41. A várható érték

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Az ábra szerinti szerencsekereket egy vurstliban muködteti egy vállalkozó.

a) Mennyi a nyeremény várható értéke, ha egyszer pörgetjük meg a szerencsekereket?
b) Mennyi a szerencsekereket muködtető vállalkozó várható nyeresége egy pörgetésen, ha egy pörgetés a vurstliban 500 Ft-ba kerül?

Megoldás

a) Táblázatba foglaltuk a nyereményeket és a hozzájuk tartozó valószínűségeket.

Nyeremény (Ft)	0	100	200	900	1200
Valószínűség	2/6	1/6	1/6	1/6	1/6

E = 2/6*0 1/6*100 + 1/6*200 + 1/6*900 + 1/6*1200 = 400
A várható értéket megkapjuk, ha a lehetséges nyereményeket megszorozzuk a hozzájuk tartozó valószínűségekkel, és ezeket összeadjuk.
A várható nyeremény tehát 400 Ft.
b) A vállalkozó várható nyeresége egy pörgetésen 500 - 400 = 100 Ft.

ELMÉLET

Várható érték (ismétlés)

A várható érték csak olyan esetben értelmezhető, amikor minden elemi esemény kimenetele valós számmal jellemezhető.
Ilyen esetben, ha nagyszámú kísérletet végzünk, akkor a kísérletek kimenetelének átlaga egy jól meghatározható érték közelében lesz.
Ez az érték a lehetséges kimenetelek valószínűségébol számolható, és várható értéknek nevezzük.
Várható érték = a lehetséges kimeneteleknek a valószínűségekkel súlyozott átlaga.
Jele: E .
Megjegyzés:
– A várható érték nem azonos a legvalószínűbb eredménnyel.
– Összetartozó fogalompárok:

statisztika		valószínűségszámítás
relatív gyakoriság	↔	valószínűség
átlag, súlyozott átlag	↔	várható érték

FELADAT

1. Mennyi a nyeremény várható értéke, ha egyszer megpörgetjük az ábra szerinti szerencsekereket?

Nyeremény (Ft)	300	400	900	2000	3000
Valószínűség

✓ ✗

---

2.Egy gazdasági elemző két részvény esetében modellezte, hogy ugyanolyan gazdasági és környezeti változások esetén milyen hozamokra számít a következő évben.
Táblázatba foglaltuk a modell eredményeit.

	A részvény hozama	B részvény hozama
1. eset, valószínűsége 0,5	22%	-2%
2. eset, valószínűsége 0,4	-12%	16%
3. eset, valószínűsége 0,1	8%	10%

a) Határozd meg, hogy mekkora a várható hozam az A, illetve a B részvény esetében!
✓ ✗
b) Egy befektető úgy dönt, hogy pénze felét az A, felét a B részvénybe fekteti.
Mekkora így a várható hozam?
(A hozam azt jelenti, hogy a következő évben hány %-kal nő, illetve csökken a részvény árfolyama.)

---

3. Mennyi a dobott fejek számának várható értéke, ha
a) egy pénzérmét dobunk fel;
✓ ✗
b) két pénzérmét dobunk fel;
✓ ✗
c) három pénzérmét dobunk fel?
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Egy elemzői modell szerint egy részvény árfolyama a következő évben 0,3 valószínűséggel 5640 Ft, 0,6 valószínűséggel 5710 Ft és 0,1 valószínűséggel 5120 Ft lesz.
a) Határozd meg a részvény jövő évi árfolyamának várható értékét!

b) Mekkora a várható hozam (azaz a jövő évi árfolyam hány %-kal több, mint a jelenlegi), ha a részvény jelenlegi árfolyama 5330 Ft?
Két tizedesjegy pontossággal számolj!

---

2. Mennyi egy véletlenszerű találat várható értéke az előző lecke 4. házi feladatában említett céltábla esetén?

Találat	10	20	40	50
Valószínűség

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /