25. A számtani sorozat első n tagjának összege

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

BEVEZETŐ

– Hogyan lehet a legegyszerubben megfogni egy oroszlánt?
– ??
– Fogunk kettot, és elengedünk egyet.
Sokat segít ez a gondolat, ha egy számtani sorozat tagjainak összegét keressük.

KIDOLGOZOTT FELADAT

Egy tér egyik részét 50 sorban díszkővel borították.
Az első sorba 26 díszkövet tettek, és minden következő sorba 2-vel többet, mint az előző sorba.
Hány díszkő van a téren?

Megoldás

A sorokban a díszkövek száma: 26; 28; 30; 32; … .
Az utolsó, 50. sorban 26 + 49 * 2 = 124 díszkő van.
Gondolatban egészítsük ki mindegyik sort!
Az első sort annyi díszkővel, amennyi az utolsó sorban van, a második sort annyival, amennyi az utolsó előtti sorban van, és így tovább.
Ezzel az eljárással minden sorban ugyanannyi, 150 díszkő lesz.
Ez összesen 50 * 150 = 7500 darab.
De ekkor kétszer számoltunk minden díszkövet.
A díszkövek száma ennek a fele: (26 + 124 )* 50 /2= 3750 .

Megjegyzés:

Ezzel a módszerrel általánosan is kiszámolhatjuk a számtani sorozat első n tagjának összegét.

ELMÉLET

számtani sorozat első n tagjának az összege

Jelölés: sorozat első n tagjának összege: Sn Sn = a1 + a2 + a3 + … + an	az első taggal és az n-edik taggal kifejezve (n; a1 és an ismeretében)	`S_n=(a_1 + a_n)/2*n`
	az első taggal és a differenciával kifejezve (n, a1 és d ismeretében)	`S_n = (2*a_1 +(n-1)*d)/2*n`

Bizonyítsuk be, hogy a számtani sorozat első n tagjának összege `S_n=(a_1 + a_n)/2*n`.

Bizonyítás

Írjuk fel az első n tag összegét elobb az indexek növekvő, majd csökkenő sorrendjében!
S_n = a_1 + a_2 + … + a_n-1 + a_n
S_n = a_n + a_n-1 + … + a_2 + a_1
Adjuk össze a két egyenletet!
2 * Sn = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_n-1) + … + (a_1 + a_n)
Ebben a kifejezésben n darab zárójeles tag van.
Megfigyelhető, hogy ezek a tagok egyenlok, hiszen
- az a2 d-vel nagyobb az a1-nél, az an - 1 d-vel kisebb az an-nél;
(a_2 = a_1 + d és a_n-1 = a_n - d),
- az a_3 2d-vel nagyobb az a_1-nél, az a_n-2 2d-vel kisebb az an-nél;
(a_3 = a_1 + 2d és a_n-2 = a_n - 2d)
- és így tovább.
Tehát `2 * S_n = n * (a_1 + a_n)`. → `S_n = (a_1 + a_n)/2*n`

FELADAT

1. Határozd meg a számtani sorozatok hiányzó adatait!

a1	d	n	an	Sn
129	-10	13	✓ ✗	✓ ✗
✓ ✗	5,3	21	112	✓ ✗
-8	✓ ✗	✓ ✗	22	77
✓ ✗	-1	27	48	✓ ✗

//9; 897; 6; 1239; 3; 11; 74; 1647.

---

2. Egy számtani sorozat első tagja -65, n-edik tagja 65.
Mennyi a sorozat első n tagjának összege, ha
a) n = 3;
✓ ✗
b) n = 8;
✓ ✗
c) n = 11;
✓ ✗
d) n = 27?
✓ ✗
//mind 0.

---

3. (Érettségi feladat, 2006)
55 darab egymást követő pozitív páratlan szám öszszege 3905.
Melyik az összegben az első, illetve az 55. páratlan szám?
✓ ✗
✓ ✗
//17 és 125.

---

4. Bizonyítsd be, hogy az első n darab pozitív páratlan szám összege n2.
(Ezt szemléltette a 23. lecke Bevezetője.)
✓ ✗

---

5. Egy kis üzlet tulajdonosa 5 láda sóletkonzervet szeretne elrendezni gúla alakban.
Mindegyik ládában 24 konzerv van.
Mindegyik sorba 1-gyel kevesebbet tesz, mint az alatta lévőbe.
El tudja-e rendezni a konzerveket úgy, hogy a legfelső sorba egyet tesz?
Ha igen, hányat tegyen a legalsó sorba?
Milyen magas lesz a gúlája, ha egy konzerv 12 cm magas?
Hány konzerv kellene egy 3 m magas gúlához?
✓ ✗
✓ ✗
✓ ✗
✓ ✗
//igen, 15 darab, 180 cm, 325 darab.

---

6. (Érettségi feladat, 2015)
Zsuzsa nagyszülei elhatározzák, hogy Zsuzsa 18.
születésnapjára 90 000 Ft-os vásárlási utalványt adnak neki ajándékba.
minden hónapban félretesznek valamekkora öszszeget úgy, hogy a 18. születésnapon éppen 90 000 forintjuk legyen erre a célra.
Az első hónap után mindig 200 forinttal többet tesznek félre, mint az előző hónapban.
Mennyi pénzt tesznek félre az első, és mennyit az utolsó alkalommal?
✓ ✗
és ✓ ✗
//3300 Ft, illetve 6700 Ft.

HÁZI FELADAT

1. Az {an} számtani sorozatban az első tag 15, a differencia -1,2.
Mennyi a sorozatban
a) az első 10 tag összege?

b) az első 16 tag összege?

c) az első 26 tag összege?

---

2. Mennyi az eredmény, ha összeadjuk
a) a pozitív egész számokat 100-tól 1000-ig;

b) a pozitív páratlan számokat 45-tol 945-ig?

c) a páros számokat -14-tol 132-ig?

---

3. Egy stadion nézoterén az első sorban 340 ülés van, minden következő sorban 30 üléssel több, mint az előző sorban.
Hány nézonek van ülőhely a stadionban, ha a sorok száma összesen 27?

---

4. a) Egy számtani sorozatban a1 = -5, a6 = 5.
Számítsd ki d, a25 és S25 értékét!
d =
a25 =
S25 =
b) Egy számtani sorozatban a3 = 6, a10 = -15.
Számítsd ki d, a1, a20 és S20 értékét!
d =
a1 =
a20 =
S20 =

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /