3. Témazáró feladatgyűjtemény (Statisztika, valszám)

1. Táblázatba foglaltuk, hogy egy kézilabdamérkőzésen a pályára lépő 20 játékos hány gólt dobott.
Mennyi a 20 adat mediánja, módusza, átlaga és szórása?

Gólok száma	0	1	2	4	5	6	7
Gyakoriság	6	5	2	3	2	1	1

2. Egy kis vállalkozásban 10 ember dolgozik.
Közülük 5 embernek 580 000 Ft, 3 embernek 720 000 Ft és a két vezetőnek 1 080 000 Ft a havi fizetése.
Mennyi a cégnél a fizetések mediánja, módusza, átlaga és szórása?
Melyik középérték jellemzi a legjobban a fizetéseket?

3. Mennyi a következő sorozatok első öt tagjának átlaga és szórása?
a) {an} számtani sorozat, a1 = -1 és d = 0,5

b) {bn} mértani sorozat, b1 = -5 és q = -1

4. (Érettségi feladat, 2021)
Egy kosárlabdacsapat az előző öt mérkozésen 77, 60, 83, 73, illetve 90 pontot szerzett.
Hány pontot kell szereznie a következő mérkőzésen ahhoz, hogy a hat mérkőzésen szerzett pontjainak átlaga 75 legyen?

5. Mennyi a 10 legkisebb természetes szám mediánja, átlaga és szórása?

6. Egy számtani sorozat három egymás utáni tagjából álló adatsokaság szórásnégyzete 24.
Mennyi lehet a sorozat differenciája?
Határozd meg az első öt tagból álló adatsokaság szórását!

7. Bencének nyolc jegye van matematikából.
Ezekről tudjuk, hogy az átlaguk 3,75, a módusz 4, a medián 4, és a terjedelem 2.
a) Határozd meg, milyen osztályzatai lehetnek Bencének!
Keress több megoldást is!

b) Számítsd ki Bence jegyeinek szórását legalább két megtalált megoldás esetére!

8. Az olimpián a fejlődő országokat azzal támogatják, hogy ún. szabad kártyával indíthatnak versenyzőt néhány számban akkor is, ha a versenyzőjük nem éri el az olimpiai szintidőt.
Így fordulhatott elo, hogy Egyenlítői-Guinea versenyzője, Eric Moussambani is indult 2000-ben a 100 méteres gyorsúszásban.
(Az olimpia elott soha nem látott 50 méter hosszú medencét, csak egy szálloda 12 méteres medencéjében edzett.)
Több mint kétszer annyi idő alatt ért célba, mint a nyertes idő, a közőnség óriási biztatása közepette.
A 100 méteres férfigyorsúszásban a 2000-es olimpián 71 időeredmény született.
A nyertes idő másodpercben mérve 48,64; a 18-dik idő 49,93; a 36-dik idő 51,52; az 54-dik idő 52,58.
A hat leggyengébb időeredmény: 54,33; 58,79; 59,26; 60,39; 62,45 és 112,72.
Készíts dobozdiagramot az adatokról!

9. Egy adatsokaságról tudjuk, hogy terjedelme 12,félterjedelme 8, mediánja 25, alsó kvartilise 22 és maximuma 33.
a) Készíts dobozdiagramot az adatokról!

b) Adj meg 7 olyan egész számot, amely megfelel a feladatban felsőrolt leírásnak!

10. Egy mérést 50-szer elvégeztek, majd a mérés eredményeit osztályokba sorolták.

Eredmény	20–22	22–24	24–26	26–28
Gyakoriság	2	4	4	8

Eredmény	28–30	30–32	32–34	34–36
Gyakoriság	15	12	3	2

a) Készíts a táblázat alapján dobozdiagramot!

b) Határozd meg az adatok szórását!

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Feldobunk egy piros és egy fekete dobókockát.
Tekintsük a következő eseményeket!
A: A piros kockával ötöst dobunk.
B: A fekete kockával legfeljebb kettest dobunk.
C: A két dobás közül az egyik dobás értéke prímszám, a másik dobás értéke összetett szám.
Sorold fel, melyik elemi események tartoznak a következő eseményekhez!
a) A + B

b) B * C

c) `bar(A) * C`

12. Egy A esemény 18 elemi esemény esetén, egy B esemény 25 elemi esemény esetén következik be.
Legfeljebb, illetve legalább hány elemi esemény esetén következik be az A + B és az A * B esemény?

13. Feldobunk egy piros és egy fekete dobókockát.
Tekintsük a következő eseményeket!
A: A piros kockával ötöst dobunk.
B: A fekete kockával legfeljebb kettest dobunk.
C: A két dobás közül az egyik dobás értéke prímszám, a másik dobás értéke összetett szám.
a) Határozd meg az A, B és C események valószínűségét!

b) Számolással igazold, hogy az A és a B események függetlenek egymástól, a B és a C események azonban nem függetlenek egymástól!

14. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk, és feljegyezzük, hogy a dobás eredménye fej (F) vagy írás (I).
Tekintsük a következő eseményeket!
A: A harmadik dobás írás.
B: Pontosan kétszer dobunk fejet.
C: A második dobástól kezdve minden dobás különbözik az előtte levőtől.
a) Független-e az A és a B esemény?

b) Független-e a B és a C esemény?

c) Független-e az A és a C esemény?

15. Feldobunk négy szabályos érmét.
Számolással igazold, hogy A és B események függetlenek, B és C események nem függetlenek egymástól!
A: A második dobás fej.

B: A harmadik és a negyedik dobás különböző.

C: A dobások közőtt több a fej, mint az írás.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

16. Találomra kiválasztunk egy négyjegyű számot.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek
a) egyik jegye sem 5;

b) legalább egy jegye 5;

c) pontosan egy jegye 5?

17. Találomra kiválasztunk egy kétjegyű számot.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek mindkét számjegye kisebb 4-nél?

18. Papírlapokra írjuk egyenként az összes olyan 3 jegyű számot, amelyben a 0, 2, 4, 5 számjegyek szerepelhetnek, de mindegyik legfeljebb egyszer.
a) Hány papírlapra van szükségünk?

Kiveszünk találomra egyet a lapok közül.
Mennyi a valószínűsége, hogy a lapra írt szám
b) első jegye 5;

c) 5-tel osztható;

d) 4-gyel osztható;

e) 3-mal osztható?

19. Oldd meg a 18. feladatot azzal a változtatással, hogy az összes olyan háromjegyű számot írjuk fel a lapokra, amelynek minden számjegye eleme a {0; 2; 4; 5} halmaznak!

20. Egy futárszolgálat azt nyilatkozza, hogy másnap 10:00 óra és 15:00 óra közőtt szállítja ki a megrendelt csomagot.
Tekintsük véletlenszerűnek a futár érkezését az adott idősávban.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) a csomag még délelott megérkezik?

b) a csomag 10:15 és 11:30 közőtt érkezik?

21. Egy méterrúdon egy hangya mászkál.
Tekintsük véletlenszerűnek, hogy egy adott pillanatban a méterrúd mely pontján tartózkodik.
Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott pillanatban közelebb van a 20 cm-t jelző vonalhoz, mint a 60 cm-t jelző vonalhoz?

22. Egy derékszögu háromszög befogói 5 cm és 12 cm hosszúak.
A háromszög belsejében véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot.
Mennyi a valószínűsége, hogy a pont a háromszög mindhárom csúcsától távolabb van, mint 2 cm?

23. Az ötéves Julika homokvárat készít.
A vár úgy készül, hogy megtölti a homokőzővödröt, majd megfordítja, és óvatosan leemeli a vödröt a homokról.
Így a vödör alakjának megfelelő csonkakúp alakú vár keletkezik.
Az alaplap átméroje 12 cm, a fedolapja átméroje 10 cm hosszú, a csonkakúp magassága 16 cm.
Sajnos a homokvödörbe – és így a homokvárba – belekerűlt Julika apró fülbevalója.
Tekintsük úgy, hogy a fülbevaló véletlenszerűen található valahol a homokvárban.
Mennyi a valószínűsége, hogy a homokvárnak abban a részében van, amely a talajtól távolabb van, mint 10 cm?

24. Feldobunk egyszerre egy piros és egy fehér, szabályos dobókockát.
a) Hányféleképpen kaphatunk a két kockán különböző számot?

b) Mekkora a valószínűsége, hogy a fehér kockán nagyobb szám lesz, mint a piroson?

25. Egy dobókockát egymás után háromszor feldobunk.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy
a) mindegyik esetben ugyanazt a számot dobjuk;

b) három különböző számot dobunk;

c) a három szám közőtt pontosan ketto ugyanaz;

d) a dobott pontok számának összege 16?

26. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával hatszor dobva a dobások közőtt mind a hat lehetséges szám elofordul?

27. Két szabályos dobókockával dobunk.
Legyen az A esemény az, hogy a dobott számok közőtt van prímszám, a B esemény az, hogy a dobott számok összege négyzetszám.
Határozd meg a következő valószínűségeket!
P(A) P(B) P(A + B) P(A * B) P(A * B)

28. Egy elorejelzés szerint a következő napon 0,4 valószínűséggel 45 mm, 0,3 valószínűséggel 30 mm, 0,2 valószínűséggel 10 mm és 0,1 valószínűséggel 0 mm csapadék fog esni.
Hány mm a csapadék várható értéke a következő napon?

29. Egy áruházi akció keretében az egyik napon minden vásárló kap egy kupont.
Az akcióhoz a cég 1000 kupont készített, melyek közül 800 db kupon 200 Ft, 120 db kupon 600 Ft, 75 db kupon 1500 Ft, a többi pedig 5000 Ft értékű.
A kupon értéke csak egy kaparós réteg eltávolítása után derűl ki, és véletlenszerűnek tekinthető, hogy ki milyen kupont kap.
Mennyi egy kupon várható értéke?

30. Egy szakértői modell szerint egy 4520 Ft-os részvény árfolyama a következő hónapban 0,2 valószínűséggel 4560 Ft, 0,3 valószínűséggel 4910 Ft, 0,4 valószínűséggel 4320 Ft és 0,1 valószínűséggel 3760 Ft lesz.
Mennyi a részvény árfolyamának várható értéke a következő hónapra?

31. Egy dobozban 2 piros és 5 fehér golyó van.
Véletlenszerűen kihúzunk három golyót.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a három kiválasztott golyó közőtt
a) nincs fehér;

b) nincs piros;

c) egy piros van;

d) egy fehér van?

32. Egy osztályba 36 tanuló jár, közülük 20 lány és 16 fiú.
Egy farsangi osztályfonöki órán minden tanuló nevét beletették egy kalapba, és véletlenszerűen kisorsoltak öt tanulót egy játékos feladatra.
Mennyi a valószínűsége, hogy az öt kisorsolt diák közül
a) pontosan három lány;

b) legfeljebb egy fiú;

c) több a lány, mint a fiú?

33. Egy szabályos dobókockával 10-szer dobunk.
Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb két dobás eredménye hatos?

34. Egy szerencsekerék 13 valószínűséggel áll meg a NYERT feliratnál, 23 valószínűséggel a NEM NYERT feliratnál.
Megpörgetjük 6-szor a szerencsekereket.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) pontosan 2 forgatásnál nyerűnk;

b) pontosan 3 alkalommal nem nyerűnk?

35. Hányszor kell dobni a szabályos dobókockával, hogy annak a valószínűsége, hogy a dobások közőtt nincs hatos, kisebb legyen, mint 0,000 01?
(Érettségi feladat, 2016)
Szabó tanár úrnak ebben az évben összesen 11 darab középszintű matematika érettségi dolgozatot kell kijavítania.
Az először kijavított kilenc dolgozat pontszámai:
35, 40, 51, 55, 62, 67, 72, 84, 92.
a) Számítsd ki a kilenc dolgozat pontszámának átlagát és szórását!
Szabó tanár úr a javítás után a kilenc dolgozat közül három tanuló dolgozatát véletlenszerűen kiválasztja.

b) Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a három kiválasztott dolgozat közül legalább kettőnek a pontszáma legalább 60 pont!
Az utolsó két dolgozat kijavítása után Szabó tanár úr megállapítja, hogy a 11 dolgozat pontszámának mediánja 64, átlaga 65 pont lett.

c) Határozd meg az utoljára kijavított két dolgozat pontszámát!