38. Események összege és szorzata

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Feldobunk három különböző pénzdarabot, egy 10 forintost, egy 20 forintost és egy 50 forintost.
Feljegyezzük (ilyen sorrendben), hogy a pénzérméknek a fej vagy az írás oldala látható.
Vizsgáljuk a következő két eseményt:
A: a 10 forintoson az írás oldal látható;
B: az érmék között pontosan egy fej látható.
Hány elemi esemény esetében következik be az A vagy B, illetve az A és B esemény?

Megoldás

Mivel mindegyik pénzdarab kétféleképpen érkezhet le, az eseménytér 23 = 8 elemi eseményből áll.
Az ábrán ezeket az elemi eseményeket ábrázoltuk.

Az A eseményhez azok az elemi események tartoznak, amikor a 10 forintoson az írás oldal látható.
Ezek az III, IIF, IFI, IFF események, ez tehát 4 elemi esemény.
A B eseményhez azok az elemi események tartoznak, amikor az érmék között pontosan egy fej látható.
Ezek az IIF, IFI és FII események, tehát 3 elemi esemény.
Az A vagy B esemény azt jelenti, hogy a 10 forintoson írás van, vagy pontosan egy fej van.
Ehhez az ábra szerint 5 elemi esemény tartozik.
Az A és B esemény azt jelenti, hogy a 10 forintoson írás van, és pontosan egy fej van.
Ehhez az ábra szerint 2 elemi esemény tartozik.

ELMÉLET

Események összege és szorzata

- Az A és a B események összege az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha az A és a B események közül legalább az egyik bekövetkezik.
Jele: A + B.

- Az A és a B események szorzata az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha az A és a B esemény is bekövetkezik.
Jele: A * B.

Egymást kizáró események szorzata a lehetetlen esemény.
Komplementer események összege a biztos esemény.

FELADAT

1. Táblázatba foglaltuk egy hét időjárási jellemzőit.

	hétfő	kedd	szerda	csütörtök	péntek	szombat	vasárnap
átlaghőmérséklet	14 °C	18 °C	17 °C	10 °C	9 °C	10 °C	12 °C
csapadék	0 mm	4 mm	12 mm	8 mm	0 mm	0 mm	6 mm
szélerősség	5 km/h	8 km/h	2 km/h	26 km/h	18 km/h	3 km/h	szélcsend

Adott három esemény:
A: Az átlaghőmérséklet több, mint 10°C.
B: A csapadék több, mint 5 mm.
C: A szél erősebb, mint 5 km/h.
Mely napokra igaz, hogy bekövetkezett a következő esemény?
a) A + B
✓ ✗
b) B * C
✓ ✗
c) `B + bar(C)`
✓ ✗
d) `bar(A) * B * C`
✓ ✗

---

2. Egy elektromos áramkör vázlatát mutatja az ábra.
Legyen az
A esemény az, hogy az A kapcsoló zárva van, a
B esemény az, hogy a B kapcsoló zárva van, a
C esemény az, hogy a C kapcsoló zárva van.
(Amikor egy kapcsoló zárva van, akkor rajta keresztül tud folyni az áram, azon a helyen záródik az áramkör.)

Világít-e a lámpa a következő eseményekben?
a) B * C
✓ ✗
b) A * B
✓ ✗
c) A * B * C
✓ ✗
d) A * (B + C)
✓ ✗

---

3. Sándor, József és Benedek mindhárman rendszeresen lottóznak.
Az ötöslottón játszanak, ahol a lehetséges lottószámok az 1; 2; 3; … ; 89; 90 számok.
Sándor kedvenc számai a négyzetszámok és a köbszámok.
József kedvenc számai azok, amelyek oszthatók 5-tel vagy 7-tel.
Benedek kedvenc számai azok, amelyekben a számjegyek összege 9 vagy 10.
Mindhárman mindig a kedvenc számaik közül jelölnek meg ötöt.
Legyen
S az az esemény, hogy egy lottószám Sándor kedvenc számai közül való,
J az az esemény, hogy József kedvenc számai közül való, és
B az az esemény, hogy Benedek kedvenc számai közül való.
a) Az egyik héten a lottón a 42, 45, 49, 63, 64 számokat húzták ki.
Ezek közül melyik számok esetén következik be az S + J, illetve a J * B esemény?
✓ ✗
b) Adj meg két-két olyan lottószámot, amelyre bekövetkezik az S * J, illetve az J + B esemény!
✓ ✗
c) Hány olyan szám van a lottószelvényen, amely esetén bekövetkezik az S * B * J esemény?
✓ ✗

---

4. Az A esemény 18 elemi esemény esetén következik be, a B esemény 15 elemi esemény esetén.
a) Legalább hány elemi esemény esetén következik be az A + B, az A * B, illetve az A * B esemény?
✓ ✗
b) Legfeljebb hány elemi esemény esetén következik be az A + B, az A * B, illetve az A * B esemény?
✓ ✗

---

5. Legalább, illetve legfeljebb hány elemi esemény esetén következik be az A, illetve a B esemény, ha tudjuk, hogy az
A * B 15 elemi esemény, az
A + B 16 elemi esemény esetén következik be?
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Egy városban minden héten szerdán és szombaton van koncert, pénteken, szombaton és vasárnap van színházi előadás, és hétfőt kivéve minden este filmvetítés.
Legyen K az az esemény, hogy egy adott napon van koncert, S az az esemény, hogy van színházi eloadás, és F az az esemény, hogy van filmvetítés.
2023-ban január elseje vasárnapra esett.
A felsorolt napok közül mely napokon következik be a K * (S + F), a K + S, illetve a K * S + F esemény?
január 10. január 18. január 23.
február 2. február 11. február 14.

---

2. András megállapította, hogy a nadrágzsebében lévő pénz több mint 15 000 Ft, és csak papírpénz van nála.
Adottak a következő események:
A: András zsebében kettő papírpénz van, és azok ugyanolyan értékűek.
B: András zsebében három papírpénz van, és mind különböző értékűek.
C: András zsebében kevesebb pénz van, mint 20 000 Ft.
Mennyi pénz lehet András zsebében, ha bekövetkezik a következő esemény?
a) A * B

b) A + C

c) B + C

d) A * C

---

3. A H eseménytér 20 elemi eseményből áll.
Az A esemény 12, a B esemény 16 elemi esemény halmaza.
Legalább, illetve legfeljebb hány elemi esemény esetén következik be az A + B, az A * B, illetve az A + B esemény?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /