Valószínűség-számítás
kísérlet
pl. kockával dobunk
események
elemi esemény (kimenetele egyértelmű) ⇔ összetett esemény (kimenetele nem egyértelmű) (A)
(elemi esemény = 1-est dobunk, összetett esemény = páros számot dobunk)
biztos esemény (mindig bekövetkezik) (I) ⇔ lehetetlen esemény (sohasem következik be) (O)
(biztos esemény = 1,2,3,4,5,6-ot dobunk, lehetetlen esemény = 7,8,...-t dobunk)
komplementer esemény =A, akkor következik be, amikor A nem
(a biztos és a lehetetlen esemény egymás komplementere)
események összege = A+B = akkor következik be, ha valamelyik esemény bekövetkezik.
események szorzata = A·B = együttes bekövetkezés
A·B = O egymást kizáró események
teljes eseményrendszer|eseménytér|eseménymező: olyan egymást kizáró eseményekből áll, amelyek együttes bekövetkezése a biztos esemény
klasszikus valószínűségi mező:
-eseménytér véges
-elemi események valószínűsége egyenlő
konkrét kimenetelek, gyakoriságok
n = kísérletsorozat nagysága
(100-szor dobunk a kockával)
gE = az egyes (E) esemény bekövetkezésének a száma
(17-szer fordul elő, hogy 1-t dobunk)
gE/n = az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága
(17% az 1-es dobás relatív gyakorisága)
Ha n = nagy szám, akkor a relatív gyakoriság egy konkrét érték körül ingadozik, ezt nevezzük az esemény bekövetkezési valószínűségének (P)
elméleti valószínűség = p
p = k/n
= kedvező esetek száma/ összes esetszám
0 és 1 közötti érték, megadható százalékos értékként is
p(O) = 0, P(I) = 1
p(A+B)= p(A)+p(B)-p(A·B), ha P(AB) = 0 (egymást kizáró események) → p(A+B)= p(A)+p(B)
egymást páronként kizáró események valószínűsége összeadódik (Esetszétválasztás-módszere)
(B = Kettőnél kisebb, vagy 4-nél nagyobb számot dobunk → p(B) = 1/6 + 2/6)
P(E) = 1 - P(E) (Dobjuk ki a rosszat módszer!)
egy esemény valószínűsége egyenlő 1 mínusz a komplementer esemény valószínűsége
(C = 1-nél nagyobbat dobunk p(C) = 1 -1/6)
p(A·B) = P(A)·P(B) független események szorzatának valószínűsége egyenlő az események valószínűségeinek szorzatával.
(D = két kockával dobva két hatost dobunk. P(D) = (1·1)/(6·6) = 1/6·1/6)
gyakori a jó és a rossz lehetőségek szétválasztása
Valószínűség-eloszlás = az elemi események mindegyikéhez rendeljük hozzá az elméleti valószínűségeket
egyenletes eloszlás = pl. kockadobás
p1 = 1/6, p2 =1/6, ..., p6 = 1/6
visszatevés nélküli mintavétel = hipergeometrikus eloszlás (gyorsan változó)
pl. 5-ös lottó húzása:
p0 = (5 0)(85 5)/(90 5), ..., p5 = (5 5)(85 0)/(90 5)
visszatevés nélküli mintavétel = binomiális eloszlás (kétváltozós eloszlás)
golyóhúzás: 10 golyóból 2 fekete, a többi fehér. 8 golyót kihúzva, mi a valószínűsége, hogy a kihúzottak között 1 fekete lesz?
p = fekete golyó húzásának valószínűsége = 2/10 = 0,2
n = 8 = kihúzott golyók száma
k = 1 = kihúzott fekete golyók száma
q = fehér golyó húzásának a valószínűsége = 1 - 0,2 = 0,8
pnk = (n k)·pk·qn - k
p8,1 = (8 1)·0,21·0,87
