23. Sorozatok megadása

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

BEVEZETŐ

Ha összeadjuk az első néhány pozitív páratlan számot, akkor a következőket kapjuk:

Megfigyelhetjük, hogy ezekben az esetekben az első n darab pozitív páratlan szám összege egyenlő n2-tel.
Bebizonyítható,hogy ez a megfigyelés általánosan is teljesül.
Adj magyarázatot az ábrák alapján arra, hogy továbbra is teljesül az összefüggés!
Ez alapján az 1; 4; 9; 16; …; n²; … sorozat többféle módon is megadható.
A következő leírások ugyanazt a sorozatot határozzák meg.
(Felhasználjuk, hogy az n-edik pozitív páratlan szám 2n - 1.)
an = n²
an = 1 + 3 + … + (2n - 1)
a1 = 1 és a_n = a_n-1 + (2n - 1)

ELMÉLET

A sorozat megadása

Egy sorozat megadható:

- képlettel	A sorozat n-edik tagjának megadása n függvényében (n ∈ Z+). Például: an = 3n + 2
- rekurzív módon	A sorozat n-edik tagjának megadása az elotte álló tag vagy tagok ismeretében. Ekkor a sorozat első vagy első néhány tagját is meg kell adni (annyit, hogy a rekurzióval a tagok kiszámolhatóak legyenek). Például: a_1 = 1, a_2 = 2 és n > 2 esetén an = a_n–1 + a_n–2
- utasítással, körülírással	Például: pozitív négyzetszámok növekvő sorozata; a 3/11 tizedes tört alakjában a tizedesvessző után az n-edik helyen álló számjegy.

KIDOLGOZOTT FELADAT

Add meg rekurzív módon, illetve képlettel a 8-cal osztva 5 maradékot adó pozitív számok növekvő sorozatát!

Megoldás

A sorozat első néhány tagja: 5; 13; 21; 29; 37.
Ha elkezdjük felírni a sorozat tagjait, akkor észrevehetjük, hogy az egymás után következő tagok különbsége állandó.
Haegy szám 8-cal osztva 5 maradékot ad, akkor a nála 8-cal nagyobb szám lesz a következő olyan szám, amely 8-cal osztva 5 maradékot ad.
Ez alapján a sorozat rekurzív megadása:
a1 = 5 és n2 1 esetén an = an - 1 + 8.
A 8-cal osztva 5 maradékot adó számok 8k + 5 (k ∈ N) alakúak.
Azonban a sorozat első tagja a k = 0 esetében kapott 5, ez tartozik az n = 1-hez.
Ezért helyettesítünk a képletbe k helyére n - 1-et.
an = 8(n - 1) + 5 = 8n - 8 + 5 = 8n - 3.
Ugyanehhez a képlethez jutunk, ha észrevesszük, hogy a sorozat tagjait megkaphatjuk a 8n alakú számokból (8; 16; 24; 32; …) úgy, ha mindegyikbol levonunk 3-at.
A sorozat tehát: an = 8n - 3.

FELADAT

1. Írd fel a sorozat első öt tagját, majd add meg képlettel és rekurzív módon is a sorozatot!
a) A páros pozitív egész számok növekvő sorozata.
; ; ; ; .
Megadása:
Képlettel: *n + ;
Rekurzióval: a_n - a_n-1 = ✓ ✗
b) A természetes számok növekvő sorozata.
; ; ; ; .
Megadása:
Képlettel: *n + ;
Rekurzióval: a_n - a_n-1 = ✓ ✗
c) 3-mal osztva 1 maradékot adó pozitív egész számok növekvő sorozata.
; ; ; ; .
Megadása:
Képlettel: *n + ;
Rekurzióval: a_n - a_n-1 = ✓ ✗
d) 7-tel osztva 4 maradékot adó pozitív egész számok növekvő sorozata.
; ; ; ; .
Megadása:
Képlettel: *n + ;
Rekurzióval: a_n - a_n-1 = ✓ ✗

---

2. Írd fel annak az {an} számsorozatnak az első öt tagját, amelyet így adunk meg:
a) a_1 = 3, és ha n > 1, akkor a_n = 2 * a_n-1 - 4;
; ; ; ; .
✓ ✗
b) a_1 = 3 , és ha n > 1, akkor a_n = 2 + √3 * an-1.
; ; ; ; .
✓ ✗
//a) 3; 2; 0; -4; -12; -28; -60; -124.
b) R3 ; 5; 2 + 5R3 ; stb. 4

---

3. Írd fel, és ábrázold a sorozatok első öt tagját!
Az {an} és {bn} sorozatot add meg képlettel, a {cn} sorozatot pedig utasítással is!
a) Az {an} sorozat első tagja 5.
A második tagtól kezdve a sorozat bármely tagja úgy kapható meg, hogy az őt megelőző taghoz hozzáadunk 2-t.
a_n = ; ; ; ; .
✓ ✗
b) A {bn} sorozat első tagja 8.
A második tagtól kezdve a sorozat bármely tagja úgy kapható meg, hogy az őt megelőző tagot elosztjuk 2-vel.
b_n = ; ; ; ; .
✓ ✗
c) A {cn} sorozat első tagja 3, második tagja 1.
Ha n > 2, akkor c_n = c_n-1 - c_n-2.
c_n = ; ; ; ; .
✓ ✗
//a) -8; 8; -8; 8; 8; -8.
b) 2.
c) -8.

---

4. Adott az an a_n = 8*(-1)^n sorozat (n ∈ N+).
a) Add meg az a1, a2, a3, a4, a12, a17 tagokat!
; ; ; ; ; .
✓ ✗
b) Hány elemű halmaz a megadott sorozat értékkészlete?
.
✓ ✗
c) Határozd meg a sorozat első 25 tagjának összegét!
.
✓ ✗

---

5. (Érettségi feladat nyomán, 2021)
Egy biztonsági őr először 4 egymás utáni napon dolgozik, utána 2 napot pihen, majd újra 4 nap munka és 2 pihenonap következik, és így tovább.
Ha az őr január elsején kezdett dolgozni, akkor
a) dolgozik vagy pihen az év 100. napján?
Dolgozik Pihen
b) az év 100. napjának reggelén hány ledolgozott munkanapja van már az évben?
.
✓ ✗
c) az év 125. napjának reggelén hány ledolgozott munkanapja van már az évben?
.
✓ ✗
//a) dolgozik.
b) 67.
c) 84.

HÁZI FELADAT

1. A következő táblázat a cn = n(n - 1) + 2 sorozatra vonatkozik.
Töltsd ki az üres helyeket!

	c_1	c_	c_	c_10	c_	c_100
n	1			10		100
cn		8	74		602

---

2. A két sorozat közül melyiknek nagyobb a 4. tagja?
a) an = 12 - 5n, illetve bn = 10 - n^2
a_4 =
b_4 =
Összehasonlítás: Az a_4 a nagyobb. A b_4 a nagyobb. Egyenlők.
b) an = n^2 + n, illetve bn = 35 - n^2
a_4 =
b_4 =
Összehasonlítás: Az a_4 a nagyobb. A b_4 a nagyobb. Egyenlők.

---

3. (Érettségi feladat, 2021)
Egy sorozat első tagja (a_1 =) 5.
A második tagtól kezdve minden tag az előző tag (-2)-szeresénél 1-gyel nagyobb szám.
Add meg a sorozat második, harmadik és hatodik tagját!
a_2 =
a_3 =
a_6 =

---

4. Egy számsorozatnak minden páratlan sorszámú tagja 24, minden páros sorszámú tagja -23.
Mennyi az első tíz tag összege (S_10)?
Mennyi az első tizenöt tag összege(S_15)?
S_10 =
S_15 =

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /