12. Témakörök vázlata: Koordináta-geometria

Koordináta-geometria  

Szakasz: 

    Szakasz végpontjai: 

        A (a1, a2) = helyvektor

        B (b1, b2) = helvektor

    Szakasz hossza = d
        KIVONÁSSAL határozható meg 

        d = √((a1 - b1)² + (a2 - b2)²) 

            egyes indexűek egy csoportban, kettes indexiűek másik csoportban! 

            tartalmazó téglalap segítségével is meghatározható 

    Szakasz felezőpontja = F (f1, f2) 

        ÁTLAGOLÁSSAL határozható meg 

        F ((a1 + b1)/2, (a2 + b2)/2) 

    Szakasz harmadolópontjai = H1 (h1, h2), H2 (h3, h4) 

        SÚLYOZOTT ÁTLAGOLÁSSAL határozható meg 

        S1 ((a1 + 2·b1)/3, (a2 + 2·b2)/3) 

        S2 ((2·a1 + b1)/3, (2·a2 + b2)/3) 

Egyenes: 

    iránytényezős egyenlete: 

        y = m·x + b 

            m = tg α = iránytangens, iránytényező, meredekség

            α = irányszög 

                x tengely pozitív felével bezárt szög 

    irányvektor ve (v1, v2) 

        helyvektor (origóból indul) 

        párhuzamos e-vel 

        tetszőleges hosszúságú (skalárszoros is helyvektor) 

            e két tetszőleges pontjának különbsége 

    normálvektor ne (A, B) 

        helyvektor (origóból indul) 

        merőleges e-re 

        tetszőleges hosszúságú (skalárszoros is helyvektor) 

            90°-os forgatással kapjuk v-ből:
                1. koordináta-csere 

                2. az egyik -1-szeres 

    normálvektoros egyenlete: 

        e egy tetszőleges pontja: P (x0, y0) 

        A·x + B·y = A·x0 + B·y0 

        A·x + B·y = C 

            tengelymetszetek: x = C/A, y = B/A 

            két egyenes metszéspontja: kétismeretlenes egyenletrendszer megoldását jelenti 

Kör: 

    Középpontja: C (u, v) 

    sugara: r 

    egyenlete: (x - u)² + (y - v)² = r² 

        zárójel nélküli alak esetén teljes négyzetekké alakítás szükséges 

        kör és egyenes metszéspontjának meghatározása egy kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszer megoldását jelenti 

Háromszög: 

    csúcsai: 

        A (a1, a2) 

        B (b1, b2) 

        C (c1, c2) 

        Érdemes egymás alá írni őket 

    Súlypont: S (s1, s2) 

        ÁTLAGOLÁSSAL határozható meg 

        S ((a1 + b1+ c1)/3, (a2 + b2+ c2)/3) 

    Oldalegyenesek: 

        Két ponton átmenő egyenes egyenlete: 

            a oldal egyenese e átmegy B-n és C-n. 

            ve = (b1 - c1, b2 - c2) = (v1, v2) 

                ne = (v2, -v1) = (A, B) 

                P = B (b1, b2) = (x0, y0) 

                    e: A·x + B·y = A·x0 + B·y0 

    Súlyvonalak: 

        Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A és F(BC) 

    Oldalfelező merőleges: 

        a oldal egyenese e átmegy B-n és C-n és merőleges f-re. 

            nf = (b1 - c1, b2 - c2) = (A, B) 

            P = F(B,C) ((b1 + c1)/2, (b2 + c2)/2) = (x0, y0) 

                f: A·x + B·y = A·x0 + B·y0