Algebra
egyenletmegoldástan
elsőfokú egyenletek
Algebrai, levezetéses megoldás:
Mérleg elv alkalmazása = ekvivalens átalakítások végzése
ezeket a műveleteket jelölni kell oldalt
Átalakítás eredménye:
ax + b = cx + d
először az x-es tagok közül a kisebbet visszük át a másik oldalra
ex + b = d
az x-es tag mellől kell a konstans tagot átvinni a másik oldalra
ex = f
az x együtthatójával osztunk
grafikus megoldás: hol metszi az egyenes az x tengelyt?
abszolútértékes egyenletek
|| helyettesítése:
1. eset: +()
2. eset: -()
Ellenőrzés kell!
másodfokú egyenletek
tiszta és hiányos másodfokú egyenlet:
a. ax² + c = 0 →
két megoldás: x1,2 = √-c/a
egy megoldás: ha a gyök alatt nulla áll
nincs megoldás: ha a gyök alatt negatív szám áll
b. ax² + bx = 0
két megoldás: x1 = 0, x2 = -b/a
teljes másodfokú egyenlet:
ax² + bx + c = 0 (nullára redukált, sorbarendezett alak)
teljes négyzetté alakítás és ábrázolás
megoldóképlet
diszkrimináns: megoldások számát adja meg
gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viete-formulák):
ellenőrzéshez
gyökök megsejtéséhez
szorzattá alakítás: gyöktényezős alak
gyökökből egyenlet kreálásához
másodfokúra visszavezethető (bikvadratikus) egyenletek:
új ismeretlen bevezetése szükséges
az újmeretlen ismeretében az eredeti ismeretlen meghatározható
harmad- és negyedfokú egyenletek
megoldásukhoz szolgáló képlet bonyolult, komplex számokat tartalmaz
speciális esetben könnyen megoldható:
tiszta és hiányos harmadfokú egyenlet
szimmetrikus harmad és negyedfokú egyenlet
egyszerűbb grafikusan közelítőleg megoldani őket
ötöd- és ennél magasabbfokú egyenletek
nincs megoldóképletük
csak grafikus közelítő megoldással oldhatók meg
törtes egyenletek
KIKÖTÉS: a tört nevezője nem lehet nulla
a tört(törtek) nevezőjével(nevezőivel) be kell szorozni
az első-, vagy másodfokú egyenletet meg kell oldani
a megoldást a kikötéssel össze kell vetni, vagy ellenőrizni kell
gyökös egyenletek
át kell rendezni, hogy az egyik oldalon csak egy gyök álljon
2 KIKÖTÉS: a gyökalatti érték és a gyök értéke sem lehet negatív szám
négyzetre kell emelni, jelölés: ()²
az első-, vagy másodfokú egyenletet meg kell oldani
a megoldást a kikötéssel össze kell vetni, vagy ellenőrizni kell
exponenciális egyenletek
1.eset: A hatványos azonosságait alkalmazva ax = an-ra visszavezethető egyenletek
monotonitásra hivatkozunk, megoldás x = n
2. eset: ax = b egyletre vezető egyenletek
logaritmus alkalmazásával a megoldás x = log a b
3. eset: másodfokú egyenletre visszavezethető egynlet, új ismeretlen y = ax
logaritmusos egyenletek
1. lépés: a számokat logaritmusokká alakítjuk
vagy exponenciális kifejezéssé alakítjuk át a logaritmust
A matematikában többféle megoldási mód létezik!
2. lépés: alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, eredmény log a x = log a b
3. lépés: monotonitásra hivatkozunk: x = b
Ellenőrzés: a logaritmizálandó érték csak pozitív szám lehet
trigonometrikus egyenletek
ügyeljünk az értelmezési tartományra:
valós számok halmaza → a megoldást radiánban kell megadni
átváltási táblázatot meg kell tanulni
arányosítani kell!
leszűkített tartomány → a megoldást is le kell szűkíteni
szinuszos egyenletek:
x1 számológépes visszakeresés (sin-1,arcsin segítségével)
x2 = 180°-x1
ezt vektorábráról, vagy függvényábráról lehet leolvasni!
a periódusa = 360° ( +k·360°, ahol k = egész)
koszinuszos egyenletek:
x1 számológépes visszakeresés (cos-1,arccos segítségével)
x2 = 360°-x1
a periódusa = 360° ( +k·360°, ahol k = egész)
tangenses egyenletek:
x számológépes visszakeresés (tan-1,arctan segítségével)
x2 = nincs
a periódusa = 180° ( +k·180°, ahol k = egész)
kotangenses egyenletek:
ctg x = 1/tgx helyettesítéssel visszavezethető tangensre
Másodfokú helyettesítés:
Trigonometrikus Pitagorasz-tétel:
sin2x = 1 - cos2, vagy
cos2x = 1 - sin2, vagy
egyenletrendszerek
lineáris egyenletrendszerek
grafikus megoldás: hol metszi egymást két egyenes
egyenlő együtthatók módszere
1.keresztbe szorzás
2. egyenletek összeadása vagy kivonása
3. elsőfokú, egyismeretlenes egyenlet megoldása
kiküszöböléses (Gauss-féle eliminációs) módszer:
sokismeretlenes egyenletrendszerek esetén alkalmazott
1. az első egyenletbeli x kifejezése a többi ismeretlennel: x = ...
2. x behelyettesítése a többi egyenletbe
eredmény az ismeretlenek száma eggyel csökkent
egyenlőtlenségek
másodfokú egyenlőtlenségek
grafikus ábrázolás: intervallok = megoldások
szöveges feladatok
egyszerűbbekhez lehet készíteni táblázatot
megoldásuk menete:
1. lépés: ismeretlen, ismeretlenek bevezetése
minél kevesebb van belőlük, annál jobb
2. lépés: egyenlet(ek) felírása
3. lépés: egynelet(ek) megoldása
4. lépés: eredményközlés
megfelelő mértékegységre és kerekítésre ügyelve
