BEVEZETŐ
A Rubik-kocka (vagy más néven bűvös kocka) egy háromdimenziós mechanikus logikai játék, amit ifjabb Rubik Ernő alkotott meg 1974-ben.A játék szabadalmi leírása szerint:
„A találmány lényege abban van, hogy a nagy kockát alkotó 27 elem, szétszedés tehát a nagy kocka megbontása nélkül hozható új helyzetbe, aminek eléréséhez egyetlen homológ művelet: a nagy kocka bármelyik lapját alkotó kilenc kis kockának elforgatása szükséges.”
Az elmúlt közel 50 évben a kockának újabb változatait hozták létre.
Az eredeti 3 × 3 × 3-as változat mellett létezik például 2 × 2 × 2-es típus, a „Rubik bosszúja” elnevezésű 4 × 4 × 4-es, valamint a „Professzor kockája” fantázianevű 5 × 5 × 5-ös változata is.
A legnagyobb forgalomban lévő termék a 25 × 25 × 25-ös kocka.
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Képzeljünk el a Rubik-kockákhoz hasonló, kis kockákból felépített testeket.Tekintsünk egy kis kockát 1 × 1 × 1-es típusúnak, és állítsuk elő csakis ilyen darabokból a nagyobb kockákat.
(Az eredeti Rubik-kocka kockaelemeit olyan alakúra formálták, hogy azok az alakjuknál fogva tartsák össze magukat.)
Hány kockára van szükségünk a bevezetőben említett típusok előállításához?
Hányszorosa lesz az így létrehozott kockák felszíne és térfogata az eredeti kis kocka felszínének és térfogatának?
Megoldás
A 2 × 2 × 2-es kocka felépítésekor egy nagy kockalap 2 · 2 darab négyzetlapot tartalmaz, így a 6 lapon összesen 6 · 2 · 2 négyzetlap van, ami miatt 4-szerese lesz a kapott kocka felszíne az eredeti 1 × 1 × 1-es kis kocka felszínének.Mivel a 2 × 2 × 2-es kocka 2 sorban egymás fölött 2 · 2 darab kis kockát tartalmaz, ezért annak felépítéséhez összesen 8 kis kocka szükséges.
Így a 8 kis kockából álló 2 × 2 × 2-es kocka térfogata 8-szorosa az eredeti 1 × 1 × 1-es kis kocka térfogatának.
A többi kocka felszínéről és térfogatáról hasonló megállapításokat tehetünk.
Foglaljuk táblázatba az eredményeket!
| A kocka mérete | Egy élen elhelyezett négyzetek száma | Egy lap területe | A kocka felszíne | A testet alkotó 1 × 1 × 1-es kockák száma | A_kocka/A_1×1×1 | V_kocka/V_1×1×1 |
| 1 × 1 × 1 | 1 | 1 | 6 | 1 | 1 | 1 |
| 2 × 2 × 2 | 2 | 4 | 24 | 8 | 4 | 8 |
| 3 × 3 × 3 | 3 | 9 | 54 | 27 | 9 | 27 |
| 4 × 4 × 4 | 4 | 16 | 96 | 64 | 16 | 64 |
| 25 × 25 × 25 | 25 | 625 | 3750 | 15 625 | 625 | 15 625 |
Vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a hasonlóság aránya és a kockák felszín-, valamint térfogataránya között!
| A hasonlóság aránya az 1 × 1 × 1 kockához képest (k) | A felszínek aránya: A_kocka/A_1×1×1 | A térfogatok aránya: V_kocka/V_1×1×1 | |
| 2 × 2 × 2 | 2 | 4 | 8 |
| 3 × 3 × 3 | 3 | 9 | 27 |
| 4 × 4 × 4 | 4 | 16 | 64 |
| 25 × 25 × 25 | 25 | 625 | 15 625 |
2. Hogyan változik egy henger felszíne, valamint térfogata, ha a hengert k-szorosára nagyítjuk?
Megoldás
Legyen a henger alapkörének sugara r, a test magassága M.Ekkor a nagyítással kapott henger alapkörének sugara rl= k · r, a magassága Ml= k · M.
A hengerek felszínének aránya: A
A hengerek térfogatának aránya: V
Tehát a henger felszíne a k2-szeresére, a henger térfogata a k3-szorosára növekszik.
ELMÉLET
1. Emlékeztető: Ha két síkidom hasonló, és a hasonlóság arányszáma k, akkor a síkidomok kerületének aránya k, a síkidomok területének aránya k2.2. Ha két test hasonló, és a hasonlóság arányszáma k, akkor a testek felszínének aránya k2, a testek térfogatának aránya k3.
K'/K = k
T'/T = k2
A'/A = k2
V'/V = k3
FELADAT
1. Egy 1,26 m élhosszúságú betonkockából kivájtak egy olyan kocka alakú üreget, amelynek az élei
a) 21 cm;
b) 42 cm;
c) 63 cm hosszúságúak.
Hányad része az üreg térfogata a megmaradt betontömb térfogatának?
//a) 1/215 b) 1/26 c) 1/7.
//R15
✓ ✗
a) 21 cm;
b) 42 cm;
c) 63 cm hosszúságúak.
Hányad része az üreg térfogata a megmaradt betontömb térfogatának?
//a) 1/215 b) 1/26 c) 1/7.
//R15
✓ ✗
2. Ivett a nyári szünet egy részében a Marcipán cukrászatban dolgozott.
Legutóbb 340 darab 22 mm átmérőjű marcipángolyóból kellett csokoládémázzal bevont 30 mm átmérőjű, gömb alakú bonbonokat készítenie.
a) Hány dm3 volt a 340 marcipángolyó együttes térfogata?
b) Hányszor annyi lett a 340 bonbon térfogata, mint a marcipángolyóké?
c) Hány dm3 csokoládét használt fel a mázhoz?
d) Mekkora lett volna egy bonbon átmérője, ha 5,2 dm3 csokoládét használt volna fel?
e) Mekkora a példában említett háromféle gömb felszíne?
//a) 1,9 dm3. b) 2,5-szer. c) 2,85 dm3. d) 34 mm. e) 1520,5 mm2, 2827,4 mm2, 3631,7 mm2.
Legutóbb 340 darab 22 mm átmérőjű marcipángolyóból kellett csokoládémázzal bevont 30 mm átmérőjű, gömb alakú bonbonokat készítenie.
a) Hány dm3 volt a 340 marcipángolyó együttes térfogata?
b) Hányszor annyi lett a 340 bonbon térfogata, mint a marcipángolyóké?
c) Hány dm3 csokoládét használt fel a mázhoz?
d) Mekkora lett volna egy bonbon átmérője, ha 5,2 dm3 csokoládét használt volna fel?
e) Mekkora a példában említett háromféle gömb felszíne?
//a) 1,9 dm3. b) 2,5-szer. c) 2,85 dm3. d) 34 mm. e) 1520,5 mm2, 2827,4 mm2, 3631,7 mm2.
HÁZI FELADAT
1. Egy 2 cm sugarú ólomgolyóból 1 mm sugarú ólomsöréteket öntenek.
a) Hány darab sörét készíthető?
b) A golyóból készített összes sörét együttes felszíne hányszorosa a golyó felszínének?
Ez volt a 7. lecke 2. kidolgozott feladata.
A megoldást most hasonló testek felszínére és térfogatára vonatkozó gondolatmenet segítségével végezd el!
a) Hány darab sörét készíthető?
b) A golyóból készített összes sörét együttes felszíne hányszorosa a golyó felszínének?
Ez volt a 7. lecke 2. kidolgozott feladata.
A megoldást most hasonló testek felszínére és térfogatára vonatkozó gondolatmenet segítségével végezd el!
2. A Marcipán cukrászatban készülő, téglatest alakú csokis minyon méretei: 4 cm, 3 cm, 2,5 cm.
Születésnapi meglepésként elkészítik ennek a 3-szoros nagyítását.
a) Mekkorák ennek az „óriás minyonnak” az élei?
b) Mekkora a nagyított változat felszíne, és ez hányszorosa egy kis minyon felszínének?
c) Mekkora a nagy minyon térfogata, és ez hányszorosa az eredeti kis minyon térfogatának?
Születésnapi meglepésként elkészítik ennek a 3-szoros nagyítását.
a) Mekkorák ennek az „óriás minyonnak” az élei?
b) Mekkora a nagyított változat felszíne, és ez hányszorosa egy kis minyon felszínének?
c) Mekkora a nagy minyon térfogata, és ez hányszorosa az eredeti kis minyon térfogatának?
3. Egy forgáshenger térfogata nagyítás során 4-szeresére növekedett.
A nagyított test alapkörének sugara 7 cm, a testmagasság 3 cm.
a) Hányszorosára növekedett ugyanakkor a henger felszíne?
b) Add meg az eredeti henger adatait cm-ben, egy tizedesjegy pontossággal!
A nagyított test alapkörének sugara 7 cm, a testmagasság 3 cm.
a) Hányszorosára növekedett ugyanakkor a henger felszíne?
b) Add meg az eredeti henger adatait cm-ben, egy tizedesjegy pontossággal!
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
