Matematika 12.
2022. augusztus 24., szerda
13. Témakörök vázlata: Térgeometria
Térgeometria
Ábrák: szükségesek
síkmetszetek: képletalkotáshoz
Pitagorasz-tételek
szögfüggvények
szabályos testek
tetraéder
hexaéder
oktaéder
dodekaéder
ikozaéder
egyszerű testek
kocka
jellemzők:
oldalél: a
lapátló: e = a·1,4142
testátló: f = a·1,7321
felszín: A = 6·a²
térfogat: V = a³
négyzetes oszlop
jellemzők:
oldalél: a
magasság: m
testátló: f = √(2a² + b²)
felszín: A = 2·a² + 4·a·m
térfogat: V = a²·m
téglatest
jellemzők:
oldalélek: a,b,c
testátló: f = √(a² + b² + c²)
felszín: A = 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c
térfogat: V = a·b·c
paralelepipedon (ferdehasáb)
jellemzők:
felszín: A = 2·T + P
térfogat: V = T·m
szabályos sokszög alapú hasáb
szabályos háromszög alapú hasáb (prizma)
jellemzők:
felszín: A = 2·T + K·m
T = a·mh/2, mh = a·0,866
térfogat: V = T·m
henger
jellemzők:
sugár: r
magasság: m
felszín: A = 2πr(r + m)
térfogat: V = πr²m
négyzet alapú gúla
jellemzők:
alapél: a
oldalél: b
magasság: m
oldalmagasság: mo
mo² = (a/2)² + m²
felszín: A = a² + 2·a·mo
térfogat: V = a²m/3
háromszög alapú gúla
felszín: A = T + P
térfogat: V = T·m/3
szabályos sokszög alapú gúla
kúp
jellemzők:
sugár: r
magasság: m
alkotó: a
a² = r² + m²
felszín: A = πr(r + a)
térfogat: V = πr²m/3
(kúpszeletek)
négyzet alapú csonkagúla
felszín: A = T + t + P
térfogat: V = m(T + √(T·t) + t)/3
mo² = (a - c)²/4 + m²
T = a², t = c², P = mo(a + c)/2
szabályos sokszög alapú csonkagúla
csonkakúp
alkotó: a² = (R - r)² + m² felszín: A = π(R² + r² + a(R + r))
térfogat: πm/3(R² + r² + R·r)
gömb
jellemzők:
sugár: R
felszín: A = 4R²π
térfogat: V = 4/3R³π
kockába írható gömb
kocka köré írható gömb
kúpba írható bömb
(tórusz)
ellipszoid
összetett testek:
kockákból felépíthető testek
egyéb egyszerű testekből felépíthető testek
12. Témakörök vázlata: Koordináta-geometria
Koordináta-geometria
Szakasz:
Szakasz végpontjai:
A (a1, a2) = helyvektor
B (b1, b2) = helvektor
Szakasz hossza = d KIVONÁSSAL határozható meg
d = √((a1 - b1)² + (a2 - b2)²)
egyes indexűek egy csoportban, kettes indexiűek másik csoportban!
tartalmazó téglalap segítségével is meghatározható
Szakasz felezőpontja = F (f1, f2)
ÁTLAGOLÁSSAL határozható meg
F ((a1 + b1)/2, (a2 + b2)/2)
Szakasz harmadolópontjai = H1 (h1, h2), H2 (h3, h4)
SÚLYOZOTT ÁTLAGOLÁSSAL határozható meg
S1 ((a1 + 2·b1)/3, (a2 + 2·b2)/3)
S2 ((2·a1 + b1)/3, (2·a2 + b2)/3)
Egyenes:
iránytényezős egyenlete:
y = m·x + b
m = tg α = iránytangens, iránytényező, meredekség
α = irányszög
x tengely pozitív felével bezárt szög
irányvektor ve (v1, v2)
helyvektor (origóból indul)
párhuzamos e-vel
tetszőleges hosszúságú (skalárszoros is helyvektor)
e két tetszőleges pontjának különbsége
normálvektor ne (A, B)
helyvektor (origóból indul)
merőleges e-re
tetszőleges hosszúságú (skalárszoros is helyvektor)
90°-os forgatással kapjuk v-ből: 1. koordináta-csere
2. az egyik -1-szeres
normálvektoros egyenlete:
e egy tetszőleges pontja: P (x0, y0)
A·x + B·y = A·x0 + B·y0
A·x + B·y = C
tengelymetszetek: x = C/A, y = B/A
két egyenes metszéspontja: kétismeretlenes egyenletrendszer megoldását jelenti
Kör:
Középpontja: C (u, v)
sugara: r
egyenlete: (x - u)² + (y - v)² = r²
zárójel nélküli alak esetén teljes négyzetekké alakítás szükséges
kör és egyenes metszéspontjának meghatározása egy kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszer megoldását jelenti
Háromszög:
csúcsai:
A (a1, a2)
B (b1, b2)
C (c1, c2)
Érdemes egymás alá írni őket
Súlypont: S (s1, s2)
ÁTLAGOLÁSSAL határozható meg
S ((a1 + b1+ c1)/3, (a2 + b2+ c2)/3)
Oldalegyenesek:
Két ponton átmenő egyenes egyenlete:
a oldal egyenese e átmegy B-n és C-n.
ve = (b1 - c1, b2 - c2) = (v1, v2)
ne = (v2, -v1) = (A, B)
P = B (b1, b2) = (x0, y0)
e: A·x + B·y = A·x0 + B·y0
Súlyvonalak:
Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A és F(BC)
Oldalfelező merőleges:
a oldal egyenese e átmegy B-n és C-n és merőleges f-re.
nf = (b1 - c1, b2 - c2) = (A, B)
P = F(B,C) ((b1 + c1)/2, (b2 + c2)/2) = (x0, y0)
f: A·x + B·y = A·x0 + B·y0
2022. augusztus 23., kedd
11. Témakörök vázlata: Síkgeometria
Síkgeometria
alapelemek:
pont = rámutatásra szolgál = A,B, ...
egyenes = két sík metszete
félegyenes
szög
szögegység
szögmérték
szögfajták:
-nullszög, teljesszög
-egyenesszög
-derékszög
-hegyesszög
-tompaszög
-konvex szög
-konkáv szög
-forgásszög
szögpárok:
-párhuzamos szárú szögek
-egyállású szögek
-félig egyállású szögek
-mellékszögek (nem elkülönülő)
-pótszögek
-társszögek (elkülönülő)
-fordított állású szögek
-csúcsszögek
-váltószög
-merőleges szárú szög
-szögtartományon kivül levő csúcsú
-szögtartományon belül levő csúcsú
szakasz
távolságegység
hosszúság
számegyenes
valós számok
koordináta-rendszer
síkidomok:
általános háromszög: jellemzők:
csúcsok: A, B, C
oldalak: a, b, c
háromszög egyenlőtlenségek
szögek: α, β, γ
oldalak és szögek közötti összefüggések
belső szögek összege
külső szögek összege
belső és külső szögek közötti kapcsolat
nevezetes pontok, vonalak: súlyvonal, súlypont
középvonalak
oldalfelező merőlegesek, köré írható kör
Thalész-kör
szögfelező egyenesek, beleírt kör
magasságvonalak, magasságpont
magasságok talppontjai
kerülete: K
területe: T
T = oldalhossz·magasság/2
Héron-képlet
Trigonometrikus területképlet
oldalak és szögek közötti összefüggések: koszinusz-tételek
szinusz-tételek
háromszögek egybevágóságának alapesetei
szimmetrikus háromszögek:
egyenlő oldalú (szabályos) △
egyenlő szárú △
háromszögek hasonlóságának alapesetei
párhuzamos szelők tétele
derékszögű háromszög
elnevezések:
α szöggel szemköszti befogó = a
α szög melletti befogó = b
átfogó = c
szögek közötti összefüggések
α + β = 90° (pótszögek)
oldalak közötti összefüggések
Pitagorasz-tétel: a² + b² = c²
magasságvonalra vonatkozó tételek:
m = magassághossz
p = a oldal merőleges vetülete
q = a oldal merőleges vetülete
c = p + q
p² + m² = a²
q² + m² = b²
a² = p·c, b² = q·c (befogótételek)
m² = p·q (magasságtétel)
szögek és oldalak közötti összefüggések (szögfüggvények):
sin α = a/c
cos α = b/c
tg α = a/b
négyszögek:
jellemzők: belső szögek összege = 360°
fajtái: -négyzet
K = 4a, T = a², e = 1,4142a (átlóhossz)
-téglalap
K = 2a + 2b, T = ab, e = √(a² + b²) -rombusz
-paralelogramma
-derékszögű trapéz
-szimmetrikus|húrtrapéz
(a - c)²/4 + m² = b²
K = a +2b + c, T = m·(a + c)/2
-általános trapéz
-deltoid
(konvex és konkáv)
-általános négyszög
-húrnégyszögek
-érintőnégyszögek
szabályos sokszögek:
szimmetriatengelyek
szimmetriaközéppont
derékszögű háromszögek
α = 360°/(2n)
sokszög oldalszáma = n
sokszög oldalhossza = a
bele írható kör sugara = r
köré írható kör sugara = R
sin α = (a/2)/R → R = (a/2)/sin α
tg α = (a/2)/r → r = (a/2)/tg α
K = na, T = nar/2
kör
látókörív
Thalész-tétel általánosítása
jellemzők: középpont = O
sugár = r
K = 2rπ
T = r²π
π ≈ 3,14159
átmérő = d
d = 2r
koncentrikus sugár = R
(körgyűrű)
körvonal = k
érintő = e
ívhossz = i
középponti szög = α
kerületi szög = β
i = α/360°·2rπ
körcikk (körgyűrűcikk)
T = α/360°·r²π
körszelet (körgyűrűszelet)
húr
érintő és szelőszakaszok tétele
transzformációk:
egybevágóságok
tengelyes tükrözés
tengelyes szimmetria
eltolás
vektorok (a, b, ...)
jellemzők:
kezdőpont, végpont
irány, hossz |a|
párhuzamos eltolhatóság
erővektor esetén szigorúbb feltételek érvényesek
speciális vektorok:
nullvektor (O)
egységvektor (e)
bázisvektorok (i,j)
helyvektor (v) koordináták: v = v1·i + v2·j
hossz: |v| = √(v1² + v2²)
irányszög: α = tan-1 v2/v1 (1. síknegyed esetén)
műveletek vektorokkal:
számszoros (skalárszoros)
ellentett = (-1)-szeres
koordinátákkal:
c·a (c·a1, c·a2)
összegzés:
paralelogramma módszer
közös kezdőpontba helyezés
főátló berajzolása
háromszög/lánc-szabály:
egymás után helyezés
koordinátákkal: a + b = (a1 + b1, a2 + b2)
kivonás:
paralelogramma módszer
közös kezdőpontba helyezés
mellékátló berajzolása (kisebbítendő irányába nyíl)
háromszög/lánc-szabály:
a és -b egymás után helyezése
koordinátákkal: a - b = (a1 - b1, a2 - b2)
skaláris szorzat:
a·b = |a|·|b|·cos α
koordinátákkal: a·b = a1·b1 + a2·b2
vektoriális szorzat:
jobb kéz szabály érvényes
elforgatás
forgásszimmetria
középpontos tükrözés
középpontos szimmetria
hasonlóság
középpontos hasonlóság (nagyítás, kicsinyítés)
10. Témakörök vázlata: Sorozatok
Sorozatok
jele: a,b, ...
index, sorszám = 1,2,3 ...
függvények leszűkítése a pozitív egészek| természetes számok halmazára
a1 = az a sorozat 1. tagja
...
an = az a sorozat (tetszőleges sorszámú, általános) n. tagja
képzési szabály
rekurzív: an és a(n-1), a(n-2) között teremt kapcsolatot
Fibonacci-sorozat: a1 = 1, a2 = 1 és an = a(n-1) + a(n-2)
direkt szabály: an és n között teremt kapcsolatot
pl. an = 3n - 2
speciális sorozatok:
számtani sorozat:
mindig ugyanannyival nő, vagy csökken (egyenletesen nő/csökken)
d = különbség
d = an - a(n-1) = állandó
an = (a(n-1) +a(n+1))/2
an = általános tag
an = a1 + (n - 1)·d
Sn = első n-tag összege:
Sn = n·(a1 + an)/2
Sn = (2·a1 + (n-1)·d)·n/2
mértani sorozat:
mindig ugyanannyiszorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken (exponenciálisan nő/csökken)
q = hányados
q = an/a(n-1) = állandó
an² = a(n-1)·a(n+1)
an = általános tag
an = a1·qn-1
Sn = első n-tag összege:
Sn = a1·(qn - 1)/(q - 1)
kamatos kamatszámítás:
KÉ = kezdőérték
ZÉ = záróérték
r = kamatláb (%)
n = időszakok száma
ZÉ = KÉ·(1 + r/100)n
9. Témakörök vázlata: Függvények
Függvények
jele: f,g, ... Két halmaz között teremt szabályszerű kapcsolatot
ÉT = Értelmezési tartomány (Df) = kiindulási halmaz
minden elemhez hozzárendelünk elemet
ÉK = Értékkészlet (Rf) = hozzárendelési halmaz
minden elemhez csak egy elemet rendelünk hozzá
hozzárendelési szabály:
x = független változó (x ∈ ÉT)
y = f(x) = x-től függő változó (y ∈ ÉK) megadása: pl.
x ↦ 2x + 1 (x-hez hozzárendeljük a kétszeresét meg még egyet)
y = 2x + 1, vagy
f(x) = 2x + 1
teljes alak: f: [-3;4] →R, x ↦ 2x + 1
[-3;4] = ÉT = a valós számok halmazának leszűkítése egy intervallumra
R = ÉK kitágítása a Valós számok halmazára, vagyis a képhalmazra
grafikonja:
ábrázoljuk koordináta rendszerben a függvényt!
az ábrázoláshoz használhatunk táblázatot, vagy az alapfüggvényt transzformáljuk
a függvény grafikonja nem tartalmazhat y tengellyel párhuzamos egyenest és visszakanyarodást
sorozatok esetén a grafikon diszkrét (egymástól elkülönülő) pontokból áll
lehet folytonos görbe/egyenes ⇔ szakadásos (fel kell emelni a ceruzánkat)
grafikonelemzés:
1. ÉT
szakadási helye = ahol a függvény nincs értelmezve
2. ÉK
Tartalmazó téglalapba foglalás
3. Szélső érték:
Maximum helye, értéke
Minimum helye, értéke
Korlátosság: maximum, minimum megléte
Határérték: a függvény asszimptotikusan|a végtelenben tart egy értékhez, megközelíti, de el nem éri
4. Zérushely: itt metszi az x tengelyt
y tengelmetszete
5. Menete: intervallumok, ahol a függvény nő, csökken, nem változik
monotonitás = folyamatos a változás, nincs eltérő trend
szigorú monotonitás = folyamatos növekedés, vagy folyamatos csökkenés
invertálhatóság: a szigorúan monoton függvények tükrözése az y = x egyenesre
kovexitás:
Egy függvény konvex, ha az intervallumon a függvénygörbe bármely két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad.
Ellenkező esetben a függvény konkáv.
A konvexitás elsősorban arról tájékoztat, hogy a függvény gyorsulva, vagy lassulva változik.
inflexiós pont, ahol a függvény konvexitása megváltozik.
(szakadási pontban is változhat a konvexitás)
periódus = ismétlődés
paritás =
páros függvény (az y = x²-hez hasonlóan) y tengelyre tükrös
páratlan függvény (az y = x³-höz hasonlóan) origóra tükrös
grafikonkészítés, függvényábrázolás:
lineáris függvény:
inverze, ha van szintén lineáris függvény
alapfüggvény: y = x, képe: egyenes
hozzárendelési szabály: y = mx + b
elemzés jobbról balra, előjeles karikázással
b = itt metszi az y tengelyt (start)
m = meredekség (1-et jobbra, m-t fel vagy le)
m = m1/m2 (m2-t jobbra, m1-t fel vagy le)
speciális esetek:
y = c konstans függvény = x tengellyel párhuzamos egyenes
y = mx egyenes arányosság függvény
abszolútérték függvény:
alapfüggvény: y = |x|, képe: V-alak
hozzárendelési szabály:
y = a|x + b| + c
c fel-le tolódás mértéke (megegyező módon)
b jobbra-balra tolódás mértéke (ellentétes módon)
csúcspont koordinátái (-b;c)
1-et megyek a csúcsból jobbra-balra a-t megyek fel|le
V lefele fordul, ha a negatív
másodfokú függvény:
alapfüggvény: y = x², képe: parabola, U-alak
hozzárendelési szabály:
y = a(x + b)² + c
c fel-le tolódás mértéke (megegyező módon)
b jobbra-balra tolódás mértéke (ellentétes módon)
csúcspont koordinátái (-b;c)
1-et,2-t megyek a csúcsból jobbra-balra négyzetesen megyek fel|le
parabola lefele fordul, ha a negatív
y = ax² + bx + c esetén:
teljes négyzetté kell alakítani
pl y = x² -4x + 5 esetén: középső számot felezni kell!
ki kell vonni ennek a négyzetét!
y = (x -2)² -2² +5 = (x -2)² +1
zérushelyeket kell meghatározni másodfokú egyenlettel (x1,x2)
majd ezeket átlagolni kell
gyökfüggvény:
a másodfokú függvény inverze
alapfüggvény: y = √x, képe: fekvő parabolaág
a gyök alatti szám nem lehet negatív
törtfüggvény:
inverze: önmaga
alapfüggvény: y = 1/x, képe: hiperbola
speciális esete: y = a/x, fordított arányosság függvény
a függvénynek a nullában szakadása van
exponenciális függvény:
y = 2x szigorúan monoton nő
exponenciális növekedés = gyorsulva nő
y = 1/2x szigorúan monoton csökken
logaritmus függvény:
az exponenciális függvény inverze
y = log2x szigorúan monoton nő
logaritmikus növekedés = lassulva nő
y = log1/2x szigorúan monoton csökken
a logaritmus alapszáma nem lehet 1
a logaritmizálandó érték (logaritmus argumentuma) csak pozitív lehet
szinuszfüggvény:
alapfüggvény: y = sin x
szelíden hullámzó függvény
minitáblázat: 0→0, 90°→1, 180°→0, 270°→-1, 360°→0
ÉK = [-1;1]
periódusa = 360°
y = a·sin x
y irányú nyújtás|összenyomás (megegyező módon)
y = sin a·x
x irányú nyújtás| összenyomás (ellentétes módon)
y = sin (x + b) +c
c = fel-le eltolás (megegyező módon)
b = jobbra-balra eltolás (ellentétes módon)
koszinuszfüggvény:
alapfüggvény: y = cos x
a szinusz függvény 90°-kal eltolt változata
minitáblázat: 0→1, 90°→0, 180°→-1, 270°→0, 360°→1
tangensfüggvény: y = tg x = sinx / cosx
cunamiszerű függvény
minitáblázat: -90°→szakadás, -45°→-1, 0→0, 45°→1, 90°→szakadás
periódusa = 180°
2022. augusztus 22., hétfő
8. Témakörök vázlata: Algebra 2.
Algebra
egyenletmegoldástan
elsőfokú egyenletek
Algebrai, levezetéses megoldás:
Mérleg elv alkalmazása = ekvivalens átalakítások végzése
ezeket a műveleteket jelölni kell oldalt
Átalakítás eredménye:
ax + b = cx + d
először az x-es tagok közül a kisebbet visszük át a másik oldalra
ex + b = d
az x-es tag mellől kell a konstans tagot átvinni a másik oldalra
ex = f
az x együtthatójával osztunk
grafikus megoldás: hol metszi az egyenes az x tengelyt?
abszolútértékes egyenletek
|| helyettesítése:
1. eset: +()
2. eset: -()
Ellenőrzés kell!
másodfokú egyenletek
tiszta és hiányos másodfokú egyenlet:
a. ax² + c = 0 → két megoldás: x1,2 = √-c/a
egy megoldás: ha a gyök alatt nulla áll
nincs megoldás: ha a gyök alatt negatív szám áll
b. ax² + bx = 0
két megoldás: x1 = 0, x2 = -b/a
teljes másodfokú egyenlet:
ax² + bx + c = 0 (nullára redukált, sorbarendezett alak)
teljes négyzetté alakítás és ábrázolás
megoldóképlet
diszkrimináns: megoldások számát adja meg
gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viete-formulák):
ellenőrzéshez
gyökök megsejtéséhez
szorzattá alakítás: gyöktényezős alak
gyökökből egyenlet kreálásához
másodfokúra visszavezethető (bikvadratikus) egyenletek:
új ismeretlen bevezetése szükséges
az újmeretlen ismeretében az eredeti ismeretlen meghatározható
harmad- és negyedfokú egyenletek
megoldásukhoz szolgáló képlet bonyolult, komplex számokat tartalmaz
speciális esetben könnyen megoldható:
tiszta és hiányos harmadfokú egyenlet
szimmetrikus harmad és negyedfokú egyenlet
egyszerűbb grafikusan közelítőleg megoldani őket
ötöd- és ennél magasabbfokú egyenletek
nincs megoldóképletük
csak grafikus közelítő megoldással oldhatók meg
törtes egyenletek
KIKÖTÉS: a tört nevezője nem lehet nulla
a tört(törtek) nevezőjével(nevezőivel) be kell szorozni
az első-, vagy másodfokú egyenletet meg kell oldani
a megoldást a kikötéssel össze kell vetni, vagy ellenőrizni kell
gyökös egyenletek
át kell rendezni, hogy az egyik oldalon csak egy gyök álljon
2 KIKÖTÉS: a gyökalatti érték és a gyök értéke sem lehet negatív szám
négyzetre kell emelni, jelölés: ()²
az első-, vagy másodfokú egyenletet meg kell oldani
a megoldást a kikötéssel össze kell vetni, vagy ellenőrizni kell
exponenciális egyenletek
1.eset: A hatványos azonosságait alkalmazva ax = an-ra visszavezethető egyenletek
monotonitásra hivatkozunk, megoldás x = n
2. eset: ax = b egyletre vezető egyenletek
logaritmus alkalmazásával a megoldás x = log a b
3. eset: másodfokú egyenletre visszavezethető egynlet, új ismeretlen y = ax
logaritmusos egyenletek
1. lépés: a számokat logaritmusokká alakítjuk
vagy exponenciális kifejezéssé alakítjuk át a logaritmust
A matematikában többféle megoldási mód létezik!
2. lépés: alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, eredmény log a x = log a b
3. lépés: monotonitásra hivatkozunk: x = b
Ellenőrzés: a logaritmizálandó érték csak pozitív szám lehet
trigonometrikus egyenletek
ügyeljünk az értelmezési tartományra:
valós számok halmaza → a megoldást radiánban kell megadni
átváltási táblázatot meg kell tanulni
arányosítani kell!
leszűkített tartomány → a megoldást is le kell szűkíteni
szinuszos egyenletek:
x1 számológépes visszakeresés (sin-1,arcsin segítségével)
x2 = 180°-x1
ezt vektorábráról, vagy függvényábráról lehet leolvasni!
a periódusa = 360° ( +k·360°, ahol k = egész)
koszinuszos egyenletek:
x1 számológépes visszakeresés (cos-1,arccos segítségével)
x2 = 360°-x1
a periódusa = 360° ( +k·360°, ahol k = egész)
tangenses egyenletek:
x számológépes visszakeresés (tan-1,arctan segítségével)
x2 = nincs
a periódusa = 180° ( +k·180°, ahol k = egész)
kotangenses egyenletek:
ctg x = 1/tgx helyettesítéssel visszavezethető tangensre
Másodfokú helyettesítés:
Trigonometrikus Pitagorasz-tétel: sin2x = 1 - cos2, vagy
cos2x = 1 - sin2, vagy
egyenletrendszerek
lineáris egyenletrendszerek
grafikus megoldás: hol metszi egymást két egyenes
egyenlő együtthatók módszere
1.keresztbe szorzás
2. egyenletek összeadása vagy kivonása
3. elsőfokú, egyismeretlenes egyenlet megoldása
kiküszöböléses (Gauss-féle eliminációs) módszer:
sokismeretlenes egyenletrendszerek esetén alkalmazott
1. az első egyenletbeli x kifejezése a többi ismeretlennel: x = ...
2. x behelyettesítése a többi egyenletbe
eredmény az ismeretlenek száma eggyel csökkent
egyenlőtlenségek
másodfokú egyenlőtlenségek
grafikus ábrázolás: intervallok = megoldások
szöveges feladatok
egyszerűbbekhez lehet készíteni táblázatot
megoldásuk menete:
1. lépés: ismeretlen, ismeretlenek bevezetése
minél kevesebb van belőlük, annál jobb
2. lépés: egyenlet(ek) felírása
3. lépés: egynelet(ek) megoldása
4. lépés: eredményközlés
megfelelő mértékegységre és kerekítésre ügyelve
7. Témakörök vázlata: Algebra 1.
ALGEBRA
számolástan, számtan, aritmetika
egészszámtan:
elnevezések:
szám = előjel + számérték
ellentett = -1-szerese
abszolút érték
összeadás = tagok (eredmény = összeg)
szorzás = tényezők (eredmény = szorzat)
kivonás = kisebbítendő - kivonandó (eredmény = különbség)
osztás = osztandó : osztó (eredmény = hányados)
százalékérték = százalékalap·százalékláb/100
szabályok alkalmazása:
nagy számok összeadása, kivonása papíron
szorzótábla
előjelszabályok: +·+, +·-, -·-
maradékos ⇔ maradék nélküli osztás
speciális számok:
2-es számrendszer
számelmélet:
osztója, többszöröse
oszthatósági szabályok
prímszámok ⇔ összetett számok
Eratosztenészi szita
összetett számok felbontása
legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös
euklidészi algoritmus
törtszámtan:
tört = számláló/nevező
reciprok
bővítés, egyszerűsítés
valódi tört ⇔ vegyes tört ⇔ áltört
tizedes törtek
kerekítés
normál alakú számok
prefixumos mennyiségek
átváltások
törtek összeadása, kivonása
törtek szorzása egész számmal, törttel
törtek osztása egész számmal, törttel
betűszámtan
betűk: abc elejéről = konstansok, abc végéről = változók
+ ezek hatványai
+ mindezek szorzatai
+ mindezek számszorosai (számszorzó = együttható)
= egytagú algebrai kifejezés (monom)
egynemű ⇔ különnemű
összevonás
ezek előjeles összegei = többtagú algebrai kifejezés
binom = kéttagú algebrai kifejezés
monom szorzása binommal
monom kiemelése binomból
binom szorzása binommal:
minden tagot minden taggal szabály
nevezetes azonosságok: (a + b)², (a -b)², (a + b)·(a - b)
zárójeles alakká alakítás
polinom = többtagú kifejezés, rendezett alak
algebrai tört = polinom/polinom
egyszerűsítés kiemeléssel/nevezetes azonosságok alkalmazásával
hatványszámtan:
2 hatványai 1024-ig
definíció: 1. an = a·...·a (n db a)
azonosságok:
Oda-vissza érvényesek!
2. a0 = 1
3. a1 = a
4. a-1 = 1/a (reciprok)
5. an·am = an+m
6. an/am = an-m
7. (an)m = an·m
8. (a·b)n = an·bn
9. (a/b)n = an/bn
10. an/m = m√an
21/2 = √2
gyökszámtan:
elvesztette jelentőségét!
másodfokú egyenlet gyökei gyakran a + b√c alakú algebrai számok
- kiemelés a gyökjel alól: √a2b = a√b
- bevitel a gyökjel alá: a√b = √a2b
- gyöktelenítés:
gyökkel való osztás régen neézséget okozott
1/√2 = √2/2
1/(√2 - 1) = √2 + 1
logaritmusszámtan:
23 = 8 2 = hatványalap
3 = hatványkitevő
8 = hatványérték
log 2 8 = 3
logaritmus = hatványkitevőkeresés
lg 10 = 1, lg 100 = 2 ... = 10-es alapú logaritmus
áttérés más alapra: log25 = lg 5/lg 2
azonosságok:
1. lg a + lg b = lg (a·b)
2. lg a - lg b = lg (a/b)
3. n·lg a = lg an
6. Témakörök vázlata: Valószínűség-számítás
Valószínűség-számítás
kísérlet
pl. kockával dobunk
események
elemi esemény (kimenetele egyértelmű) ⇔ összetett esemény (kimenetele nem egyértelmű) (A)
(elemi esemény = 1-est dobunk, összetett esemény = páros számot dobunk)
biztos esemény (mindig bekövetkezik) (I) ⇔ lehetetlen esemény (sohasem következik be) (O)
(biztos esemény = 1,2,3,4,5,6-ot dobunk, lehetetlen esemény = 7,8,...-t dobunk)
komplementer esemény =A, akkor következik be, amikor A nem
(a biztos és a lehetetlen esemény egymás komplementere)
események összege = A+B = akkor következik be, ha valamelyik esemény bekövetkezik.
események szorzata = A·B = együttes bekövetkezés
A·B = O egymást kizáró események
teljes eseményrendszer|eseménytér|eseménymező: olyan egymást kizáró eseményekből áll, amelyek együttes bekövetkezése a biztos esemény
klasszikus valószínűségi mező:
-eseménytér véges
-elemi események valószínűsége egyenlő
konkrét kimenetelek, gyakoriságok
n = kísérletsorozat nagysága
(100-szor dobunk a kockával)
gE = az egyes (E) esemény bekövetkezésének a száma
(17-szer fordul elő, hogy 1-t dobunk)
gE/n = az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága
(17% az 1-es dobás relatív gyakorisága)
Ha n = nagy szám, akkor a relatív gyakoriság egy konkrét érték körül ingadozik, ezt nevezzük az esemény bekövetkezési valószínűségének (P)
elméleti valószínűség = p
p = k/n
= kedvező esetek száma/ összes esetszám
0 és 1 közötti érték, megadható százalékos értékként is
p(O) = 0, P(I) = 1
p(A+B)= p(A)+p(B)-p(A·B), ha P(AB) = 0 (egymást kizáró események) → p(A+B)= p(A)+p(B)
egymást páronként kizáró események valószínűsége összeadódik (Esetszétválasztás-módszere)
(B = Kettőnél kisebb, vagy 4-nél nagyobb számot dobunk → p(B) = 1/6 + 2/6)
P(E) = 1 - P(E) (Dobjuk ki a rosszat módszer!)
egy esemény valószínűsége egyenlő 1 mínusz a komplementer esemény valószínűsége
(C = 1-nél nagyobbat dobunk p(C) = 1 -1/6)
p(A·B) = P(A)·P(B) független események szorzatának valószínűsége egyenlő az események valószínűségeinek szorzatával.
(D = két kockával dobva két hatost dobunk. P(D) = (1·1)/(6·6) = 1/6·1/6)
gyakori a jó és a rossz lehetőségek szétválasztása
Valószínűség-eloszlás = az elemi események mindegyikéhez rendeljük hozzá az elméleti valószínűségeket
egyenletes eloszlás = pl. kockadobás
p1 = 1/6, p2 =1/6, ..., p6 = 1/6
visszatevés nélküli mintavétel = hipergeometrikus eloszlás (gyorsan változó)
pl. 5-ös lottó húzása:
p0 = (5 0)(85 5)/(90 5), ..., p5 = (5 5)(85 0)/(90 5)
visszatevés nélküli mintavétel = binomiális eloszlás (kétváltozós eloszlás)
golyóhúzás: 10 golyóból 2 fekete, a többi fehér. 8 golyót kihúzva, mi a valószínűsége, hogy a kihúzottak között 1 fekete lesz?
p = fekete golyó húzásának valószínűsége = 2/10 = 0,2
n = 8 = kihúzott golyók száma
k = 1 = kihúzott fekete golyók száma
q = fehér golyó húzásának a valószínűsége = 1 - 0,2 = 0,8
pnk = (n k)·pk·qn - k
p8,1 = (8 1)·0,21·0,87
2022. augusztus 21., vasárnap
5. Témakörök vázlata: Statisztika
Statisztika
Adatsor
i-dik adat: xi
gyakorisági táblázat
-gyakoriság = előfordulási (db) szám = gi
összes adatok száma = n
-relatív gyakoriság = részarány = rész/egész = gi/n = ri
kibővített gyakorisági táblázat:
-középponti szögek = ri·360° = αi
-kummulált értékek = göngyölített (felhalmozódott) értékek
α1; α1+α2; ...;360°
diagramok/grafikonok:
-oszlopdiagram
-kördiagram
mutatók: -középértékek: -(súlyozott) számtani átlag = x, xátl
adatok összege/adatok száma = Σxi/n
-módusz: leggyakoribb adat = max(gi) = mod
lehet kettő is, de minden adat nem lehet módusz
- medián: med
sorbarendezett adatsorban
középső, középső kettő adat átlaga
(n+1)/2. adat
-szóródásértékek:
-terjedelem: max(xi) - min(xi) adat
-szórás: σ = átlagtól való átlagos eltérés
eltérésnégyzetek: yi = (xi -xátl)²
ezek átlaga: Σyi/n = szórásnégyzet, variancia = var
gyökvonás: σ = √var
4. Témakörök vázlata: Logika
Logika
kijelentés:
"kijelentő mondat."
logikai érték:
-igaz (i)
-hamis (h)
logikai műveleti táblázatok
módosító elemek:
NEM = tagadás (¬A)
NEM + MINDEN (∀) = létezik, amelyik nem
NEM + LÉTEZIK (∃) = mindenre jellemző, hogy nem
összekapcsoló elemek:
ÉS = konjunkció (A ∧ B)
VAGY = diszjunkció (A ∨ B)
viszonyító elemek:
HA, ... AKKOR = implikáció (A → B)
-feltétel (A)
-következmény (B)
megfordítás (B → A)
AKKOR, ÉS CSAKISAKKOR = ekvivalencia (A ↔ B)
3. Témakörök vázlata: Kombinatorika
Kombinatorika
n = a különböző elemek száma
ismétlés nélküli permutáció = lehetséges sorrendek száma
felsorolás: növekvő sorrendben!
elején rögzít, hálulján cserél (oszlopszerűen)
ABC, BAC, CAB,
ACB BCA CBA
dobozmodell: Pn = n·(n - 1)· ...·2·1
képlet: Pn = n! (faktoriális)
ciklikus permutáció:
Pnc = (n - 1)!
n1, n2, ... = az ismétlődő elemek száma
ismétléses permutáció
képlet: Pn1,n2... = n!/(n1!·n2!· ...)
két csoport esetén:
k, n -k elemszámok
képlet: P = n!/(k!·(n - k)!)
n = összes különböző elem
k = kiválasztott elemek száma
ismétlés nélküli kombináció = lehetséges kiválasztások száma
sorrend nem számít!
dobozmodell: Cnk = n!/(k!·(n - k)!)
képlet: Cnk = (n k) = n alatt a k
n = lányok száma
n - 1 = elválasztó jelek száma
k = virágok (virágjelek) száma
n + k - 1 = jelek száma
ismétléses kombináció
képlet: Cnki = (n+k-1 k)
kiválasztás + sorbarendezés:
ismétlés nélküli variáció:
sorrend számít!
doboz modell: Vnk = n·(n -1)·...·(n -k +1)
Képlet: Vnk = n!/(n -k)!
Vnk = (n k)·k!
ismétléses variáció:
Képlet: Vnki = nk
2. Témakörök vázlata: Gráfok
Gráfok
pontok, csúcsok
csúcsok száma = n
fokszám: kiinduló élek száma
fokszámok összege
= élek száma*2
teljes gráf: fokszámok összege = maximális
teljes gráf éleinek száma = n*(n - 1)/2
3 csúcsú → 3 = 2 + 1
4 csúcsú → 6 = 3 + 2 + 1
5 csúcsú → 10 = 4 + 3 + 2 + 1
6 csúcsú → 15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1
izolált pont: fokszám = 0
üres gráf: fokszámok összege = minimális
+ élek, vonalak
irányítatlan ⇔ irányított
- hurokél
- többszörös (párhuzamos) él
egyszerű gráf = nincs hurok és többszörös él
élsorozatok
vonal = az éleken csak egyszer halad át
Euler-vonal = minden élen áthalad
út = a csúcsokon csak egyszer halad át
összefüggő gráf ⇔ széteső gráf
kör = kezdő- és végpont azonos
Hamilton-kör = minden csúcson áthalad
fagráf = nincs benne kör
gyökérelem
csomópont
levélelem
= gráf
megalkotás fokszámokból
legnagyobb fokszámú → legkisebb fokszámú → ... (kipipálás)
1. Témakörök vázlata: Halmazok
Halmazok
-halmaz (A) ⇔ nem halmaz
-eleme (a ∈ A) ⇔ nem eleme (b ∉ A)
-halmazmegadás:
-elemek felsorolásával {a; ...}
-sorrend nem számít
-minden elem csak egyszer szerepelhet
halmaz elemszáma = számosság = (|A|)
-véges halmaz ⇔ végtelen halmaz
-halmazábrával (Venn-diagrammal)
-közös tulajdonság megadásával A = {egyjegyű prímek}
-képlettel A = {x|x=2k+1, ahol k = 1;2;3;4;5}
-kiolvasása: az A halmaz olyan x számokból áll, amelyekre teljesül, hogy
az x 2k+1 alakú számokból áll, ahol a k értéke 1;2;3;4;5 lehet.
-van eleme (nem üres halmaz) ⇔ nincs eleme (üres halmaz)(∅ {})
-részhalmaza (A, ha A ⊆ B) ⇔ tartalmazó halmaza (B, ha A ⊆ B)
valódi részhalmaza (A, ahol A ⊂ B és ahol A ≠ ∅) ⇔ nem valódi részhalmaza (B-nek nem valódi részhalmaza: B és ∅)
-konkrét|vizsgált halmaz (A)⇔ alaphalmaz (U)
-konkrét|vizsgált halmaz (A) ⇔ kiegészítő (komplementer) halmaz (A)
-faktorhalmaz = összes részhalmazok halmaz (2n elemet tartalmaz)
-számhalmazok ⇔ bizonyos számokból álló véges halmazok
pozitív egészek (Z+)
+ nulla (0)
= természetes számok (N)
+negatív egészek (Z-)
= egészek (áltörtek)
+valódi törtek
=törtek(racionális számok) (Q)
véges tizedes törtek
+végtelen szakaszos tizedes törtek
+végtelen nem szakaszos tizedes törtek (irracionális számok)(Q*)
=valós számok (számegyenes pontjai) (R)
kitekintés:
-algebrai számok (A)
-komplex számok (C)
normál alakú számok
kettes számrendszerbeli számok
-egymást metsző halmazok ⇔ közös elem nélküli (diszjunkt, egymástól elkülönülő) halmazok
-halmazok metszete (A ⋂ B)
-halmazok különbsége (A \ B, B \ A)
-halmazok uniója (A ⋃ B)
3k-szabály: középkezdés, kivonás, kiegészítés
logikai-szita formulák
-véges intervallumok ⇔ végtelen intervallumok:
-zárt ⇔ nyitott ⇔ egyik oldalról nyitott intervallumok
-intervallumok metszete, uniója, különbsége
-síkbeli ponthalmazok ⇔térbeli ponthalmazok
nevezetes alakzatok:
-szakaszfelező merőleges ⇔ szögfelező
kúpszeletek:
-kör ⇔ gömb
-ellipszis, parabola, hiperbola
-egyéb objektumokból álló véges halmazok ⇔ számokból álló véges halmazok
betűkből álló halmazok
tárgyhalmazok
emberhalmazok
- heterogén (nem egyféle elemből felépülő) halmazok ⇔ homogén (egyféle elemből felépülő) halmazok
gráfok:
-pontok
-élek
Kapcsolódási pontok:
- LOGIKAI kijelentések műveletei ⇔ halmazműveletek
- VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS eseményei ⇔ halmazműveletek
HALMAZOK: nincs elemismétlődés + sorrend nem számít
⇕
+KOMBINATORIKA: lehet elemismétlődés + sorrend lehet, hogy számít
+STATISZTIKA: van elemismétlődés + sorrend lehet, hogy számít
= Gondolkodási módszerek
2022. augusztus 19., péntek
3. Logika igaz-hamis teszt
Dönts az alábbi mondatokról! Igazak, hamisak, vagy nem tartoznak a logika tárgykörébe!
NÉV: PONT:Igaz-hamis állítások:
| Ssz. | Állítás | Igaz | Hamis | Nem kijelentés |
? |
| 1. | |||||
| 2. | |||||
| 3. | |||||
| 4. | |||||
| 5. | |||||
| 6. | |||||
| 7. | |||||
| 8. | |||||
| 9. | |||||
| 10. | |||||
| 11. | |||||
| 12. | |||||
| 13. | |||||
| 14. | |||||
| 15. |
2022. augusztus 18., csütörtök
2. Kétváltozós logikai műveletek
Kétváltozós logikai műveletek
Hány különböző kétváltozós kijelentés létezik?
Vegyünk egy halmazábrát! Két egymást metsző halmazkarika az alaphalmazt 4 területre bontja.
Minden területnél fel kell tennünk a kérdést: igaz, vagy hamis a logikai értéke, hogy az elem itt található.
Ennek megfelelően a lehetőségek száma: 24 = 16.
A wikipedia táblázatos formában fel is sorolja a lehetőségeket.
Nekünk csak a megnevezések szükségesek:
1. A
2. ¬A
3. B
4. ¬B
5. I = mindig igaz
6. H = mindig hamis
7. A∧B
8. ¬(A∧B)
9. A∨B
10. ¬(A∨B)
11. A→B
12. ¬(A→B)
13. B→A
14. ¬(B→A)
15. A↔B
16. ¬(A↔B)
Vezessünk be újabb logikai műveleteket!
Halmazelméleti megfelelők mentén haladva: - a részhalmazképzésnek a következtetés, HA ... AKKOR (implikáció, jele: A→B),
- halmazok egyenlőségének az AKKOR ÉS CSAKIS AKKOR (ekvivalencia, jele: A↔B),
- a metszetképzésnek a logikai ÉS (konjunkció, jele: A∧B),
- az unióképzésnek a logikai VAGY (diszjunkció, jele: A∨B) művelete feleltethető meg.
Mit tudunk a logikai ÉS műveletről?
| A | B | A∧B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | h |
| h | h | h |
Állítások:
1. A∧¬A = H
2. ¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B
Mit tudunk a logikai VAGY műveletről?
| A | B | A∨B |
| i | i | i |
| i | h | i |
| h | i | i |
| h | h | h |
Állítások:
1. A∨¬A = I
2. ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B
Mit tudunk következtetés műveletről?
| A | B | A→B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | i |
| h | h | i |
Állítások:
1. A→B ≠ B→A
2. A∧¬A = H
3. A→B = ¬A ∨ B
Ebből az következik, hogy bármelyik kétváltozóslogikai művelet kifelyezhető NEM, ÉS, VAGY műveletek segítségével.
Mit tudunk az ekvivalencia műveletről?
| A | B | A↔B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | h |
| h | h | i |
Állítások:
1. A↔B = (A→B) ∧ (B→)
Mit tudunk feltételekről és a következményekről?
A következtetés két részből áll: "Ha A, akkor B."
Az A = feltétel.
A B = következmény.
Ha megcseréljük az A-t és a B-t, akkor az állítás megfordításáról beszélünk.
A. eset:
Ha egykövetkeztetés igaz és a megfordítása is igaz, akkor ekvivalenciáról beszélünk.
pl. "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor és csakis akkor, ha a szám osztható 2-vel és 3-mal is."
A 6-tal való oszthatóság a 2-vel és 3-mal való oszthatóságnak a szükséges és elégséges feltétele és fordítva.
Mi a helyzet akkor, ha egy következtetés igaz, de a megfordítása már nem igaz?
B. eset:
"Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is."
Ez az állítás egyenértékű azzal, hogy
"A 6-tal osztható számok szűkebb halmazt alkotnak, mint a 2-vel osztható számok."
A = szűkebb halmaz (részhalmaz),
B = tágabb halmaz (tartalmazó halmaz).
"Ha egy elem beletartozik egy szűkebb részhalmazba, akkor beletartozik egy tágabb tartalmazó halmazba is."
"A 2-vel való oszthatóság a 6-tal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal szükséges, hogy 2-vel osztható legyen, de nem elégséges, mert vannak olyan 2-vel osztható számok,
amik nem oszthatók 6-tal."
Tehát B (a tágabb halmazhoz való tartozás) az A-nak (a szűkebb halmazhoz való tartozás) szükséges, de nem elégséges feltétele.
"A 6-tal való oszthatóság a 2-vel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 2-vel elegendő azt tudnunk, hogy a szám osztható 6-tal, mert minden 6-tal osztható szám osztható 2-vel is,
de így nem kapjuk meg az összes 6-tal osztható számot, tehát a szükségesség nem teljesül."
Tehát A (a szűkebb halmazhoz való tartozás) a B-nek (a tágabb halmazhoz való tartozás) elégséges, de nem szükséges feltétele.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Hány egyváltozós és hány kétváltozós művelet létezik? 2. Melyik kétváltozós logikai műveletnek felel meg a részhalmazképzés?
3. A logikai ÉS művelet melyik logikai művelettel áll rokonságban? Megnyilvánul-e ez a jelek szintjén is?
4. Mi a VAGY művelet latin neve?
5. Milyen összefüggés van a következtetés és az ekvivalencia műveletek között?
6. Mi a logikai értéke a "Lenni, vagy nem lenni." kijelentésnek.
7. Miben különbözik a logikai ÉS és a logikai VAGY művelet logikai táblázata?
8. Mikor beszélhetünk szükséges és elégséges feltételről?
9. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi a szükséges feltétel?
10. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi az elégséges feltétel?
Kétváltozós logikai műveletekre vonatkozó feladatok:
1.Két állítást fogalmaztunk meg.A: 320 osztható 40-nel.
B: 320 osztható 50-nel.
Fogalmazd meg az A⋀B; A⋁B állításokat, és állapítsd meg az igazságértéküket!
2.Állapítsd meg az alábbi állítások igazságértékét:
"Egy szorzat negatív, ha van negatív szorzótényezője."
"Két különböző valós szám négyzetösszege pozitív."
"Egy konvex ötszögnek négy átlója van."
"A 2 prímszám vagy a 7 páros szám."
"A 2 prímszám és a 8 páros szám."
"A 6 nem páros vagy a 7 nem páros szám."
3.Tagadjuk az alábbi állításokat!
"Minden kutya ugat."
"A 7 páratlan szám."
"Van örökzöld növény."
"Minden sokszögnek van átlója."
"Bármely valós szám abszolút értéke pozitív."
4. Állapítsuk meg az alábbi kijelentések igazságértékét, majd fordítsuk meg a kijelentéseket,
és határozzuk meg az így kapott kijelentések igazságértékét is!
"Ha egy szám páros, akkor osztható néggyel."
"Ha egy négyszög négyzet, akkor átlói merőlegesek egymásra."
"Ha hat valós szám szorzata pozitív, akkor a tényezők között páros darab negatív előjelű szám van."
"Ha egy tört számlálója nagyobb, mint a nevezője, akkor a tört értéke nagyobb, mint egy."
1. Kijelentések
Kijelentések
Mik a kijelentések?
Azokat a kijelentő mondatokat (állításokat), amelyeknek az igazságtartalma egyértelműen meghatározható kijelentéseknek nvezzük. A logikai érték azt jelenti, hogy a kijelentés igaz, vagy hamis.
A kijelentéseket az ábécé nagy betűivel jelöljük.
Az azonosan (mindig) igaz állításokat I-vel jelöljük.
Az azonosan hamis állításokat H-val jelöljük.
A kijelentések többnyire elemekre és tulajdonságokra vonatkoznak.
Az ilyen jellegű kijelentésekben nagyon gyakran szerepelnek a következő szavak:
- létezik, van (egzisztenciális kvantor: ∃ = fordított E betű = Exist)
- minden (univerzális kvantor: ∀ = fordított A betű = Alles).
1. Kijelentésminta:
A következő mondat kijelentés:
"Létezik olyan prímszám, amelyik páros."
Ez a kijelentés igaz, mert a 2 prímszám és páros is.
A kijelentésmintából jól látszik, hogy a logikai érték megadását általában indoklás követi, amikor példát, vagy ellenpéldát mondunk az állításra.
Az igaz állítások indoklása el szokott maradni.
2. Kijelentésminta:
"Minden prímszám páratlan."
Ez a kijelentés hamis, mert létezik olyan prímszám (a 2), amelyik páros.
Látható, hogy egy állítás hamisságának megállípításához egyetlen ellenpélda is elegendő. Ha nincs ellenpélda, akkor az állítás igaz.
Mit nevezünk tagadásnak?
A tagadás, vagy negáció olyan logikai művelet, amely a NEM szócska használatát jelenti. A negáció jele: ¬.
Egy igaz kijelentés tagadása hamis, egy hamis kijelentés tagadása igaz állítás lesz.
logikai táblázat: az összes lehetséges eset bemutatására szolgál.
| A | ¬A |
| i | h |
| h | i |
Látható, hogy a negáció egyváltozójú logikai művelet.
Hogyan tagadjuk a léteziket és a mindent?
A matematikai logika és a halmazelmélet között szoros kapcsolat van. Ennek megfelelően a halmazok segítségével a logikai kijelentéseket is szemléletessé lehet tenni.
A tagadás a halmazelméletben összefüggésbe hozható
- a halmazképzéssel
- a komplementerképzéssel
- és az üres halmaz fogalmával.
Ha MINDEN elemre teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek a halmazon belül vannak.
Tehát NINCS olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz üres.
Ha viszont NEM MINDEN elemre sem teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek egy része a halmazon kívül vannak.
Tehát biztosan van olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz nem üres.
Ha azt állítjuk, hogy LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan nem üres.
Ha viszont azt állítjuk, hogy NEM LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan üres.
A LÉTEZIK tagatásai:
- "nem létezik", "nincs"
- "mindegyik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú". vagy "egyik sem ... tulajdonságú".
pl. "Létezik piros hó." kijelentés tagadásai:
- "Nem létezik piros hó."
- "Nincs piros hó."
- "Minden hó olyan, hogy nem piros színű."
- "Egyik hó sem piros."
A MINDEN tagadásai:
- "nem minden"
- "van|létezik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú".
pl. "Minden háromszög belső szögeinek összege 180°." kijelentés tagadásai:
- "Nem mindegyik háromszögre teljesül, hogy a belső szögeinek összege 180°."
- "Létezik olyan háromszög, amelyeiknek a belső szögeinek az összege nem 180°."
Összefoglava:
A MINDEN egyik tagadása: LÉTEZIK, amelyik NEM.
A LÉTEZIK egyik tagadása: MINDEN-re teljesül(|igaz az), hogy NEM.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Létezik-e olyan kijelentés, amelyikről nem tudjuk eldönteni, hogy igaz, vagy hamis? Miért? 2. A "talán" szó lehet-e egy kijelentés logikai értéke? Miért?
3. Milyen betűkkel jelöljük a kijelentéseket?
4. Milyen szavakból származik a "létezik", és a "minden" szavak jele?
5. Hány ellenpélda szükséges egy kijelentés hamis voltának megállapításához?
6. Hogyan lehet nyelvileg felismerni a logikai tagadás műveletét?
7. Mit jelent a logikában a kettős tagadás?
8. Mi lesz egy "létezik" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
9. Mi lesz egy " minden" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
10. Hányváltozós logikai művelet a tagadás?
Tagadásra vonatkozó feladatok:
1. Döntsd el, hogy az alább felsoroltak közül melyik mondat a tagadása a következő állításnak!"Minden érettségi feladat egyszerű."
A: "Minden érettségi feladat bonyolult."
B: "Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű."
C: "Sok érettségi feladat bonyolult."
D: "Van olyan érettségi feladat, ami egyszerű."
2. Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja:
"Minden háztartásban van televízió."
Az alábbi négy állítás közül melyik tagadása Tamás állításának?
A: "Semelyik háztartásban nincs televízió."
B: "Van olyan háztartás, ahol van televízió."
C: "Van olyan háztartás, ahol nincs televízió."
D: "Nem minden háztartásban van televízió."
3. Tekintsd a következő állítást:
"A városban minden kéményseprő fekete."
Válaszd ki az alábbi állítások közül az összeset, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A városban minden kéményseprő fehér."
B: "A városban nincs fekete kéményseprő."
C: "Van a városban olyan kéményseprő, aki nem fekete."
D: "A városban nem minden kéményseprő fekete."
4.Egy autószalonról szól a következő állítás:
"A szalonban van olyan autó, amelyik kék."
Válaszd ki az összes olyan állítást, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A szalonban van olyan autó, amelyik nem kék."
B: "A szalonban minden autó kék."
C: "A szalonban egyik autó sem kék."
D: "Nincs a szalonban kék autó."
5.Fogalmazd meg a következő állítások tagadását!
"Van olyan társasjáték, amelyhez nem kell dobókocka."
"Van olyan mackó, amelyik szereti a mézet."
"Minden növénynek szüksége van oxigénre."
"Minden madár tud repülni."
2022. augusztus 17., szerda
9. Témazáró feladatok (Sorozatok)
Témazáró feladatsor (Sorozatok)
Azonosító: 353004
1.
Egy számsorozat első tagja 3.
Adjuk meg a sorozat első hat tagját, ha tudjuk, hogy a(n+1) = 3·an −2, ahol n pozitív egész szám!
Adjuk meg a sorozat első hat tagját, ha tudjuk, hogy a(n+1) = 3·an −2, ahol n pozitív egész szám!
2.
Egy számtani sorozat első tíz tagjának összege 20;
ezek közül a páratlan indexű tagok összege 5.
Melyik ez a sorozat?
ezek közül a páratlan indexű tagok összege 5.
Melyik ez a sorozat?
3.
Egy derékszögű háromszög oldalai számtani sorozatot alkotnak.
A háromszög kerülete 84 cm. Mekkora a háromszög területe, illetve legkisebb szöge?
A háromszög kerülete 84 cm. Mekkora a háromszög területe, illetve legkisebb szöge?
4.
Adjuk meg az n-dik tagját az alábbi mértani sorozatoknak!
a) 6/5; 12/5; 24/5;...
b) 5/2; 5/4; 5/8;...
c) 3; –9; 27; ...
a) 6/5; 12/5; 24/5;...
b) 5/2; 5/4; 5/8;...
c) 3; –9; 27; ...
5.
Határozzuk meg az alábbi mértani sorozatok hányadosát!
a) a1 = 4; a5 = 64
b) a1 = 2/5; a5 = 1/40
c) a1 = √5; a5 = 1/√5
a) a1 = 4; a5 = 64
b) a1 = 2/5; a5 = 1/40
c) a1 = √5; a5 = 1/√5
6.
Tíz éven keresztül minden év elején elhelyezünk a bankban 100 000 forintot.
Mennyi pénzünk lesz a tizedik év végén, ha a kamat mértéke 5,5% évente?
Mennyi pénzünk lesz a tizedik év végén, ha a kamat mértéke 5,5% évente?
Feliratkozás:
Bejegyzések (Atom)