I. rész
1. Arnold és hat barátja moziba mennek.
Hányféle sorrendben ülhetnek egymás mellé a lefoglalt 7 helyen, ha Arnold középen ül?
Hányféle sorrendben ülhetnek egymás mellé a lefoglalt 7 helyen, ha Arnold középen ül?
2. Határozd meg annak a derékszögu trapéznak a kerűletét, amelynek alapjai 10, illetve 22 cm hosszúak, a derékszögű szár pedig 5 cm hosszú!
3. Állapítsd meg az ábrán lévo, grafikonjával adott függvény szélsőértékeinek típusát, értékét és helyét!
4. Milyen számjegyeket írhatunk a 367x2y hatjegyű szám ismeretlen számjegyeinek helyére ahhoz, hogy a szám osztható legyen 12-vel?
Határozd meg az összes lehetséges (x; y) rendezett számpárt!
Határozd meg az összes lehetséges (x; y) rendezett számpárt!
5. Határozd meg az alábbi állítások logikai értékét!
A: Van középpontosan szimmetrikus háromszög.
B: Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus valamelyik átlójára.
C: Van középpontosan szimmetrikus trapéz.
A: Van középpontosan szimmetrikus háromszög.
B: Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus valamelyik átlójára.
C: Van középpontosan szimmetrikus trapéz.
6. Egy részvény ára április 30-án 3670 Ft.
A részvények ára nagyon sok összetevőtől függhet.
Egy elemző szerint ennek a részvénynek az ára három hónap múlva 0,2 valószínűséggel 3690 Ft, 0,1 valószínűséggel 3790 Ft, 0,4 valószínűséggel 3680 és 0,3 valószínűséggel 3650 Ft lesz.
Ezen becslés adatai alapján három hónap múlva mennyi a részvény árának várható értéke?
A részvények ára nagyon sok összetevőtől függhet.
Egy elemző szerint ennek a részvénynek az ára három hónap múlva 0,2 valószínűséggel 3690 Ft, 0,1 valószínűséggel 3790 Ft, 0,4 valószínűséggel 3680 és 0,3 valószínűséggel 3650 Ft lesz.
Ezen becslés adatai alapján három hónap múlva mennyi a részvény árának várható értéke?
7. Két dobókockával dobunk.
Legyen az A esemény az, hogy a dobott számok összege 4, a B esemény pedig az, hogy az egyik dobás eredménye 3.
A táblázat első oszlopában két dobás eredményét látod.
Jelöld a táblázatban az igen, illetve a nem szavak beírásával, hogy bekövetkezik-e az A + B, illetve az A * B esemény az adott esetekben!
Legyen az A esemény az, hogy a dobott számok összege 4, a B esemény pedig az, hogy az egyik dobás eredménye 3.
A táblázat első oszlopában két dobás eredményét látod.
Jelöld a táblázatban az igen, illetve a nem szavak beírásával, hogy bekövetkezik-e az A + B, illetve az A * B esemény az adott esetekben!
| Bekövetkezik-e az A + B esemény? | Bekövetkezik-e az A * B esemény? | |
 |
||
 |
8. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobunk, és a kapott számokat egymás után írjuk.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy 39-nél nagyobb, hárommal osztható számot kapunk?
Válaszod indokold!
Mekkora a valószínűsége annak, hogy 39-nél nagyobb, hárommal osztható számot kapunk?
Válaszod indokold!
9. Milyen hosszú az A(-4; 2), B(3; -7) és C(1; -10) csúcsokkal adott háromszög AC oldalával párhuzamos középvonala?
10. Az ABCD téglalap oldalai 7 cm és 3 cm hosszúak, az ehhez hasonló AlBlClDltéglalap területe pedig 42 cm2.
Add meg egy tizedesjegyre kerekítve, hogy hány cm az A'B'C'D' téglalap rövidebb oldala!
Írd le a számítás lépéseit!
Add meg egy tizedesjegyre kerekítve, hogy hány cm az A'B'C'D' téglalap rövidebb oldala!
Írd le a számítás lépéseit!
11. Amikor a víz megfagy, térfogata 11 1 -ed részével megnő.
Hányad részével csökken a jég térfogata olvadáskor?
Hányad részével csökken a jég térfogata olvadáskor?
12. Bizonyítsd be, hogy az alábbi egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása!
]x - 2g2 + x - 1 = 0
]x - 2g2 + x - 1 = 0
II. rész „A”
13. Nyaranta Révfülöp és Balatonboglár között kerül sor a Balaton-átúszásra.
Mintegy tízezer ember ússza át a Balatont, és teszi meg a kb. 5,2 km-es távolságot.
A két település egyébként is népszerű kirándulóhely.
Sokan keresik fel a révfülöpi kiindulási hely kilátóját a Fülöp-hegyen, illetve a boglári hegy csúcsán a Xantus János Gömbkilátót.
A két kilátó távolsága közelítőleg 6 km.
1998-ig visszamenőleg elérhetők az átúszás legérdekesebb statisztikai adatai az interneten.
Az alábbi táblázatban a 2004–2020 közötti időszak legfiatalabb és legidősebb átúszóit tüntettük fel nemek szerint (2005-ben és 2010-ben a sorozatos rossz idő miatt nem tartották meg az átúszást).
2004 2006 2007 2008 2009 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Legfiatalabb női úszó 9 8 7 8 7 9 8 8 9 8 8 6 8 6 8
Legfiatalabb férfiúszó 6 7 8 8 8 9 8 8 8 8 7 7 7 7 8
Legidősebb noi úszó 69 72 73 74 73 77 78 76 80 78 79 80 81 82 75
Legidősebb férfiúszó 77 79 87 77 78 79 82 82 83 84 85 82 83 82 83
a) Készíts gyakorisági táblázatot a legfiatalabb noi úszók életkoráról!
b) Határozd meg a mediánt, az átlagot és a móduszt a legidősebb férfiúszó kategóriában!
c) Készíts dobozdiagramot a legidősebb noi úszó kategória adatairól!
d) Milyen messze van Fonyód a Fülöp-hegyi kilátótól, ha tudjuk, hogy a Gömbkilátó 9 km-re van Fonyódtól, és a Fülöp-hegyet Fonyóddal összekötő egyenes 50°-os szöget zár be a Fülöp-hegyet a Gömbkilátóval összeköto egyenessel?
Mintegy tízezer ember ússza át a Balatont, és teszi meg a kb. 5,2 km-es távolságot.
A két település egyébként is népszerű kirándulóhely.
Sokan keresik fel a révfülöpi kiindulási hely kilátóját a Fülöp-hegyen, illetve a boglári hegy csúcsán a Xantus János Gömbkilátót.
A két kilátó távolsága közelítőleg 6 km.
1998-ig visszamenőleg elérhetők az átúszás legérdekesebb statisztikai adatai az interneten.
Az alábbi táblázatban a 2004–2020 közötti időszak legfiatalabb és legidősebb átúszóit tüntettük fel nemek szerint (2005-ben és 2010-ben a sorozatos rossz idő miatt nem tartották meg az átúszást).
Legfiatalabb női úszó 9 8 7 8 7 9 8 8 9 8 8 6 8 6 8
Legfiatalabb férfiúszó 6 7 8 8 8 9 8 8 8 8 7 7 7 7 8
Legidősebb noi úszó 69 72 73 74 73 77 78 76 80 78 79 80 81 82 75
Legidősebb férfiúszó 77 79 87 77 78 79 82 82 83 84 85 82 83 82 83
a) Készíts gyakorisági táblázatot a legfiatalabb noi úszók életkoráról!
b) Határozd meg a mediánt, az átlagot és a móduszt a legidősebb férfiúszó kategóriában!
c) Készíts dobozdiagramot a legidősebb noi úszó kategória adatairól!
d) Milyen messze van Fonyód a Fülöp-hegyi kilátótól, ha tudjuk, hogy a Gömbkilátó 9 km-re van Fonyódtól, és a Fülöp-hegyet Fonyóddal összekötő egyenes 50°-os szöget zár be a Fülöp-hegyet a Gömbkilátóval összeköto egyenessel?
14. Az egyetem egyik irodája előtt 6 diák várakozik: Anna, Béla, Csaba, Dénes, Elek és Fanni.
a) Megkérdezték oket, hogy a jelenlévok között kinek hány ismerőse van.
Ezeket a válaszokat kapták:
2; 3; 3; 2; 1 és 2.
Bizonyítsd be, hogy ezek a válaszok nem teljesülhetnek egyszerre (tehát legalább egyikük tévedett).
(Feltesszük, hogy az ismeretség kölcsönös.)
b) Hányféle sorrendben érkezhettek az iroda elé, ha egyesével érkeztek, és tudjuk, hogy Anna előbb jött, mint Béla?
c) A 6 várakőző ember közül véletlenszerűen kiválasztunk 3 főt.
Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan egy lány van a kiválasztott 3 diák között?
a) Megkérdezték oket, hogy a jelenlévok között kinek hány ismerőse van.
Ezeket a válaszokat kapták:
2; 3; 3; 2; 1 és 2.
Bizonyítsd be, hogy ezek a válaszok nem teljesülhetnek egyszerre (tehát legalább egyikük tévedett).
(Feltesszük, hogy az ismeretség kölcsönös.)
b) Hányféle sorrendben érkezhettek az iroda elé, ha egyesével érkeztek, és tudjuk, hogy Anna előbb jött, mint Béla?
c) A 6 várakőző ember közül véletlenszerűen kiválasztunk 3 főt.
Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan egy lány van a kiválasztott 3 diák között?
15. Andrásnak tavaly több volt a fizetése, mint Bélának.
András 11 havi fizetése volt annyi, mint Béla egész éves keresete.
Idén január elsejétol mindketten fizetésemelést kaptak.
A szerzodésük szerint idén január elsején és innentol kezdve minden év január elsején egy adott százalékkal emelkedik a fizetésük.
Így Andrásnak 2%-kal, míg Bélának 3%-kal no minden év január elsején a fizetése.
a) Ha megmarad ez a növekedési ütem, akkor hány év múlva fordul elő először, hogy Béla fizetése nagyobb lesz, mint Andrásé?
b) András cégénél 26-an dolgoznak, a dolgőzők átlagfizetése 293 000 peták.
Felvesznek a céghez egy informatikust 352 000 peták és egy gazdasági ügyintézot 333 000 peták fizetéssel.
Mennyi lesz ekkor a fizetések átlaga a cégnél?
András 11 havi fizetése volt annyi, mint Béla egész éves keresete.
Idén január elsejétol mindketten fizetésemelést kaptak.
A szerzodésük szerint idén január elsején és innentol kezdve minden év január elsején egy adott százalékkal emelkedik a fizetésük.
Így Andrásnak 2%-kal, míg Bélának 3%-kal no minden év január elsején a fizetése.
a) Ha megmarad ez a növekedési ütem, akkor hány év múlva fordul elő először, hogy Béla fizetése nagyobb lesz, mint Andrásé?
b) András cégénél 26-an dolgoznak, a dolgőzők átlagfizetése 293 000 peták.
Felvesznek a céghez egy informatikust 352 000 peták és egy gazdasági ügyintézot 333 000 peták fizetéssel.
Mennyi lesz ekkor a fizetések átlaga a cégnél?
II. rész „B”
16. Körbe akarjuk biciklizni a Balatont.
A Balatoni Körút hossza kb. 210 km.
Úgy tervezzük, hogy mindennap 10 km-rel többet teszünk meg, mint az előző napon.
a) Hány km-t tekerjünk elso nap, ha 6 napra tervezzük a túrát?
b) Hány napig fog tartani a kör, ha elso nap 60 km-t tekerünk?
Egy másik baráti társaság is körbetekeri a Balatont.
Ők az alapján tervezik meg az utat, hogy melyik településen találnak maguknak kedvezo áron szálláshelyet.
Révfülöprol indulva az általuk kiszemelt lehetséges szállások közti távolságok a következok: Révfülöp – 32 km – Balatonfüred – 31 km – Balatonkenese – 41 km – Balatonföldvár – 46 km – Balatonmáriafürdő – 28 km – Balatongyörök – 32 km – Révfülöp.
Hányféle út lehetséges, ha Révfülöpről indulnak, és egy nap
c) legfeljebb 70 km-t;
d) legalább 70 km-t;
e) legfeljebb 90 km-t
akarnak tekerni, valamint nem feltétel, hogy minden szálláshelyen éjszakázniuk kell?
A Balatoni Körút hossza kb. 210 km.
Úgy tervezzük, hogy mindennap 10 km-rel többet teszünk meg, mint az előző napon.
a) Hány km-t tekerjünk elso nap, ha 6 napra tervezzük a túrát?
b) Hány napig fog tartani a kör, ha elso nap 60 km-t tekerünk?
Egy másik baráti társaság is körbetekeri a Balatont.
Ők az alapján tervezik meg az utat, hogy melyik településen találnak maguknak kedvezo áron szálláshelyet.
Révfülöprol indulva az általuk kiszemelt lehetséges szállások közti távolságok a következok: Révfülöp – 32 km – Balatonfüred – 31 km – Balatonkenese – 41 km – Balatonföldvár – 46 km – Balatonmáriafürdő – 28 km – Balatongyörök – 32 km – Révfülöp.
Hányféle út lehetséges, ha Révfülöpről indulnak, és egy nap
c) legfeljebb 70 km-t;
d) legalább 70 km-t;
e) legfeljebb 90 km-t
akarnak tekerni, valamint nem feltétel, hogy minden szálláshelyen éjszakázniuk kell?
17. Bimbó, a tehén egy – síknak tekinthető – réten legelészik.
Tőle északra 9 méterre álldogál Riska, a másik tehén.
Riskától keleti irányban, ugyanakkor Bimbótól 15 méterre heverészik Kócos, a puli kutya.
Helyezd el egy derékszögű koordináta-rendszerben az állatokat jelző R; B; K (rendre Riska; Bimbó; Kócos) pontokat úgy, hogy R legyen az origóban, B az ordinátatengely negatív felén, valamint K az abszciszszatengely (x tengely) pozitív ágán!
(Tekintsük ilyen szempontból pontszerűnek az állatokat.
Észak az y tengely pozitív irányában, kelet az x tengely pozitív irányában van.)
a) Határozd meg az említett állatok helyének koordinátáit rendezett valós számpárokkal, ha az egységet egy méternek tekintjük!
b) Az előbbi koordináták figyelembevételével írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely mentén Kócos és Bimbó elhelyezkedik!
Riska az origóban rögzített, 7 méter hosszúságú kötéllel van kipányvázva.
c) A három állat eredeti helyzetével létrehozott BRK háromszög terűletének hány százalékát tudja ilyen módon bejárni?
Az eredményt egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
A nap folyamán legelészés közben Riska az x tengely mentén haladt.
Kócos és Bimbó az eredeti helyükön maradtak.
d) Az x tengelynek melyik az a pontja, amelyik egyenlő távolságban van Kócostól és Bimbótól?
Állhat-e ebben a pontban Riska a kipányvázás ellenére?
Tőle északra 9 méterre álldogál Riska, a másik tehén.
Riskától keleti irányban, ugyanakkor Bimbótól 15 méterre heverészik Kócos, a puli kutya.
Helyezd el egy derékszögű koordináta-rendszerben az állatokat jelző R; B; K (rendre Riska; Bimbó; Kócos) pontokat úgy, hogy R legyen az origóban, B az ordinátatengely negatív felén, valamint K az abszciszszatengely (x tengely) pozitív ágán!
(Tekintsük ilyen szempontból pontszerűnek az állatokat.
Észak az y tengely pozitív irányában, kelet az x tengely pozitív irányában van.)
a) Határozd meg az említett állatok helyének koordinátáit rendezett valós számpárokkal, ha az egységet egy méternek tekintjük!
b) Az előbbi koordináták figyelembevételével írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely mentén Kócos és Bimbó elhelyezkedik!
Riska az origóban rögzített, 7 méter hosszúságú kötéllel van kipányvázva.
c) A három állat eredeti helyzetével létrehozott BRK háromszög terűletének hány százalékát tudja ilyen módon bejárni?
Az eredményt egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
A nap folyamán legelészés közben Riska az x tengely mentén haladt.
Kócos és Bimbó az eredeti helyükön maradtak.
d) Az x tengelynek melyik az a pontja, amelyik egyenlő távolságban van Kócostól és Bimbótól?
Állhat-e ebben a pontban Riska a kipányvázás ellenére?
18. Egy úszómedence 15 m széles, 50 m hosszú, és a hosszabb oldala mentén a vízmélység 170 cm-rol egyenletesen nő 250 cm-ig.
a) Mennyi víz fér a medencébe?
b) Télen a medence fölé az ábra szerint egy félhenger alakú sátrat húznak, amelynek két végét függőleges síkú félkörökkel zárják le.
A félhenger alakú sátor alaplapja olyan félkör, amelynek sugara 9 m hosszú, a sátor hossza 54 m.
Hány négyzetméter anyagot kellett venni a sátor elkészítéséhez, ha a hulladék a felhasznált anyag 15%-a volt?
c) A medencében 6 úszósávot alakítottak ki.
Egy alkalommal négyen érkeznek az uszodába.
Hányféleképpen foglalhatják el az úszósávokat, ha négy különböző sávot választanak, és két esetet különbözőnek tekintünk, ha van olyan közöttük, aki máshol úszik (vagyis az úszókat megkülönböztetjük)?
b) Télen a medence fölé az ábra szerint egy félhenger alakú sátrat húznak, amelynek két végét függőleges síkú félkörökkel zárják le.
A félhenger alakú sátor alaplapja olyan félkör, amelynek sugara 9 m hosszú, a sátor hossza 54 m.
Hány négyzetméter anyagot kellett venni a sátor elkészítéséhez, ha a hulladék a felhasznált anyag 15%-a volt?
c) A medencében 6 úszósávot alakítottak ki.
Egy alkalommal négyen érkeznek az uszodába.
Hányféleképpen foglalhatják el az úszósávokat, ha négy különböző sávot választanak, és két esetet különbözőnek tekintünk, ha van olyan közöttük, aki máshol úszik (vagyis az úszókat megkülönböztetjük)?
