KIDOLGOZOTT FELADAT
Néhány tejterméket (például tejet, tejszínt, madártejet) időnként lehet kapni „háromszögletű” csomagolásban.
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy egy ilyen doboz egyik lapja szabályos háromszög, a másik három pedig egy-egy 10 cm befogójú, egyenlő szárú derékszögű háromszög.
a) Mennyi karton szükséges egy ilyen doboz elkészítéséhez?
Számítsuk hozzá az összeállítás elvégzése miatt még a felszín 5%-át!
b) Mennyi tejszín fér ebbe a dobozba?
Megoldás
A derékszögű háromszögek területe egyenként: t 2= 10 $ 10 = 50 (cm2).
A háromszögek átfogója 10 2 . 14,1 (cm), így az alapot alkotó szabályos háromszög területe: T , 4 10 2 3 86 6 2 alaplap = $ . ^ h (cm2).
Így a négy lap együttes területe körülbelül 236,6 cm2.
A felhasználandó karton mennyisége ennek a 105%-a, vagyis közelítőleg 236,6 1,05 . 248 cm2.
b) A térfogat kiszámításához tekintsük a gúla alaplapjának valamelyik derékszögű háromszög alakú lapját!
Az alaplapra merőleges 10 cm hosszúságú él ekkor a gúla magassága.
A gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze, vagyis V , 3 = 50 $ 10 . 166 7 (cm3).
A dobozba tehát körülbelül 1,7 dl tejszín fér.
ELMÉLET
A gúla felszíne a gúlát határoló lapok területének összege.A gúla térfogatát az alaplap és a testmagasság szorzatának harmadrésze adja meg.
Megjegyzés:
1. Egy gúla térfogata a gúlával azonos alapterületű és magasságú hasáb térfogatának a harmadrésze.2. A tetraéder térfogatának meghatározásakor bármelyik lap tekinthető alaplapnak, de az fontos, hogy a kiválasztott laphoz tartozó magassággal végezzük a számítást.
Vgúla = Talaplap*M/3
FELADAT
1. Három gúla 15 cm magas, alaplapjukat az ábrák mutatják.
A rombusz alapú gúla alaplapjának átlói 18 cm, illetve 15 cm hosszúak, a gúla csúcsából indított magassága a rombusz középpontjában végződik.
A másik két gúla szabályos gúla.
A három gúla közül melyiknek a legnagyobb, és melyiknek a legkisebb
a) a térfogata,
b) a felszíne?
A rombusz alapú gúla alaplapjának átlói 18 cm, illetve 15 cm hosszúak, a gúla csúcsából indított magassága a rombusz középpontjában végződik.
A másik két gúla szabályos gúla.
A három gúla közül melyiknek a legnagyobb, és melyiknek a legkisebb
a) a térfogata,
b) a felszíne?
2. Az ábra egy tejszínes doboz tervét mutatja.
A doboz alakja egy olyan tetraéder, amelynek mind a négy csúcsa egy 10 cm élű kocka egy-egy csúcsával esik egybe.
a) Igaz-e, hogy a tetraéder mindegyik lapja derékszögű háromszög?
Válaszod indokold!
b) Mekkorák a tetraédert határoló háromszögek oldalai és szögei?
c) Rajzold meg a tetraéder hálóját!
d) Számítsd ki a tetraéder felszínét!
e) Számítsd ki a tetraéder térfogatát!
f) Mekkora a tetraédernek az a magassága, amelyik a BCD lapjához tartozik?
A doboz alakja egy olyan tetraéder, amelynek mind a négy csúcsa egy 10 cm élű kocka egy-egy csúcsával esik egybe.
Válaszod indokold!
b) Mekkorák a tetraédert határoló háromszögek oldalai és szögei?
c) Rajzold meg a tetraéder hálóját!
d) Számítsd ki a tetraéder felszínét!
e) Számítsd ki a tetraéder térfogatát!
f) Mekkora a tetraédernek az a magassága, amelyik a BCD lapjához tartozik?
3. A háztető „alapja” téglalap, amelynek szomszédos oldalai 10 méter és 7 méter hosszúak.
Az EP és GQ függőleges tartógerendák 3,2 méteresek, az EG tetőgerinc 6 méter hosszú, és a téglalap középvonala felett húzódik.
a) Mekkora szöget zárnak be a vízszintes síkkal a tető különböző síkjai?
b) Mekkora szöget zár be egymással a két trapéz alakú rész síkja?
c) Mekkora a tetőtér térfogata?
Az EP és GQ függőleges tartógerendák 3,2 méteresek, az EG tetőgerinc 6 méter hosszú, és a téglalap középvonala felett húzódik.
a) Mekkora szöget zárnak be a vízszintes síkkal a tető különböző síkjai?
b) Mekkora szöget zár be egymással a két trapéz alakú rész síkja?
c) Mekkora a tetőtér térfogata?
HÁZI FELADAT
1. Az ábrán egy négyzet alapú gúla hálózata látható.
a) Igaz-e, hogy ez a gúla tetraéder, négyoldalú gúla, szabályos gúla?
b) Hány éle és hány csúcsa van ennek a testnek?
c) Számítsd ki a gúla felszínét és térfogatát!
d) Gondolatban ragassz össze az alaplapjánál két ilyen gúlát úgy, hogy a két alaplap csúcsai illeszkedjenek egymásra!
Hány lapja, hány éle és hány csúcsa van az így kapott testnek?
(Melyik szabályos testet kaptuk meg?)
Számítsd ki ennek a testnek a felszínét és a térfogatát!
b) Hány éle és hány csúcsa van ennek a testnek?
c) Számítsd ki a gúla felszínét és térfogatát!
d) Gondolatban ragassz össze az alaplapjánál két ilyen gúlát úgy, hogy a két alaplap csúcsai illeszkedjenek egymásra!
Hány lapja, hány éle és hány csúcsa van az így kapott testnek?
(Melyik szabályos testet kaptuk meg?)
Számítsd ki ennek a testnek a felszínét és a térfogatát!
2. Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 12 cm, oldaléle 13 cm hosszú.
a) Számítsd ki a gúla magasságát és térfogatát!
b) Számítsd ki a gúla oldalélének és alaplapjának a szögét!
c) Számítsd ki a gúla oldallapjának és alaplapjának a szögét!
d) Számítsd ki a gúla felszínét!
a) Számítsd ki a gúla magasságát és térfogatát!
b) Számítsd ki a gúla oldalélének és alaplapjának a szögét!
c) Számítsd ki a gúla oldallapjának és alaplapjának a szögét!
d) Számítsd ki a gúla felszínét!
3. Mekkora szöget zár be az ábrán látható 20 cm élű kockába rajzolt háromszög síkja és a kocka alaplapjának síkja?
Mekkora térfogatú részekre bontja a sík a kockát?
Mekkora térfogatú részekre bontja a sík a kockát?
4. Egy szabályos négyoldalú gúla magassága 8 cm hosszú, az oldallapok pedig 57°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával.
a) Mekkora a gúla alapéle?
b) Mekkora a gúla felszíne és térfogata?
c) Mekkora szöget zárnak be az oldalélek egyenesei az alaplap síkjával?
d) Mekkora szöget zárhat be két oldalél egyenese?
a) Mekkora a gúla alapéle?
b) Mekkora a gúla felszíne és térfogata?
c) Mekkora szöget zárnak be az oldalélek egyenesei az alaplap síkjával?
d) Mekkora szöget zárhat be két oldalél egyenese?
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
