esetén:
középső számot felezni kell!
ki kell vonni ennek a négyzetét!
y = (x -2)² -2² +5 = (x -2)² +1
zérushelyeket kell meghatározni másodfokú egyenlettel (x1,x2)
majd ezeket átlagolni kell
gyökfüggvény:
a másodfokú függvény inverze
alapfüggvény: y = √x, képe: fekvő parabolaág
a gyök alatti szám nem lehet negatív
törtfüggvény:
inverze: önmaga
alapfüggvény: y = 1/x, képe: hiperbola
speciális esete: y = a/x, fordított arányosság függvény
a függvénynek a nullában szakadása van
exponenciális függvény:
y = 2x szigorúan monoton nő
exponenciális növekedés = gyorsulva nő
y = 1/2x szigorúan monoton csökken
logaritmus függvény:
az exponenciális függvény inverze
y = log2x szigorúan monoton nő
logaritmikus növekedés = lassulva nő
y = log1/2x szigorúan monoton csökken
a logaritmus alapszáma nem lehet 1
a logaritmizálandó érték (logaritmus argumentuma) csak pozitív lehet
szinuszfüggvény:
alapfüggvény: y = sin x
szelíden hullámzó függvény
minitáblázat: 0→0, 90°→1, 180°→0, 270°→-1, 360°→0
ÉK = [-1;1]
periódusa = 360°
y = a·sin x
y irányú nyújtás|összenyomás (megegyező módon)
y = sin a·x
x irányú nyújtás| összenyomás (ellentétes módon)
y = sin (x + b) +c
c = fel-le eltolás (megegyező módon)
b = jobbra-balra eltolás (ellentétes módon)
koszinuszfüggvény:
alapfüggvény: y = cos x
a szinusz függvény 90°-kal eltolt változata
minitáblázat: 0→1, 90°→0, 180°→-1, 270°→0, 360°→1
tangensfüggvény: y = tg x = sinx / cosx
cunamiszerű függvény
minitáblázat: -90°→szakadás, -45°→-1, 0→0, 45°→1, 90°→szakadás
periódusa = 180°
