22 Számsorozatok

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Ha felfelé megyünk egy lépcsőn, és minden lépésnél felfelé lépünk 1 vagy 2 fokot, akkor hányféleképpen juthatunk fel a lépcső második, negyedik, illetve nyolcadik fokára?

Megoldás

Az első lépcsőfokra egyféleképpen léphetünk: ha első lépésben 1 fokot lépünk.
A második lépcsőfokra kétféle módon érkezhetünk, ha elsőre 2 fokot lépünk, vagy ha elsőre és másodikra is 1-1 fokot lépünk.
Ha an-nel jelöljük az n-edik lépcsőfok esetén a lehetőségek számát, akkor a1 = 1 és a2 = 2.
A harmadik lépcsőfokra érkezhetünk a második lépcsőfokról egy utolsó 1-es lépéssel vagy az első lépcsőfokról utoljára 2-t lépve.
A harmadik lépcsőfokra a lehetőségek száma tehát megegyezik a második és az első lépcsőfokhoz tartozó lehetőségek összegével: a3 = a2 + a1; vagyis a3 = 2 + 1 = 3.
A lehetőségek száma eddig így alakult: 1; 2; 3.
(Vajon hogyan folytatódik ez a sorozat? …
Óvatosnak kell lennünk a válasszal.
Most nem az lesz a folytatás, ami errol az 1; 2; 3 számokat hallva elsőként eszünkbe jut. )
A negyedik lépcsőfokra érkezhetünk a harmadik lépcsőfokról egy utolsó 1-es lépéssel vagy a második lépcsőfokról utoljára 2-t lépve: a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5.
Vegyük észre, hogy minden lépcsőfok esetén, ha n > 2, akkor a lehetőségek két jól elkülönülő csoportra bonthatók:
az egyik lehetőség az, hogy az utolsó lépésben 1-et, a másik lehetőség az, hogy az utolsó lépésben 2-t lépünk.
Általánosan felírható, hogy n 2 2 esetén an = an - 1 + an - 2.
A sorozat minden tagja meghatározható az előtte álló két tag segítségével.
Ez alapján ki tudjuk tölteni az alábbi táblázatot.

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8
1	2	3	5	8	13	21	34

a8 = 34, a nyolcadik lépcsőfokra tehát 34 különböző módon juthatunk fel.

ELMÉLET

A sorozat fogalma

Sorozatról (vagy számsorozatról) beszélünk, ha valós számoknak egy végtelen sok tagból álló felsorolását adjuk meg.
A sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, képhalmaza pedig a valós számok halmaza.
A sorozat az 1-hez a sorozat első tagját rendeli, a 2-höz a sorozat 2. tagját, a 3-hoz a sorozat 3. tagját, és így tovább, az n-hez a sorozat n-edik tagját: n 7 an.
Jelölés:
a sorozat jele: {an},
a sorozat tagjai: a1, a2, a3, …,
az n-edik tag: an.

{an}	a1;	a2;	a3;	…	an;	…
	1. tag	2. tag	3. tag	…	n-edik tag	…

FELADAT

1. A következő grafikonok olyan függvényeket ábrázolnak, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza.
Add meg a függvények hozzárendelési szabályait!

a) ✓ ✗
b) ✓ ✗
c) ✓ ✗

---

2. Felfelé haladunk egy lépcsőn úgy, hogy 1 vagy 2 fokot léphetünk egyszerre (lásd Kidolgozott feladat).
a) Értelmezd, hogy mit jelent a Kidolgozott feladatban használt jelölésekkel az a18; a19 és az a20!
b) Annak ismeretében, hogy a18 = 4181 és a20 = 10 946, határozd meg a19 és a17 értékét!
a19 = ✓ ✗
a17 = ✓ ✗
//b) 6765 és 2584

---

3. Az 5/7 tizedes tört alakjában milyen számjegy áll a tizedesvessző utáni 8-adik, 90-edik, illetve a 970-edik helyen?
a8 = ✓ ✗
a90 = ✓ ✗
a970 = ✓ ✗
//1; 5; 2.

---

4. A {kn} sorozat első tagja k1 = 0, minden további tagja `k=((n),(2))`.
a) Add meg a sorozat első hat tagját!
a1 = ✓ ✗
a2 = ✓ ✗
a3 = ✓ ✗
a4 = ✓ ✗
a5 = ✓ ✗
a6 = ✓ ✗
//a) 1; 3; 6; 10; 15; 21.
b) A következő függvények közül van-e olyan, amelyik megegyezik a {kn} sorozattal, ha n ∈ Z+?
f(n) = n/2
g(n) = (n+1)!/n!
h(n) = n!/2
i(n) = (n² -n)/2
j(n) = n(n+1)/2
A megegyező sorozat betűjele: ✓ ✗
//igen, az i(n).

HÁZI FELADAT

1. Hajni vasárnap kitalált egy jó viccet, hétfon elmondta három barátnőjének.
Kedden mindegyikük elmondta háromhárom másik lánynak, ezután mindenki, aki ismerte a viccet, a következő napon továbbmondta három olyan személynek, aki még nem hallotta.
Töltsd ki a táblázat üres helyeit!

	hétfőn	kedden	szerdán	csütörtökön	pénteken	szombaton
Hányan ismerték meg a viccet?	3
Hányan ismerték a viccet összesen?	1 + 3 = 4

---

2. Egy nemzeti park állatgondozói a következő egyszerű szabály segítségével modellezik az állatállomány növekedését egy hüllőfaj esetében:
a kezdetben 201 egyedbol álló állomány minden évben megduplázódik, azonban e duplázódást követoen évente átlagosan 200 egyed elpusztul, így az állomány létszáma évrol évre közel azonos marad.
a) Töltsd ki a táblázatot!
Valóban közel azonos marad az állomány létszáma?

Évek száma	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Egyedszám	201

b) Adj meg olyan képletet, amellyel az adott évi egyedszámból kiszámítható a következő!

---

3. Sorold fel a sorozatok első öt tagját!
an = (60 + n)/n
 a1 =
 a2 =
 a3 =
 a4 =
 a5 =

bn = n/(n + 1)
 b1 =
 b2 =
 b3 =
 b4 =
 b5 =

cn = log_4 n
 c1 =
 c2 =
 c3 =
 c4 =
 c5 =

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /