KIDOLGOZOTT FELADAT
Egy 8 cm átmérőjű narancsot kettévágtunk.Nem lett egyforma a két rész, mert a gömb alakú narancsot a középpontjától 2 cm-re vágtuk el.
A vágás mentén keletkező metszési felületek kör alakúak.
Mekkora lett a metszetkör sugara?
Megjegyzés: Természetesen senki sem gondolhatja, hogy léteznek tökéletesen gömb alakú narancsok, de a felvetett problémában a narancsot gömbbel modellezzük, a gömböt választottuk matematikai modellként.
Megoldás
Egy pont és egy sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza.A narancsot modellező gömb O középpontjának a metszési felületre eső merőleges vetülete legyen Q, a gömbfelület és a metsző sík egy közös pontja pedig P.
A rajzon lévő OQP derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel alapján:
r2 = 42 - 22 =16 - 4 =12, így r = 12 . Tehát r . 3,5 cm.
ELMÉLET
A tér egy adott pontjától adott távolságra lévo pontok halmaza a gömbfelület.A gömbfelület által határolt test a gömb.
Az adott távolság a gömb sugara.
Bármely metsző sík a gömböt egy körben, a gömbfelületet egy körvonalban metszi. Ha a sík illeszkedik a gömb középpontjára, akkor a keletkező kört a gömb fokörének nevezzük.
A gömböt bármely síkmetszete két gömbsüvegre bontja.
Ekkor a gömb sugara, a kimetszett kör sugara és a metsző síknak a gömb középpontjától való távolsága egy derékszögű háromszöget határoz meg.
FELADAT
1. Egy gömb alakú dinnyét egymással párhuzamos síkú vágásokkal 5 azonos magasságú részre vágtunk szét, így az egyes részek magassága 4 cm lett.
Mekkora sugarú körök határolják az egyes részeket?
//9,8 cm és 8 cm.
//R15
✓ ✗
Mekkora sugarú körök határolják az egyes részeket?
//9,8 cm és 8 cm.
//R15
✓ ✗
2. Egy gömböt a középpontjától 3 cm távolságra lévő síkkal elmetszve egy 4 cm sugarú metszetkört kapunk.
a) Mekkora a gömb sugara?
b) Mekkora sugarú köröket metsz ki az első metsző síkkal párhuzamos, attól 1 cm-re lévő két sík a gömbből?
//a) 5 cm. b) 4,58 cm és 3 cm.
a) Mekkora a gömb sugara?
b) Mekkora sugarú köröket metsz ki az első metsző síkkal párhuzamos, attól 1 cm-re lévő két sík a gömbből?
//a) 5 cm. b) 4,58 cm és 3 cm.
3. Egy gömb középpontja egy 8 cm élhosszúságú kocka testátlóinak metszéspontjában van.
A gömb érinti a kocka éleit.
Mekkora összesen azoknak a síkidomoknak a területe, amelyek a kocka lapján, de ugyanakkor a gömbön kívül helyezkednek el?
//3. 82,4 cm2.
Mekkora összesen azoknak a síkidomoknak a területe, amelyek a kocka lapján, de ugyanakkor a gömbön kívül helyezkednek el?
//3. 82,4 cm2.
4. A Ráktérítő a Földön körülbelül az északi szélesség 23°26l mentén halad körbe.
(Ez azt jelenti, hogy a Föld középpontját a Ráktérítő bármely pontjával ekötő szakasz az Egyenlítő síkjával 23°26l nagyságú szöget zár be.)
A Ráktérítő a Földön annak a sávnak az északi határvonala, ahol az év bizonyos napjain bekövetkezhet az, hogy a Nap éppen a fejünk fölött delel (ettől északra ez sosem történik meg).
A Ráktérítőn ez éppen a nyári napforduló napján következik be.
Mekkora sugarú kört alkot a Ráktérítő?
Milyen hosszú a Ráktérítő?
A Földet tekintsd 6371 km sugarú gömbnek!
//5846 km, 36 729 km.
(Ez azt jelenti, hogy a Föld középpontját a Ráktérítő bármely pontjával ekötő szakasz az Egyenlítő síkjával 23°26l nagyságú szöget zár be.)
A Ráktérítő a Földön annak a sávnak az északi határvonala, ahol az év bizonyos napjain bekövetkezhet az, hogy a Nap éppen a fejünk fölött delel (ettől északra ez sosem történik meg).
A Ráktérítőn ez éppen a nyári napforduló napján következik be.
Mekkora sugarú kört alkot a Ráktérítő?
Milyen hosszú a Ráktérítő?
A Földet tekintsd 6371 km sugarú gömbnek!
//5846 km, 36 729 km.
HÁZI FELADAT
1. Egy 12,8 cm sugarú gömb egyik síkmetszetének az átmérője
a) 10,2 cm;
b) 21,7 cm;
c) 25,6 cm.
Mekkora távolságra van a metsző sík a gömb középpontjától?
a) 10,2 cm;
b) 21,7 cm;
c) 25,6 cm.
Mekkora távolságra van a metsző sík a gömb középpontjától?
2. Mekkora területű a 3,2 dm sugarú gömbnek az a síkmetszete, amely az egyik sugár felezőmerőleges síkjában van?
3. Egy 6,2 cm sugarú gömb egyik átmérőjére olyan számegyenest fektetünk, amelynek az egységei 1 cm-esek, és a 0 pontja a gömb középpontjában van.
Erre a számegyenesre az egész számokat jelző pontjain át merőleges síkokat állítunk.
a) Hány olyan sík keletkezik, amely metszi a gömböt?
b) Melyik síkmetszetnek mekkora a sugara?
Készíts táblázatot!
c) Melyik síkmetszetnek mekkora a területe?
Készíts táblázatot!
d) Ábrázold azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya az egész számok halmaza, és amely az értelmezési tartomány elemeihez a megfelelő körök területét rendeli hozzá!
Sorold fel ennek a függvénynek néhány tulajdonságát!
a) Hány olyan sík keletkezik, amely metszi a gömböt?
b) Melyik síkmetszetnek mekkora a sugara?
Készíts táblázatot!
c) Melyik síkmetszetnek mekkora a területe?
Készíts táblázatot!
d) Ábrázold azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya az egész számok halmaza, és amely az értelmezési tartomány elemeihez a megfelelő körök területét rendeli hozzá!
Sorold fel ennek a függvénynek néhány tulajdonságát!
4. Két gömb közül az egyik főkörének a kerülete 10 cm-rel nagyobb a másik főkörének kerületénél.
Mekkora a két gömb sugarának különbsége?
Mekkora a két gömb sugarának különbsége?
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
