1. Hány olyan egész szám van, amelynek abszolút értéke nem nagyobb, mint 5?
2. Egy rombusz átlói 40 cm és 32 cm hosszúak.
Milyen hosszú a rombusz oldala?
Válaszod tizedes tört alakban, két tizedesjegyre kerekítve add meg!
3. Határozd meg, hogy a 3; 4; 6; 4; 5; 8; 10; 5; 4; 7; 10 minta esetében hány százalékkal nagyobb a minta terjedelme a minta félterjedelménél!
4. Egy szabályos tizennégyszög esetében mennyi a
a) belső szögek összege;
b) külső szögek összege?
5. Legyen x egy pozitív egész szám.
Tekintsd a következő állítást:
A: Ha x osztható 5-tel, akkor az ötös számrendszerben az egyesek helyén álló számjegye 0.
a) Mi az A állítás logikai értéke?
b) Fogalmazd meg az állítás megfordítását!
c) Mi a b) részben megfogalmazott állítás logikai értéke?
6. Egy pénzérmét egymás után háromszor feldobunk.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy először fejet dobunk, utána kétszer írást?
7. Az A halmaznak 14 eleme van.
Hány olyan részhalmaza van az A halmaznak, amelynek 3 vagy 4 eleme van?
8. Egy számtani sorozat első tagja 6; differenciája 0,4.
Határozd meg az első 100 tag összegét!
9. Az ábrán egy másodfokú függvény grafikonja látható.
A parabolaív „csúcspontja” rácspont (mindkét koordinátája egész szám), és a parabolára illeszkedik a (4; 0) koordinátájú pont.
a) Add meg a grafikonjával megadott másodfokú függvény hozzárendelési szabályát!
b) Add meg a függvény értelmezési tartományát!
c) Add meg a függvény értékkészletét!
10. Legyen az A halmaz a [2; 6] zárt intervallum, a B halmaz a ]3; 10[ nyílt intervallum.
Add meg intervallumjelőléssel az A , B és az A \ B halmazokat!
11. Pista 28 cm átmérőju pizzát rendelt 2150 Ft-ért, de a kiszállítás után lemérve a pizza átmérője csak 25 cm.
Hány százalékkal kisebb területű pizzát kapott Pista, mint amire számított?
Írd le a számítás menetét!
A végeredményt egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
12. Legyen az A esemény az, hogy két dobókockával dobva a dobások összege 6.
Válaszd ki az alábbi események közül az összeset, amellyel az A esemény egymást kizáró eseménypárt alkot!
B: Az egyik dobás eredménye 6.
C: A két dobás szorzata 5.
D: A két dobás különböző, a nagyobbik és a kisebbik dobás különbsége 4.
II. rész „A”
13. Adott a koordináta-rendszerben három pont: A(-3; 2), B(5; 0) és C(2; 5)
a) Írd fel az AB átmérőju kör egyenletét!
b) Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög derékszögű!
c) Az AB átmérőjű körlemezen véletlenszeruen kiválasztunk egy P pontot.
Mennyi a valószínűsége, hogy a P pont az ABC háromszögnek is belső pontja?
14. Egy középiskolai kosárlabda-bajnokságon 8 csapat körmérkozést játszik, vagyis bármely csapat egy-egy meccset játszik minden másik csapattal.
A mérkozések mind ugyanazon a pályán zajlanak, egymás után.
Egy meccsre 15 percet szánnak, és a meccsek közt 5 perces szünetet tartanak.
a) Mennyi ideig tart a bajnokság lebonyolítása?
b) Hányféleképpen alakulhatott az első mérkőzés két részt vevő csapata, ha arra véletlenszeruen választották ki a csapatokat?
c) Déli 12 órára már 9 mérkozés lezajlott a csapatok között.
Igaz-e, hogy ekkor biztosan van olyan csapat, amelyik már 3 meccsen is túl van?
d) Két csapat a 12. a osztály diákjai közül állt össze.
Ha véletlenszeruen választják ki a 8 csapat számára a római számmal ellátott öltözőket (I.; II.; …; VIII.), akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy az I., II. vagy III. öltözők valamelyikét kapja ez a két csapat?
15. Egy szabályos sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, mint az annál kettővel nagyobb oldalszámú szabályos sokszögnek.
a) Hány oldalúak ezek a sokszögek?
b) Mekkora az említettek közül a kisebb oldalszámú szabályos sokszög egy szögének nagysága?
A választ fokban, egy tizedesjegy pontossággal add meg!
c) A nagyobb oldalszámú szabályos sokszög oldalának hossza 20 cm.
Mekkora annak a hasábnak a felszíne és térfogata, amelyiknek az alaplapja egy ilyen sokszög, magassága pedig 6 cm?
II. rész „B”
16. Egy csomagolóüzemben meghibásodott egy gép, és 0,2 valószínűséggel nem ragaszt matricát az éppen összeállított dobozra.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy a hibás gép 12 alkalom közül legfeljebb 2 alkalommal nem ragaszt matricát a dobozra?
Az üzem egyik alkalmazottja úgy dönt, hogy nyit egy új bankszámlát (egy gyűjtőszámlát), és ezen a számlán gyűjti a megtakarításait.
Negyedévente befizet 120 000 Ft-ot erre a számlára.
A számla éves kamata 8%, a számlán negyedévente – az új tétel befizetése előtt – írják jóvá a negyedéves kamatot.
(A következő negyedévben minden alkalommal az addig bent lévo összeg, a jóváírt kamat és az újonnan befizetett összeg is kamatozik.)
b) Mennyi pénz lesz a számlán 3 év múlva, ha 3 év alatt a leírtakon kívül más pénzmozgás nem történik rajta?
c) Az üzem egy másik alkalmazottja néhány évvel ezelőtt bankbetétbe helyezte el 1 500 000 Ft-ját, éves 6%-os kamatos kamatra.
Hány év telt el a lekötés óta, ha most 50%-kal több pénze van ezen a számláján, mint amikor lekötötte a pénzét, és azóta nem nyúlt ehhez a számlához?
17. Egy társasjátékban olyan dobókockákat használnak, amelyeknek egyik oldalán kettő, két oldalán négy és három oldalán hat pötty látható.
a) Töltsd ki a táblázatot, majd határozd meg, hogy mennyi egy dobás várható értéke!
Dobás
A dobás valószínűsége
b) Két ilyen dobókockával dobva mennyi a valószínűsége, hogy a két dobás összege 8?
c) Az események függetlenségének definíciója alapján bizonyítsd be, hogy nem független egymástól a következő két esemény!
A: Két ilyen kockával dobva a dobások összege 8.
B: Két ilyen kockával dobva pontosan egy dobás hatos.
18. Egy laboratóriumban az egyik napon hússzor végeztek el egy mérést.
Gyakorisági táblázatba foglalták a mérési eredményeket.
Mérés eredménye (másodperc) 12,5 13 13,5 14 14,5
Gyakorisága 3 6 5 4 2
a) Készíts a mérési eredményekrol kördiagramot, és add meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek nagyságát!
b) Készíts a mérési eredményekrol dobozdiagramot!
c) Határozd meg a mérési eredmények szórását!
d) Másnap folytatták a méréseket.
Azt tapasztalták, hogy ha a másnapi első két mérési eredménnyel kiegészítik az előző napi eredményeket, akkor az eredmények átlaga 0,1-del megnő.
Mennyi a másnapi két mérési eredmény átlaga?
1. Arnold és hat barátja moziba mennek.
Hányféle sorrendben ülhetnek egymás mellé a lefoglalt 7 helyen, ha Arnold középen ül?
2. Határozd meg annak a derékszögu trapéznak a kerűletét, amelynek alapjai 10, illetve 22 cm hosszúak, a derékszögű szár pedig 5 cm hosszú!
3. Állapítsd meg az ábrán lévo, grafikonjával adott függvény szélsőértékeinek típusát, értékét és helyét!
4. Milyen számjegyeket írhatunk a 367x2y hatjegyű szám ismeretlen számjegyeinek helyére ahhoz, hogy a szám osztható legyen 12-vel?
Határozd meg az összes lehetséges (x; y) rendezett számpárt!
5. Határozd meg az alábbi állítások logikai értékét!
A: Van középpontosan szimmetrikus háromszög.
B: Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus valamelyik átlójára.
C: Van középpontosan szimmetrikus trapéz.
6. Egy részvény ára április 30-án 3670 Ft.
A részvények ára nagyon sok összetevőtől függhet.
Egy elemző szerint ennek a részvénynek az ára három hónap múlva 0,2 valószínűséggel 3690 Ft, 0,1 valószínűséggel 3790 Ft, 0,4 valószínűséggel 3680 és 0,3 valószínűséggel 3650 Ft lesz.
Ezen becslés adatai alapján három hónap múlva mennyi a részvény árának várható értéke?
7. Két dobókockával dobunk.
Legyen az A esemény az, hogy a dobott számok összege 4, a B esemény pedig az, hogy az egyik dobás eredménye 3.
A táblázat első oszlopában két dobás eredményét látod.
Jelöld a táblázatban az igen, illetve a nem szavak beírásával, hogy bekövetkezik-e az A + B, illetve az A * B esemény az adott esetekben!
Bekövetkezik-e az A + B esemény?
Bekövetkezik-e az A * B esemény?
8. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és a kapott számokat egymás után írjuk.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy 39-nél nagyobb, hárommal osztható számot kapunk?
Válaszod indokold!
9. Milyen hosszú az A(-4; 2), B(3; -7) és C(1; -10) csúcsokkal adott háromszög AC oldalával párhuzamos középvonala?
10. Az ABCD téglalap oldalai 7 cm és 3 cm hosszúak, az ehhez hasonló AlBlClDltéglalap területe pedig 42 cm2.
Add meg egy tizedesjegyre kerekítve, hogy hány cm az A'B'C'D' téglalap rövidebb oldala!
Írd le a számítás lépéseit!
11. Amikor a víz megfagy, térfogata 11 1 -ed részével megnő.
Hányad részével csökken a jég térfogata olvadáskor?
12. Bizonyítsd be, hogy az alábbi egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása!
]x - 2g2 + x - 1 = 0
II. rész „A”
13. Nyaranta Révfülöp és Balatonboglár között kerül sor a Balaton-átúszásra.
Mintegy tízezer ember ússza át a Balatont, és teszi meg a kb. 5,2 km-es távolságot.
A két település egyébként is népszerű kirándulóhely.
Sokan keresik fel a révfülöpi kiindulási hely kilátóját a Fülöp-hegyen, illetve a boglári hegy csúcsán a Xantus János Gömbkilátót.
A két kilátó távolsága közelítőleg 6 km.
1998-ig visszamenőleg elérhetők az átúszás legérdekesebb statisztikai adatai az interneten.
Az alábbi táblázatban a 2004–2020 közötti időszak legfiatalabb és legidősebb átúszóit tüntettük fel nemek szerint (2005-ben és 2010-ben a sorozatos rossz idő miatt nem tartották meg az átúszást).
2004 2006 2007 2008 2009 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Legfiatalabb női úszó 9 8 7 8 7 9 8 8 9 8 8 6 8 6 8
Legfiatalabb férfiúszó 6 7 8 8 8 9 8 8 8 8 7 7 7 7 8
Legidősebb noi úszó 69 72 73 74 73 77 78 76 80 78 79 80 81 82 75
Legidősebb férfiúszó 77 79 87 77 78 79 82 82 83 84 85 82 83 82 83
a) Készíts gyakorisági táblázatot a legfiatalabb noi úszók életkoráról!
b) Határozd meg a mediánt, az átlagot és a móduszt a legidősebb férfiúszó kategóriában!
c) Készíts dobozdiagramot a legidősebb noi úszó kategória adatairól!
d) Milyen messze van Fonyód a Fülöp-hegyi kilátótól, ha tudjuk, hogy a Gömbkilátó 9 km-re van Fonyódtól, és a Fülöp-hegyet Fonyóddal összekötő egyenes 50°-os szöget zár be a Fülöp-hegyet a Gömbkilátóval összeköto egyenessel?
14. Az egyetem egyik irodája előtt 6 diák várakozik: Anna, Béla, Csaba, Dénes, Elek és Fanni.
a) Megkérdezték oket, hogy a jelenlévok között kinek hány ismerőse van.
Ezeket a válaszokat kapták:
2; 3; 3; 2; 1 és 2.
Bizonyítsd be, hogy ezek a válaszok nem teljesülhetnek egyszerre (tehát legalább egyikük tévedett).
(Feltesszük, hogy az ismeretség kölcsönös.)
b) Hányféle sorrendben érkezhettek az iroda elé, ha egyesével érkeztek, és tudjuk, hogy Anna előbb jött, mint Béla?
c) A 6 várakőző ember közül véletlenszerűen kiválasztunk 3 főt.
Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan egy lány van a kiválasztott 3 diák között?
15. Andrásnak tavaly több volt a fizetése, mint Bélának.
András 11 havi fizetése volt annyi, mint Béla egész éves keresete.
Idén január elsejétol mindketten fizetésemelést kaptak.
A szerzodésük szerint idén január elsején és innentol kezdve minden év január elsején egy adott százalékkal emelkedik a fizetésük.
Így Andrásnak 2%-kal, míg Bélának 3%-kal no minden év január elsején a fizetése.
a) Ha megmarad ez a növekedési ütem, akkor hány év múlva fordul elő először, hogy Béla fizetése nagyobb lesz, mint Andrásé?
b) András cégénél 26-an dolgoznak, a dolgőzők átlagfizetése 293 000 peták.
Felvesznek a céghez egy informatikust 352 000 peták és egy gazdasági ügyintézot 333 000 peták fizetéssel.
Mennyi lesz ekkor a fizetések átlaga a cégnél?
II. rész „B”
16. Körbe akarjuk biciklizni a Balatont.
A Balatoni Körút hossza kb. 210 km.
Úgy tervezzük, hogy mindennap 10 km-rel többet teszünk meg, mint az előző napon.
a) Hány km-t tekerjünk elso nap, ha 6 napra tervezzük a túrát?
b) Hány napig fog tartani a kör, ha elso nap 60 km-t tekerünk?
Egy másik baráti társaság is körbetekeri a Balatont.
Ők az alapján tervezik meg az utat, hogy melyik településen találnak maguknak kedvezo áron szálláshelyet.
Révfülöprol indulva az általuk kiszemelt lehetséges szállások közti távolságok a következok: Révfülöp – 32 km – Balatonfüred – 31 km – Balatonkenese – 41 km – Balatonföldvár – 46 km – Balatonmáriafürdő – 28 km – Balatongyörök – 32 km – Révfülöp.
Hányféle út lehetséges, ha Révfülöpről indulnak, és egy nap
c) legfeljebb 70 km-t;
d) legalább 70 km-t;
e) legfeljebb 90 km-t
akarnak tekerni, valamint nem feltétel, hogy minden szálláshelyen éjszakázniuk kell?
17. Bimbó, a tehén egy – síknak tekinthető – réten legelészik.
Tőle északra 9 méterre álldogál Riska, a másik tehén.
Riskától keleti irányban, ugyanakkor Bimbótól 15 méterre heverészik Kócos, a puli kutya.
Helyezd el egy derékszögű koordináta-rendszerben az állatokat jelző R; B; K (rendre Riska; Bimbó; Kócos) pontokat úgy, hogy R legyen az origóban, B az ordinátatengely negatív felén, valamint K az abszciszszatengely (x tengely) pozitív ágán!
(Tekintsük ilyen szempontból pontszerűnek az állatokat.
Észak az y tengely pozitív irányában, kelet az x tengely pozitív irányában van.)
a) Határozd meg az említett állatok helyének koordinátáit rendezett valós számpárokkal, ha az egységet egy méternek tekintjük!
b) Az előbbi koordináták figyelembevételével írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely mentén Kócos és Bimbó elhelyezkedik!
Riska az origóban rögzített, 7 méter hosszúságú kötéllel van kipányvázva.
c) A három állat eredeti helyzetével létrehozott BRK háromszög terűletének hány százalékát tudja ilyen módon bejárni?
Az eredményt egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
A nap folyamán legelészés közben Riska az x tengely mentén haladt.
Kócos és Bimbó az eredeti helyükön maradtak.
d) Az x tengelynek melyik az a pontja, amelyik egyenlő távolságban van Kócostól és Bimbótól?
Állhat-e ebben a pontban Riska a kipányvázás ellenére?
18. Egy úszómedence 15 m széles, 50 m hosszú, és a hosszabb oldala mentén a vízmélység 170 cm-rol egyenletesen nő 250 cm-ig.
a) Mennyi víz fér a medencébe?
b) Télen a medence fölé az ábra szerint egy félhenger alakú sátrat húznak, amelynek két végét függőleges síkú félkörökkel zárják le.
A félhenger alakú sátor alaplapja olyan félkör, amelynek sugara 9 m hosszú, a sátor hossza 54 m.
Hány négyzetméter anyagot kellett venni a sátor elkészítéséhez, ha a hulladék a felhasznált anyag 15%-a volt?
c) A medencében 6 úszósávot alakítottak ki.
Egy alkalommal négyen érkeznek az uszodába.
Hányféleképpen foglalhatják el az úszósávokat, ha négy különböző sávot választanak, és két esetet különbözőnek tekintünk, ha van olyan közöttük, aki máshol úszik (vagyis az úszókat megkülönböztetjük)?
A középszintu matematika érettségi feladatsor két részből, ennek megfelelően két feladatlapból áll.
■ Rendelkezésre álló idő: 45 perc
■ Elérheto pont: 30 pont
■ Feladatok száma: általában 12
■ Ha külön felszólítás nem írja, akkor nem kell részletezni és indokolni a feladatok megoldását.
■ A feladat végeredményét vagy a választ be kell írni az előre megadott üres keretbe.
■ A szürkített téglalapba nem szabad írni semmit, azt a javító tanár tölti ki.
■ Néhány esetben hozzáteszi a feladat szövege, hogy „Megoldását részletezze!” vagy „Indokolja a válaszát!”, ekkor az
indoklást, illetve a számítás menetét is le kell írni.
■ Rendelkezésre álló idő: 135 perc
■ Elérhető pont: 70 pont
■ A feladatlapon 6 feladat szerepel, amely további két részre oszlik.
■ A II. A részben 3 feladat szerepel.
■ A II. B részben 3 feladat szerepel, amelybol 2-t kell megoldani.
Neked kell eldönteni, hogy melyik 2 feladatot választod.
Az értékelésnél csak ez a 2 feladat veheto figyelembe.
■ Annak a feladatnak a sorszámát, amelyet kihagysz, be kell írni a feladatlap 3. oldalán az erre kijelőlt üres négyzetbe.
■ A feladatok rendszerint több alpontból állnak.
Ezek a részfeladatok akkor is megoldhatók, ha az egyik részfeladatot nem sikerül megoldani.
Az egyes részfeladatok eredménye nem szükséges a következő alpontok megoldásához – néhány esetben azonban rávezető lépésként is funkcionálnak, és
segítséget jelentenek a következő részfeladatokhoz.
■ Minden feladat után szerepel az is, hogy arra a feladatra, azon belül az egyes alpontokra hány pontot lehet kapni.
Ebbe a részbe nem szabad beleírni, ezt a javító tanár tölti ki.
Támpontul szolgálhat azonban a feladat nehézségét illetően.
Használható segédeszközök: számológép, függvénytáblázat, körző, vonalzó, szögmérő.
A számológép nem lehet olyan, amely alkalmas szöveges adatok tárolására és megjelenítésére.
E L S Ő F E L A D AT L A P ( I . )
M Á S O D I K F E L A D AT L A P ( I I . )
◼ Ismerd meg a számológépedet!
◼ Lapozd végig, tanulmányozd a négyjegyu függvénytáblázatokban a matematikai ismereteket, azonosságokat, tételeket bemutató részt!
I. rész
1. Egy számtani sorozat második tagja -42; differenciája 3.
Mennyi az első tíz tag összege?
2. Hány éle van annak az ötpontú gráfnak, amelyben minden pontnak 2 a fokszáma?
3. A [0; 10] intervallumban véletlenszeruen kiválasztunk egy valós számot.
Mennyi a valószínusége, hogy a szám közelebb van a 3-hoz, mint a 9-hez?
4. Állapítsd meg az ábrán lévő diagrammal megadott adatsor átlagát, mediánját és móduszát!
5. Egy sportcipő eredeti ára 35 990 Ft.
A nyár végi árleszállításon 12%-os kedvezménnyel árusítják.
Hány forint így a cipő?
Az eredményt tízesekre kerekítve add meg!
6. Egy villanypózna magasságát szeretnénk megmérni.
Az internetről megtudtuk, hogy a mai napon, deleléskor a nap 40°-os szögben süt (a napsugárnak a vízszintessel bezárt szöge 40°).
Mérés alapján megállapítottuk, hogy az oszlop árnyéka 6,7 méter.
Milyen magas az oszlop?
A választ méterben, egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
7. Az ábrán lévő dobozdiagram egy minta adatainak előszlását szemlélteti.
Határozd meg a diagram alapján a minta elemeinek
a) mediánját;
b) alsó és felső kvartilisét;
c) minimumát és maximumát!
8. Hány olyan tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, amely 4 jegyű, 5-tel osztható, és minden számjegye különböző?
9. Az ábrán az f függvény grafikonja látható.
a) Rajzold meg az ;f; függvény grafikonját!
b) Határozd meg az ;f; függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!
10. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A , B = {a; b; c; d; e; f; g}, A \ B = {e; g}, és A + B = {a; b}.
Hány eleme van a B halmaznak?
Válaszod indokold!
11. Mennyivel nagyobb az 1 egység sugarú gömb felszíne, mint az 1 egység oldalélu kocka felszíne?
12. Válaszd ki az alábbi állítások közül minden olyan állításnak a betujelét, amelyik az A állítás tagadása!
A = Minden kutya ugat.
B = Nem minden kutya ugat.
C = Nincs olyan kutya, amelyik ugat.
D = Van olyan kutya, amelyik nem ugat.
E = Egyetlen kutya sem ugat.
II. rész „A”
13.
a) Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! 4x + 13 = 2x + 5
b) Melyek azok az egész számok, amelyek kielégítik a -x2 + 5x 2 0 és az x2 - 0,5x - 3 # 0 egyenlőtlenséget is?
14. Az ABCD paralelőgramma három csúcsa: A(-6; 0), B(2; 3), C(-2; 8).
a) Számítsd ki a D csúcs koordinátáit!
b) Írd fel a C pontra illeszkedo; 0,25 meredekségu egyenes egyenletét!
c) Határozd meg a paralelőgramma kerületét egy tizedesjegy pontossággal!
d) Mekkora annak a kúpnak a térfogata, amelynek palástját az AB szakasz x tengely körüli megforgatásával kapjuk?
15. Egy biciklistáborban mindennap háromféle túrát indítottak.
A „kis” túrára leginkább a kezdő bicajosok jelentkeztek, vagy azok, akik az előző nap nagyon elfáradtak.
A „közepes” túrán már nagyobb távolságokat kellett megtenni, és nehezebb terepen, a „nagy” túrán indulóknak már napi 100–110 km-t is
kellett tekerni, nem egyszer dimbes-dombos vidéken.
54 olyan bicajos volt, aki legalább egyszer vállalta a „nagy” túra kihívását, és 84-en vettek részt „kis” túrán a tábor alatt.
A „kis” túrán vagy „nagy” túrán részt vevőknek a 15%-a „nagy” túrán és „kis” túrán is részt vett.
a) Hány olyan biciklis volt, aki részt vett a „kis” túrán, de a „nagy” túrán nem?
A táborban volt 10 olyan ember, aki mindhárom túrát kipróbálta, és 12 olyan, aki csak a „közepes” túrát.
A „közepes” túrázók közül 70-en más túrán is részt vettek.
A „közepes” túrán indulóknak a fele a „kis” túrán is indult.
b) Hány olyan résztvevője volt a tábornak, aki a „közepes” túrán és a „nagy” túrán is részt vett?
II. rész „B”
16. Egy fiúkból álló 10 fos baráti társaság tagjainak lábméreteirol a következőket tudjuk:
Aladár 42, Brúnó 41, Cingár 44, Dönci 42, Elemér 43, Furfang 42, Guszti 43, Huncut 42, Icurka 36.
Jankó lábmérete nem ismert.
a) Határozd meg Jankó lábának nagyságát, ha tudjuk, hogy 41,8 a tíz fiú lábméretének átlaga!
b) A tíz fiú lábméretének ismeretében határozd meg, mennyi a lábméretek mediánja!
A tíz ember nevét felírjuk egy-egy papírra, a papírokat bedobjuk egy kalapba.
Véletlenszeruen húzzuk ki a neveket a kalapból.
c) Állítsd növekvo sorrendbe az alábbi események valószínuségét!
A: először egy legfeljebb negyvenes lábméretu ember nevét húzzuk ki a kalapból.
B: A kalapból kihúzott nevek alapján, balról jobbra sorba állítva az embereket, monoton növekvő lábméret szerint sorakoznak fel.
C: Négy név véletlenszeru kiválasztása esetén pontosan 2 embernek lesz közülük 42 a lábmérete.
d) Legalább hány nevet válasszunk ki a kalapból, hogy biztosan legyen a nevek között magánhangzóval kezdődő?
A felsőroltak közül Icurka a legfiatalabb, Cingár a legidősebb.
e) Számítsd ki, hány éves Icurka és Cingár, ha tudjuk, hogy kettejük életkorának különbsége 16 év, és tudjuk, hogy 4 év múlva életkoraik hányadosa 2,6 lesz!
17. Egy váza alakja szabályos ötszög alapú egyenes hasáb, amelynek alapélei 12 cm-esek, magassága pedig 18 cm.
a) Hány dl víz fér a vázába?
A vázába vizet töltünk 12 cm magasságig, majd beleejtünk egy 6 cm átmérőjű, tömör gömböt, ami teljesen elsüllyed a vízben.
b) Mennyivel emelkedik meg a vízszint?
A 25 °C-os szobában a vázába 50 °C-os vizet töltünk.
A víz elkezd hulni, hőmérséklete t perc múlva a következő összefüggés alapján számolható:
T]t g = 25 + 25 $ kt, ahol t az eltelt idő percben mérve, k a lehűlési tényező (k 1 1),
amely egy mértékegység nélküli arányszám, T pedig a víz hőmérséklete °C-ban mérve.
Mérésünk alapján a víz hőmérséklete 15 perc elteltével 35 °C-os lett.
c) Mekkora a k értéke? A választ két tizedesjegy pontossággal add meg!
18. Egy cég 3 000 000 Ft hitelt vesz fel egy banktól.
A hitelt 4 év alatt, 4 egyenlő részletben törlesztik, tehát évente egyszer fizetnek törlesztőrészletet.
A hitel kamata évi 10%.
a) Mekkora a hitel törlesztorészlete?
A felvett 3 000 000 Ft-ból a cég egy új gépet vásárol.
A gép értéke az amortizáció miatt minden évben az előző évi értékének a 15%-ával csökken.
b) Jelőlje a gép értékét az egymás utáni években a1, a2 és a3 (a1 = 3 000 000).
Hány százalékkal több a1 értéke, mint a3?
c) Hányadik évben csökken a gép értéke 1 000 000 Ft alá?
Az ezredforduló óta nagyon megnőtt a statisztika jelentősége.
Az internet elterjedésével ugyanis rengeteg adat vált elérhetővé,a nagy teljesítményű számítógépek segítségével pedig kezelhetővé.
A világban lévő óriási információmennyiség feldolgozásához, a körülöttünk zajló folyamatok megértéséhez, valamint számos elméleti és gyakorlati probléma kezeléséhez ma már nélkülözhetetlen a statisztika tudománya.
A számszerű információk összegyűjtését, majd azok feldolgozását követően elemzéseket lehet elvégezni, és ezek alapján tudományos igényességgel következtetéseket lehet levonni.
Sok esetben a statisztika által nyert információk biztosítanak kiinduló adatokat a valószínűségszámítás számára.
A statisztika és a valószínűségszámítás kulcsfontosságú szerepet játszanak a tudományos felfedezésekben, az objektív mutatók alapján meghozható döntések és az előrejelzések létrehozásában.
FOGALMAK, TÉTELEK, MÓDSZEREK
D
Átlag
Az adatsokaság elemeinek az összegét elosztjuk az elemek számával:
ˉx=x1+x2+...
D
Módusz
Az adatsokaságban a legtöbbször előforduló elem (lehet több módusz is).
D
Medián
Olyan szám, amelynél az adatok fele kisebb vagy egyenlő.
Az adatsokaság nagyság szerinti felsorolásában páratlan elemszám esetén a középen álló szám, páros elemszám esetén a középen álló két szám átlaga.
D
Alsó kvartilis
Olyan szám, amelynél az adatoknak (közelítőleg) a negyede kisebb vagy egyenlő.
Páros elemszám esetén a nagyság szerint sorba rendezett adatok alsó felének mediánja.
Páratlan elemszám esetén a mediánt elhagyva az adatok alsó felének mediánja.
D
Felső kvartilis
Olyan szám, amelynél az adatoknak (közelítőleg) a negyede nagyobb vagy egyenlő.
Páros elemszám esetén a nagyság szerint sorba rendezett adatok felső felének mediánja.
Páratlan elemszám esetén a mediánt elhagyva az adatok felső felének mediánja.
D
Terjedelem
Az adatsokaság legnagyobb és legkisebb elemének különbsége.
D
Félterjedelem
Az adatsokaságban a felső kvartilis és az alsó kvartilis különbsége.
D
Szórás
Az adatsokaságban az adatok szóródását jellemző szám.
Az adatoknak az átlagtól való eltéréseit vesszük, ezek négyzetének átlaga a szórásnégyzet, ennek négyzetgyöke a szórás. sigma=sqrt(((a_1-bar(x))^2+...+(x_n-bar(x))^2)/n) (az adatok: x1, x2, …, xn, az átlaguk xr )
D
Relatív gyakoriság
Ha egy kísérletet n-szer végeztünk el, és k-szor kaptunk meg egy bizonyos kimenetelt, akkor az adott kimenetel gyakorisága k, relatív gyakorisága k/n .
Diagramok
D
Elemi események
Egy véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei.
Például: Ha dobunk egy fehér és egy fekete dobókockával, akkor egy elemi esemény az, hogy a feketével hatost, a fehérrel egyest dobunk.
D
Eseménytér
Az elemi események halmaza.
Például: Ha két kockával dobunk, akkor a 36 elemi esemény halmaza.
D
Esemény
Az eseménytér egy részhalmaza.
Az események között a biztos esemény az, amely biztosan bekövetkezik, a lehetetlen esemény az, amely nem következhet be.
Például: Ha két kockával dobunk, akkor egy esemény például, hogy két dobás összege 7.
D
Események szorzata
Az A és a B események szorzata az az esemény, amikor az A és a B események közül mindkettő bekövetkezik.
Jele: A ∙ B
D
Események összege
Az A és a B események összege az az esemény, amikor az A és a B események közül legalább az egyik bekövetkezik.
Jele: A + B
D
Komplementer esemény
Egy A esemény komplementere az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor az A esemény nem következik be.
Jele: A
D
Egymást kizáró események
Az A és B események egymást kizáró események, ha egyszerre nem következhetnek be.
Például: Két kockával dobunk.
Egymást kizáró események, hogy az egyik dobás hatos, illetve a két dobás összege 5.
A valószínűség fontos tulajdonságai
Az A esemény valószínűségének jele P(A).
– Az A esemény P(A) valószínűségére 0 ≤ P(A) ≤ 1.
– A biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen esemény valószínűsége 0.
– Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) = P(A) + P(B).
– A komplementer esemény valószínűsége: P(A) = 1 - P(A).
D
A valószínűség klasszikus modellje
Ha az elemi események egyformán valószínűek, és számuk véges:
P(A) = az A eseményt adó elemi események száma /összes elemi esemény száma
Geometriai valószínűség
Ha az események előfordulása egy geometriai mennyiséggel jellemezhető, akkor az esemény valószínűsége számolható úgy, hogy az adott eseményhez tartozó mennyiség mértékét osztjuk a teljes eseménytérhez tartozó ugyanezen mennyiség mértékével.
D
Független események
Az A és a B események függetlenek, ha P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B).
Például: Két kockával dobunk. Független események, hogy az egyik dobás hatos, illetve a másik dobás hatos.
D Várható érték A lehetséges kimeneteleknek a valószínűségekkel súlyozott átlaga.
D
Visszatevés nélküli mintavétel
Olyan mintavétel, amely során, ha egy elemet kiválasztunk, akkor azt nem tesszük vissza, az nem választható ki újra.
Ez történhet úgy is, hogy egyszerre veszünk ki több elemet.
D
Visszatevéses
mintavétel
Olyan mintavétel, amely során minden kiválasztás pontosan ugyanazon elemek közül történik.
Ha kiválasztunk egy elemet, akkor a következő választás előtt azt visszatesszük a többi közé.
T
Visszatevéses mintavétel (binomiális eloszlás)
Egy kísérletet n-szer megismétlünk, és megfigyelünk egy p valószínűségű eseményt (pl. visszatevéses mintavételt alkalmazunk).
Annak a valószínűsége, hogy ez a p valószínűségű
esemény az n kísérletből pontosan k-szor következik be:
P(k)=((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)
T
Visszatevés nélküli mintavétel
Adott N darab elemünk, melyek közül M darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal (és N - M darab különbözik ettől).
Visszatevés nélkül kiválasztunk n darab elemet.
Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott elemek közül pontosan k darab rendelkezik az adott tulajdonsággal: P(k)=(((M),(k))*((N-M),(n-k)))/(((N),(n)))
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Egy osztály 20 tanulója írt meg egy dolgozatot.
A dolgozatban elért pontszámok:
16; 20; 24; 28; 28; 32; 36; 37; 38; 39; 41; 42; 43; 44; 46; 46; 47; 48; 48; 50.
a) Készíts dobozdiagramot az adatsokaságról!
b) Sorold hat osztályba az adatokat (16–20; 21–25; …; 46–50), majd az osztályközepekkel számolva határozd meg az adatok szórását!
Megoldás
a) 16; 20; 24; 28; 28; 32; 36; 37; 38; 39; 41; 42; 43; 44; 46; 46; 47; 48; 48; 50
Az adatok nagyság szerint növekvő sorrendben vannak.
A medián a 10. és a 11. adat átlaga, azaz 40.
Az alsó kvartilis az 5. és a 6. adat átlaga, azaz 30, a felső kvartilis a 15. és a 16. adat átlaga, azaz 46.
A dobozdiagramot meghatározó öt adat tehát 16; 30; 40; 46; 50.
b) Érdemes táblázatba rendezni az adatokat.
A táblázat első sora tartalmazza az osztályokat.
Az osztályközép az osztályt határoló két szám átlaga.
Ha kitöltjük a táblázat 3. sorát, akkor az ott szereplő gyakoriságok segítségével kiszámolható az adatok átlaga.
Osztály 16–20 21–25 26–30 31–35 36–40 41–45 46–50
Osztályközép 18 23 28 33 38 43 48
Gyakoriság 2 1 2 1 4 4 6
xi - x (xi - x)2 x = 20
2 $18 + 1 $ 23 + 2 $ 28 +1 $ 33 + 4 $ 38 + 4 $ 43 + 6 $ 48 = 38
Az átlag ismeretében tudjuk kitölteni a táblázat 4., majd az 5. sorát.
Az 5. sor segítségével számolható ki az adatsokaság szórása.
– Ha nem soroljuk osztályokba az adatokat, akkor a 20 adat átlaga 37,65, szórása pedig 9,70.
Látható, hogy az osztályba sorolás után kapott eredmények csak kismértékben különböznek ettől.
Sokszor nem ismertek az eredeti (nyers) adatok, csak az osztályba sorolt adatok, de az osztályba sorolás után kapott statisztikai jellemzők kellő pontossággal jellemezhetik az adatsokaságot.
– Az átlag és a szórás a számológép statisztika üzemmódjával is számolható.
2. táblázat két úszócsoport létszámát és az egyik távon elért időeredményeik átlagát tartalmazza.
Mennyi az n, ha az összes időeredmény átlaga 73,28 s?
Megoldás
Az 1. csoportban az átlag 72,6, ezért az időeredmények összege 12 ∙ 72,6 = 871,2.
A 2. csoportban az eredmények összege n ∙ 74,3.
Az összes eredmény átlagára ezért felírható: , , ,n 73 28 n 12 871 2 74 3 =
Átrendezve: 73,28(n + 12) = 871,2 + 74,3n
Ebből: 73,28n + 879,36 = 871,2 + 74,3n
8 , 1 6 = 1 , 0 2 n n = 8, tehát a 2. csoportban 8 fő van.
létszám átlag (s)
1. csoport 12 72,6
2. csoport n 74,3
3. Egy játékban két dobókockával dobnak.
Ha a két kockán különböző pontszám látható, akkor a nagyobbik érték számít, ha azonos pontszám, akkor a közös érték számít.
Mennyi egy dobás várható értéke?
Megoldás
Érdemes kitölteni a 6 × 6-os táblázatot, akkor megtudhatjuk, hogy melyik értékhez hány elemi esemény tartozik.
Ennek segítségével felírható mind a hat eredmény valószínűsége.
A várható értéket megkapjuk, ha ezekkel a valószínűségekkel súlyozva átlagoljuk az eredményeket.
Eredmény 1 2 3 4 5 6
Valószínűség 36
= 161 . 4 47 A várható érték 4,47.
4. Az egyik iskolában a magyar irodalom érettségi tételei közül 6 kapcsolódik külföldi és 14 magyar szerzőhöz.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk a 20 tétel közül 5-öt, akkor mennyi a valószínűsége, hogy az 5 közül pontosan 3 kapcsolódik magyar szerzőhöz, ha a kihúzott tételeket
a) húzás után nem tesszük vissza;
b) minden húzás után visszatesszük?
Megoldás
a) Visszatevés nélküli mintavételről van szó.
A kedvező esetek azok, amikor a 14 tételből választunk 3-at, és a 6 tételből 2-t.
A lehetőségek száma 14.
Az összes eset számát az adja meg, hogy hányféleképpen választhatunk 20 tételből 5-öt.
Ez 20.
A valószínűség tehát: P(pontosan 3 magyar) = 20/5
b) Visszatevéses mintavételről van szó, ekkor a binomiális eloszlás adja meg a valószínűséget.
Mind az 5 húzás során 20 14 = 0,7 a valószínűsége, hogy a szerző magyar, és 0,3 a valószínűsége, hogy külföldi.
A kérdéses valószínűség tehát: P(pontosan 3 magyar) = 5 3 0 7 0 3 e o $ 3 $ 2 = 0,3087
5. Egy üzemben meghibásodik egy gép, ezért minden termék 0,015 valószínűséggel selejtes lesz.
Mennyi a valószínűsége, hogy 200 termékből legfeljebb 2 lesz selejtes?
Megoldás
Minden egyes termék 0,015 valószínűséggel selejtes és 0,985 valószínűséggel jó.
Mivel ugyanaz a helyzet ismétlődik, ezért a binomiális eloszlással számolhatunk.
Legfeljebb 2 selejtes termék akkor lesz, ha a selejtes termékek száma 0; 1 vagy 2.
P(legfeljebb 2 selejtes) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,985200 + 200 1 e o ∙ 0,015 ∙ 0,985199 + 200 2 e o ∙ 0,0152 ∙ 0,985198 .
. 0,049 + 0,148 + 0,225 = 0,422 A valószínűség tehát 0,422.
FELADATOK I. RÉSZ
A1. Határozd meg a táblázatban megadott adatsokaság móduszát, mediánját és átlagát!
A2. Ábrázold kördiagramon az adatsokaságot! Határozd meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögeket!
2; 4; 5; 5; 4; 2; 2; 5; 2; 4; 4; 4; 5
A3. Állapítsd meg a dobozdiagram alapján, hogy az adatsokaság
félterjedelme hány százaléka a terjedelemnek!
A4. Határozd meg a táblázatban megadott adatsokaság szórását!
adat 18 18,3 18,8
gyakorisága 5 3 2
A5. Egy csoportos utazáson 45 fő vesz részt, a résztvevők 3 településről jöttek: Pápáról, Zircről és Veszprémből.
A 12 pápai
résztvevő átlagéletkora 48 év.
A 25 zirci átlagéletkora 42 év.
A veszprémiek átlagéletkora 52 év.
Mennyi a teljes csoportban
az átlagéletkor?
A6. Oszlopdiagramon ábrázoltuk, hogy egy dolgozatra milyen osztályzatok
születtek egy osztályban.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk
egy dolgozatot, akkor mennyi a valószínűsége, hogy az
eredménye legalább hármas?
A7. Négy barát, Kati, Laci, Móni és Nándi véletlenszerű sorrendben
leülnek egymás mellé egy padra.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a két lány nem egymás mellé ül?
A8. Mennyi a valószínűsége, hogy két szabályos dobókockával dobva a dobott számok összege 10?
A9. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk.
A dobott számokat (a dobás sorrendjében) egymás után írva egy kétjegyű
számot kapunk.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott szám osztható 3-mal?
A10. Egy szerencsekerék 3
1 valószínűséggel áll meg a NYERT feliratnál, 3
2 valószínűséggel a NEM NYERT feliratnál.
Megpörgetjük
6-szor a szerencsekereket.
Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 forgatásnál kapunk NYERT feliratot?
A11. Egy szabályos pénzérmét négyszer egymás után feldobunk. A dobás eredményét az F és I betűkkel rövidítve sorban
feljegyezzük (F = fej, I = írás). Legyen az A esemény az, hogy az első dobás fej, a B esemény az, hogy a dobások között
több írás van, mint fej. A megfelelő dobássorozatok felsorolásával add meg az A + B és az A ∙ B eseményeket!
A12. Egy zsákban 3 piros és 5 sárga, tapintásra egyforma üveggolyó van.
Véletlenszerűen húzunk egyszerre két golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) mindkét golyó piros;
b) mindkét golyó sárga;
c) egyik golyó sárga, a másik piros?
FELADATOK I. RÉSZ
B1.
Egy 12 fős csoportban az átlagéletkor 24 év.
A csoportban lévő 8 férfi átlagéletkora 25,5 év.
Mennyi a csoportban lévő
nők átlagéletkora?
B2.
A táblázat egy nemzetközi cég éves bevételeit mutatja millió dollárban,
földrészek szerinti bontásban.
Ábrázold kördiagramon az
adatokat!
Határozd meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti
szögek nagyságát!
B3.
A 42; a; 30 adatok csökkenő sorrendben követik egymást (30 1 a1 42), és tudjuk, hogy a három adat átlaga 2-vel
nagyobb, mint a mediánja.
Határozd meg a értékét!
B4.
11 darab, nem feltétlenül különböző természetes számról a következőket tudjuk: a számok egyetlen módusza 2, mediánja
3, átlaga 4, terjedelme 5.
Adj meg 11 darab ilyen természetes számot!
B5.
Egy zsákban 12 piros és 3 kék üveggolyó van.
Néhány zöld színű üveggolyót
tettünk a zsákba, így 0,3 lett annak a valószínűsége, hogy ha véletlenszerűen
húzunk a zsákból egy üveggolyót, akkor piros golyót húzunk.
Hány darab zöld golyót tettünk a zsákba?
B6.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám osztható 8-cal?
B7.
Klári, Eszter és Hanna megbeszéltek egy találkozót egymással.
Ha véletlenszerű sorrendben érkeznek a találkozó helyszínére,
akkor mennyi a valószínűsége, hogy Klári hamarabb érkezik, mint Eszter?
B8.
Egy számítógépes játékban 0,3 valószínűséggel sérülést szenved, aki a játéktér egy adott mezőjére lép.
Ha a játék folyamán
8 alkalommal lép valaki arra a mezőre, akkor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 alkalommal szenved
sérülést?
B9.
Egy szabályos pénzérmét háromszor egymás után feldobunk, és a dobás eredményét az F és I betűkkel rövidítve sorban
feljegyezzük (F = fej, I = írás).
Mennyi a valószínűsége, hogy az IFI szót kapjuk?
B10.
Az egyik héten az ötöslottóban a következő öt szám nyert: 10; 12; 40; 45 és 48.
Ha véletlenszerűen töltöttük ki a lottószelvényt,
akkor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 találatot értünk el?
(Az ötöslottóban 90 szám közül sorsolnak
ki 5-öt, tekintet nélkül a sorrendre.)
B11.
Egy részvény árfolyama 4200 Ft.
Egy elemző modellje szerint a részvény ára egy hét múlva 0,5 valószínűséggel emelkedni
fog 210 Ft-tal, 0,2 valószínűséggel csökkenni fog 400 Ft-tal, és 0,3 valószínűséggel nem változik.
Mennyi a részvény
árfolyamának várható értéke egy hét múlva ezen modell szerint?
B12.
Két dobókockával egyszer dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok öszszege
prím?
FELADATOK II. RÉSZ
P1.
Tanulók egy statisztikai kísérlet során azt vizsgálták,
hogy hány szál gyufa van egy-egy gyufásdobozban.
Táblázatba foglalták a kapott adatokat.
Gyufaszálak száma 38 39 40 41 42 43
Gyakoriság 22 33 42 12 13 3
a) Határozd meg a gyufaszálak számának szórását!
b) Ha véletlenszerűen választunk egy gyufásdobozt, akkor mennyi a benne lévő gyufák számának várható értéke?
c) A gyufagyártó cég előírása szerint a csomagolás megfelelő, ha a gyufák számának a 40-től való eltérése a dobozok
98%-ában kisebb, mint 5%.
Megfelel-e ennek az elvárásnak a kísérlet eredménye?
P2.
Egy középiskola évfolyamonként három osztályt indít: egy nyelvi, egy matematikai és egy informatikai tagozatot.
Az egyes évfolyamokon az egyes osztályokba járó tanulók számát a táblázat szemlélteti:
9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam
Nyelvi tagozat 36 33 30 28
Matematika tagozat 34 33 29 31
Informatikai tagozat 35 34 34 30
a) Készíts kördiagramot, amely a diákok évfolyamonkénti eloszlását ábrázolja! Egy tizedesjegy pontossággal határozd
meg a kördiagramon a középponti szögeket!
b) Mennyi a valószínűsége, hogy két véletlenszerűen kiválasztott diák közül az egyik a 9., a másik a 11. évfolyamra jár?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy három véletlenszerűen kiválasztott diák mindegyike nyelvi tagozatra jár?
P3.
Egy pénzérmét 12-szer feldobunk, a „fej” dobását F-fel, az „írás” dobását I-vel jelöljük.
Egymás után felírjuk a dobások
eredményét.
a) Hányféle betűsort kaphatunk?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy csak fejekből áll majd a sorozat?
c) Mekkora a valószínűsége, hogy az első és az utolsó dobás is fej?
d) Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan a dobások fele lesz fej, a másik fele pedig írás?
P4.
Egy társasjátékban az ábra szerinti szerencsekerék megpörgetése mutatja meg, hogy előre léphetünk
egyet, kettőt, hármat vagy négyet, vagy vissza kell lépnünk egyet, kettőt vagy hármat.
A szerencsekeréken a (+4)-es lépést jelentő körcikk 90°-os, a többi körcikk 45°-os.
a) Ha egyszer megpörgetjük a szerencsekereket, akkor mennyi az eredmény várható értéke?
b) A célig még 10 mezőt kell haladnunk előre (a tizedikkel már célba érünk).
Mekkora a valószínűsége,
hogy a harmadik forgatás után beérünk a célba? (A célba nem kell pontosan
belépni, túl is haladhatunk rajta.)
P5.
Ismert tény, hogy az úgynevezett partidrogok (tudatmódosító szerek) fogyasztása esetén a balesetveszély fokozódik.
Tegyük fel, hogy egy szombat éjszakán az országban 250 ezer fi atal vesz részt valamilyen partin, és ezeknek a fi ataloknak
a 15%-a fogyaszt valamilyen partidrogot.
A partiról távozó fi atalok körében 0,0008 valószínűséggel következik be
valamilyen közúti baleset, a tudatmódosító szert szedők között ez a valószínűség 0,0034.
Számítsd ki, hogy egy ilyen éjszakát követő hajnalon
a) hány baleset következik be a statisztikai adatok szerint a partiról távozó fiatalok körében;
b) hány tudatmódosító szer hatása alatt álló fi atallal történik közúti baleset;
c) mekkora a valószínűsége annak, hogy egy közúti balesetet szenvedett fi atal tudatmódosító szert szedett!
FELADATOK II. RÉSZ
Q1.
Egy népszavazáson arról dönthettek a szavazók, hogy városukban park, bevásárlóközpont vagy hangversenyterem
épüljön; a három lehetőség közül mindenki egyet választhatott.
A lakosság 54,6%-a szavazott, a szavazata mindenkinek
érvényes volt.
A szavazás eredményének néhány részletét életkori csoportok szerint mutatjuk be:
Korcsoport
A szavazók száma
(ezer fő)
Parkra szavazott
Bevásárlóközpontra
szavazott
Hangversenyteremre
szavazott
18–27 21 27% 57%
28–37 32 48% 15%
38–47 28 15% 53%
48–57 35 25% 25%
58–67 16 24% 50%
68 évtől 45 30% 26%
a) Hány lakosa van ennek a városnak?
b) Melyik terv nyerte meg a népszavazást?
c) Hányan szavaztak az egyes tervekre az 57 évnél idősebbek közül?
Q2.
Egy nagyvállalat vezetősége összesítést készített arról, hogy a dolgozói között az egyes korcsoportokon belül mennyi
a felsőfokú végzettségű dolgozók aránya (relatív gyakorisága).
Életkor Létszám
A diplomás dolgozók
relatív gyakorisága gyakorisága
20 év alatt 420 0
20–29 3645 0,75
30–39 5280 0,53
40–49 7013 0,32
50–59 4339 0,42
60 évtől 2106 0,95
a) Hányan dolgoznak ennél a vállalatnál?
b) Töltsd ki az üresen maradt rovatokat!
c) Mennyi a dolgozók között a diplomások relatív
gyakorisága?
d) Mennyi a diplomások relatív gyakorisága a 30
év alattiak között?
e) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen
kiválasztott dolgozó 30 és 49 év
közötti diplomás?
f) Ha véletlenszerűen kiválasztunk három dolgozót,
akkor mennyi a valószínűsége, hogy ketten
30 és 49 év közöttiek, és egyikük 60 évnél idősebb?
Q3.
a) Határozd meg a táblázatba foglalt adatsokaság átlagát és szórását!
b) Készíts dobozdiagramot az adatsokaságról!
c) Ha véletlenszerűen kiválasztunk az adatsokaság elemei közül visszatevés nélkül 8 adatot, akkor mennyi a valószínűsége,
hogy legfeljebb két adat kisebb, mint 4,4?
Q4.
(Érettségi feladat, 2022) Andrea és Balázs kockarulettet játszanak.
Egy játék abból áll, hogy két szabályos dobókockával
egyszerre dobnak.
A dobás előtt a játékszelvényen megadott öt eseményre lehet fogadni úgy, hogy a játékosok
minden játék előtt beírják a tétjeiket a játékszelvény megfelelő oszlopába.
A tétként feltett pontokat levonják a játékos
pontszámából.
A szelvényen látható az egyes eseményekre a nyereményszorzó is, ami megmutatja, hogy a tétként feltett
pontok hányszorosát kapják meg nyereményként, amennyiben az esemény bekövetkezik.
A játékosok 100 ponttal indulnak.
A lenti ábrán Andrea játékszelvényét látjuk.
Az 1. játékban 10-10-10 pontot tett fel
három eseményre, és ezek után az 1 és 4 számokat dobták a kockákkal.
Andrea az első téttel nem nyert, de a másik kettővel
3 ∙ 10, illetve 2 ∙ 10 pontot nyert. Összesen 30 pontot tett fel, és 50 pontot nyert, tehát az 1. játék után 120 pontja
lett, ennyivel kezdi a 2. játékot.
ESEMÉNY nyereményszorzó
Tétek
1. játék 2. játék 3. játék
A: két páros számot dobunk 4 10
B: az egyik szám páros, a másik páratlan 3 0
C: a számok összege kisebb, mint 6 3 10
D: a számok szorzata páros 2 10
E: dobunk 6-ost 3 0
Összes tét 30
nyeremény 50
pontszám a játék után 120
dobott számok 1 és 4
a) A 2. játékban Andrea ugyanerre a három eseményre fogadott 20-20-20 ponttal, és
mindhárom tétjével nyert.
Melyik számokat dobták a 2. játékban, és mennyi lett
Andrea pontszáma a 2. játék után?
b) A 3. játékban Andrea az első három eseményre fogadott 10-10-10 ponttal, de egyikkel sem nyert.
Melyik számokat
dobhatták a 3. játékban?
c) Balázs az egyik játékban az A, a D és az E eseményre fogadott összesen 70 ponttal, és mindhárom tétjével nyert.
Az E eseményre éppen kétszer annyi tétet tett, mint az A-ra.
Hány ponttal fogadott Balázs az A eseményre, ha öszszesen
200 pont lett a nyereménye? Melyik számokat dobhatták ebben a játékban?
d) Egy másik napon már három, különböző színű szabályos dobókockával dobtak egyszerre.
Számítsd ki annak az
eseménynek a valószínűségét, hogy a dobások között előfordul az ötös dobás!
Q5.
Egy gépsoron integrált áramköröket gyártanak.
A tapasztalat
szerint a gépsoron gyártott áramkörök esetén 0,005
annak a valószínűsége, hogy egy legyártott áramkör hibás.
A minőség-ellenőrzés során a nagyon sok alkatrész közül
100 alkalommal választanak ki egy-egy darabot.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 100 alkalom
közül egyszer sem találnak selejteset?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 100 alkalom
közül legalább egy selejtes darabot találnak?
c) Hány alkalommal kell megismételni a mintavételt,
ha azt szeretnénk, hogy annak a valószínűsége, hogy
legalább az egyik darab selejtes, nagyobb legyen, mint
0,5?
A geometria a matematikának az az ága, amely különböző alakzatokkal, azok tulajdonságaival, formájával, méretével, kölcsönös
elhelyezkedésével foglalkozik.
A testek, síkidomok ismeretlen adatainak meghatározása, a szimmetriák felismerése
és felhasználása már az ősi Mezopotámiában és Egyiptomban is része volt a földmérési, építészeti, csillagászati számításoknak.
A geometria szabályait Kr. e. 300 környékén Eukleidész öntötte szigorú formába Elemek című munkájában, amely a következő két évezredre megalapozta és meghatározta a geometria szemléletét.
A XVII. század elején René Descartes és Pierre de Fermat francia matematikusok a koordinátageometria bevezetésével lehetővé tették geometriai feladatok algebrai úton, egyenletek segítségével történő megoldását is.
A XIX. század matematikusai (közöttük a magyar Bolyai János) a párhuzamos egyenesek Eukleidésztől eltérő értelmezésével új típusú geometriákat hoztak létre, amelyek segítségével ma a tengeri szivacsok telepeinek alakjától egészen az univerzum
lehetséges jövőjéig terjedő kérdésekre keressük a választ.
A geometria élő, napjainkban is fejlődő tudomány.
A felsőbb
matematikában érintett differenciálgeometria, a topológia vagy éppen a fraktálgeometria művelői újabb és újabb érdekes, a természettudományok szempontjából is fontos eredményekkel állnak elő.
ELEMI GEOMETRIA
Alapfogalmak
Pont, egyenes, sík (térelemek); illeszkedés
D
Térelemek kölcsönös helyzete
Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van.
Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek).
Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha minden pontja a síkon van.
Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van.
Egy egyenes párhuzamos egy síkkal, ha nincs közös pontjuk (vagy ha az egyenes illeszkedik a síkra).
Két különböző sík metszi egymást, ha a két síknak van közös pontja. A közös pontok által
alkotott egyenes a két sík metszésvonala.
Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek).
(Két egyenes kitérő, ha nem párhuzamosak és nem metszők.
Ekkor nincs olyan sík, amely mindkét egyenest tartalmazza.)
D
Térelemek távolsága, ha van közös pontjuk
Ha két térelemnek van közös pontja, akkor a két térelem távolsága 0.
D
Térelemek távolsága, ha nincs közös pontjuk
Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza.
Pont és sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza.
Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egyik pontjának a másik egyenestől
mért távolsága.
Párhuzamos egyenes és sík távolsága az egyenes egyik pontjának a síktól mért távolsága.
Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egyik pontjának a másik síktól mért távolsága.
D
A szög
Egy közös pontból kiinduló félegyenes a síkot két szögtartományra (szögre) bontja.
A félegyenesek a szög szárai, a közös kezdőpont a szög csúcsa.
D
A szög mértéke fokban
A teljesszög 360-ad része az 1° nagyságú szög. Az 1° 60-ad része 1 szögperc (1’), az 1 szögperc 60-ad része 1 szögmásodperc (1’’).
D
T
Nevezetes szögpárok
a és b egyállású szögek; a = b
b és c csúcsszögek; b = c
a és c váltószögek; a = c
a és d mellékszögek; a + d = 180°
d és c kiegészítő szögek; d + c = 180°
c és f pótszögek; c + f = 90°
a és b merőleges szárú szögek; a = b
a és c merőleges szárú szögek; a + c = 180°
D
Térelemek hajlásszöge
Egyenes-egyenes: Két metsző egyenes hajlásszöge a két egyenes által meghatározott két-két egyenlő szög közül a nem nagyobbik (legfeljebb 90° nagyságú).
Két párhuzamos egyenes szöge 0°.
Egyenes-sík: Egy egyenes merőleges egy síkra, ha az egyenes síkra eső merőleges vetülete az egyenes és a sík metszéspontja.
Belátható, hogy egy egyenes merőleges a síkra, ha az egyenes merőleges az egyenes és sík metszéspontjára illeszkedő, a síkban lévő két nem egybeeső egyenesre.
Egy (a síkra nem merőleges) egyenes és egy sík hajlásszögén az egyenesnek és az egyenes
síkra eső merőleges vetületének a hajlásszögét értjük.
Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes és a sík szöge 0°.
Sík-sík: Két metsző sík hajlásszöge megegyezik azzal a szöggel,
amit a két sík metszésvonalának tetszőleges pontjában a metszésvonalra
merőlegesen állított egyik, illetve másik síkra illeszkedő
egyenesek határoznak meg.
Párhuzamos síkok szöge 0°.
T
A háromszög szögei
A háromszög belső szögeinek összege 180°.
A háromszög minden külső szöge a nem mellette fekvő belső szögek összegével egyenlő.
A háromszög külső szögeinek összege 360°.
T
Háromszögegyenlőtlenség
Egy háromszög bármely két oldalhosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál.
Ha egy háromszög oldalainak hossza: a, b, c, akkor fennáll, hogy c 1 a + b; a 1 b + c;
b 1 a + c.
T
A háromszög
szögei és oldalai
A háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő nagyságú szögek vannak, egyenlő nagyságú szögekkel szemben egyenlő hosszúságú oldalak vannak.
Hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van.
D
A háromszögek osztályozása
Szögei szerint: Egy háromszög hegyesszögű, ha legnagyobb szöge hegyesszög; derékszögű, ha legnagyobb szöge derékszög; tompaszögű, ha legnagyobb szöge tompaszög.
A másik két szög minden esetben hegyesszög.
Oldalai szerint: Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő hosszúságú oldala.
Az egyenlő hosszú oldalak a szárak, a harmadik oldal az alap.
A szárak által bezárt szög a szárszög, a másik két szöget alapon fekvő szögnek nevezzük.
Egy háromszög szabályos (egyenlő oldalú), ha minden oldala egyenlő hosszú (és így minden
szöge egyenlő nagyságú).
D
Nevezetes ponthalmazok
A sík két különböző pontjától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza a síkon a
két pont által meghatározott szakasz szakaszfelező merőlegese.
Két metsző egyenestől egyenlő távolságban lévő pontok halmaza a síkon a két egyenes
által bezárt szögek szögfelező egyenesei.
(T: Két ilyen egyenes van, ezek merőlegesek egymásra.)
A körvonal (röviden: a kör) a sík egy adott pontjától adott távolságra lévő pontok halmaza a síkon.
A gömb a tér egy adott pontjától adott távolságra lévő pontok halmaza.
D
A háromszög oldalfelező merőlegesei
A háromszög oldalfelező merőlegesei a háromszög egy-egy oldalára merőleges és az adott oldal felezőpontjára illeszkedő egyenesek.
T
A háromszög oldalfelező merőlegesei
A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást.
Ez a pont a háromszög köré írható körének középpontja (egyenlő távolságra van a háromszög három csúcsától).
Hegyesszögű háromszög esetén ez a pont a háromszög belső pontja, derékszögű
háromszög esetén az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszög esetén a háromszögön
kívül eső pont.
D
A háromszög belső szögfelezői
A háromszög belső szögfelezői a háromszög belső szögeit felező egyenesek.
T
A háromszög belső szögfelezői
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást.
Ez a pont a háromszög beírható körének középpontja (egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől).
Ez a pont minden háromszög esetén a háromszög belső pontja.
D
A háromszög magasságvonalai
A háromszög magasságvonalai a háromszög egy-egy csúcsára illeszkedő és az azzal
szemközti oldalegyenesre merőleges egyenesek.
T
A háromszög magasságvonalai
A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.
Ez a pont a háromszög magasságpontja.
Hegyesszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszög belső pontja, derékszögű háromszögben a derékszög csúcsa, tompaszögű háromszög esetén a háromszög külső pontja.
D
A háromszög súlyvonalai
A háromszög súlyvonalai a háromszög egy-egy csúcsára és a csúccsal szemközti oldal felezőpontjára
illeszkedő egyenesek.
T
A háromszög súlyvonalai
A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást.
Ez a pont a súlypont.
A súlypont a súlyvonal háromszögbe eső részének
az oldalhoz közelebb eső harmadolópontja.
A súlypont
minden háromszög esetén a háromszög belső pontja.
T
A négyszög szögei
A négyszög belső szögeinek összege 360°.
A négyszög külső szögeinek összege 360°.
D
Trapéz
A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos (ezek a trapéz alapjai, a másik két oldal a trapéz két szára).
T
Trapéz
A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180°.
A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak.
A húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus négyszög.
D
Paralelogramma
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.
T
Paralelogramma
A paralelogrammában a szemközti szögek egyenlő nagyságúak;
az egy oldalon fekvő szögek összege 180°;
a szemközti oldalak hossza egyenlő;
az átlók felezik egymást.
A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög.
D
Deltoid
A deltoid olyan négyszög, amely tengelyesen szimmetrikus az egyik átló egyenesére.
T
Deltoid
A deltoidnak két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú.
A deltoidnak van két egyenlő nagyságú (egymással szemközti) szöge.
A deltoid egyik átlóját merőlegesen felezi a másik átló egyenese.
A deltoid tengelyesen szimmetrikus négyszög.
D
Rombusz
A rombusz olyan négyszög, amelynek oldalai egyenlő hosszúságúak.
T
Rombusz
A rombusz rendelkezik a paralelogramma, valamint a deltoid összes tulajdonságával.
D
Téglalap
A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög.
T
Téglalap
A téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással.
Átlói felezik egymást.
A téglalap tengelyesen és középpontosan szimmetrikus négyszög.
D
Négyzet
A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge
egyenlő nagyságú (szabályos négyszög).
T
Négyzet
A négyzet rendelkezik a téglalap, valamint a rombusz összes tulajdonságával.
T
Sokszögek szögei, átlói
Az n oldalú konvex sokszög
egy csúcsából induló átlóinak száma n - 3;
összes átlóinak száma (n*(n-3))/2 ;
belső szögeinek összege (n - 2) · 180°, ahol n ! N, és n 2 2;
külső szögeinek összege 360°.
D
Szabályos sokszög
Egy konvex sokszög szabályos sokszög, ha minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú.
T
Szabályos sokszög
A páros oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen és középpontosan is szimmetrikusak,
a páratlan oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak.
Az n oldalú szabályos sokszög egy belső szögének nagysága n
]n - 2g $ 180o (n ! N; n 2 2).
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójához tartozó magasságvonal 20°-os szöget zár be a C csúcsból induló szögfelező egyenessel.
Mekkorák az ABC háromszög hegyesszögei?
Megoldás
Az ábra jelöléseivel:
A feladat szövege szerint TCP∢ = 20°.
Mivel BCA∢ = 90°, és CP felezi ezt
a szöget, ezért BCP∢ = PCA∢ = 45°.
Ugyanakkor
BCT∢ = BCP∢ - TCP∢ = 45° - 20° = 25°.
A TBC∢ és BCT∢ a BCT derékszögű háromszög hegyesszögei, ezért egymás
pótszögei, így TBC∢ = 90° - 25° = 65°.
A CAB derékszögű háromszögben ABC∢ + CAB∢ = 90°, így CAB∢ = 25°.
Az ABC derékszögű háromszög hegyesszögei tehát 25° és 65° nagyságúak.
Megjegyzés:
A feladat más módon is megoldható.
Például, ha kihasználjuk, hogy a TPC derékszögű háromszög P csúcsánál
lévő belső szöge a CAP háromszög P csúcsánál lévő külső szöge, vagy észrevesszük, hogy a BCT∢ és CAB∢ merőleges
szárú hegyesszögek, ezért CAB∢ = BCT∢ = 25°.
ABC∢ + CAB∢ = 90°, amiből ABC∢ = 65°.
2. Egy háromszög cm-ben mért oldalhosszúságai egész számok.
Két oldalának hossza 35 cm és 91 cm.
a) Mekkora lehet a háromszög harmadik oldalhosszának legkisebb, illetve legnagyobb értéke?
b) Hány, a feltételeknek megfelelő, nem egybevágó háromszög létezik?
c) Van-e a háromszögek között olyan, amelyben két belső szög nagysága egyenlő?
Megoldás
Jelölje c a háromszög harmadik oldalának hosszát centiméterben.
A háromszög-egyenlőtlenség miatt teljesül, hogy c < 35 + 91, és 35 < 91 + c, valamint 91 < 35 + c.
Ezek alapján c < 126, és -56 < c, valamint 56 < c, ezért 56 < c < 126.
a) Mivel c egész szám, ezért legkisebb értéke 57, legnagyobb értéke 125 lehet.
b) 56-nál nagyobb, 126-nál kisebb egész számból összesen 125 - 56 = 69 darab van, ezért két oldalhossz rögzítése mellett a harmadik oldal hossza 69-féleképpen alakulhat.
Tehát 69 ilyen háromszög van.
c) A háromszög két belső szögének nagysága egyenlő, ha megegyezik két oldalának hosszúsága.
Az eredetileg adott 35 cm és 91 cm oldalhosszúság közül a harmadik oldal hossza 35 cm nem lehet, viszont 91 cm lehet, mert az teljesíti a c oldal hosszára érvényes egyenlőtlenséget.
Tehát egy olyan háromszög van a lehetségesek között, amelyben két belső szög nagysága egyenlő.
3. Egy konvex sokszög esetében behúztuk az egyik csúcsából induló összes átlót.
Ezek az átlók a csúcsnál lévő belső szöget 23°, 42°, 30°, 47°, valamint 8° nagyságú szögekre bontják.
Hányszorosa ennek a belső szögnek a sokszög belső szögeinek összege?
Megoldás
Ha az átlók öt diszjunkt szögtartományt hoznak létre, akkor a csúcsból induló átlók
száma 4.
Minden csúcsból a csúcsok számánál 3-mal kevesebb átló indul, ebből következik,
hogy a sokszögnek 7 csúcsa van.
Mivel a belső szögek összege (7 - 2) · 180°, így a keresett hányados
((7-2*180°)/(23°+42°+30°+47°+8°)=6.
Tehát 6-szorosa a belső szögösszeg a szóban forgó belső szögnek.
FELADATOK I. RÉSZ
A1. Hány fokos szöget zár be az óra kismutatója és nagymutatója egymással
a) 7 órakor;
b) fél 4-kor?
A2. Az ABCD konvex négyszög A csúcsánál lévő külső szöge 104°, a B csúcsnál lévő belső szöge 74°, a C csúcsnál lévő belső szöge 80° nagyságú.
Hány fokos a négyszög D csúcsánál lévő külső szöge?
A3. Az ABCDA'B'C'D' kocka éleinek hossza 5 cm.
Add meg
a) az A pont és a CC'D'D sík;
b) a BDl egyenes és az ABCD sík;
c) az AD' egyenes és a CC'B'B sík;
d) az ABCD sík és az A'B'CD sík távolságát!
A4. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Minden paralelogramma trapéz.
B: Ha két szög egymással váltószög, akkor lehetnek egymás kiegészítő szögei.
C: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is.
D: A rombusznak vannak egyállású belső szögei.
A5. Egy háromszög külső szögeinek aránya 3 : 5 : 7.
Mekkora a háromszög legkisebb belső szöge?
A6. Egy konvex sokszög belső szögeinek összege 1800°.
Hány átló indul a sokszög egy csúcsából?
A7. Mekkorák a paralelogramma szögei, ha az egyik belső szög 23°-kal nagyobb, mint egy másik?
A8. Írj mindegyik nyomtatott nagybetű alatt lévő vonalra legfeljebb egyet az alább felsorolt szavak közül aszerint, hogy
az adott betűben megtalálható-e a megnevezett típusú nevezetes szögpár!
Az egyes nyomtatott nagybetűkben jelöld
a két megfelelő szöget a és b betűkkel, és írd fel ezek kapcsolatát a vonal alá!
(Tekintsd a betűk felírásához használt
vonalakat a megszokott írásmód szerinti merőlegeseknek vagy párhuzamosoknak!)
A felhasználható szavak: egyállású szögek, csúcsszögek, mellékszögek, váltószögek, pótszögek
A X F H Z K T
A9. Egy derékszögű háromszög köré írható körének középpontja 8 cm távolságra van a háromszög magasságpontjától.
Mekkora a háromszög köré írható kör átmérője?
A10. Egy szabályos sokszögben összesen 65 átló húzható.
Mekkora a sokszög egy belső szögének nagysága?
A11. Van-e olyan háromszög, amelyben az oldalak hossza 3,8 cm, 0,29 dm, valamint 64 mm?
Válaszod indokold!
A12. Mekkora lehet az a két szög, amelyek
a) egymásnak pótszögei, és az egyik a másiknak az ötszöröse;
b) merőleges szárú szögek, és az egyik 23°-kal nagyobb, mint a másik?
