1. Témazáró feladatgyűjtemény (térgeometria)

Hasábok

1. Építőkockák méreteit látod az ábrán.
Számold ki a felszínüket és a térfogatukat!

7. Mennyi az ábra szerinti egyenes hasábok felszíne és térfogata?

11. Egy téglatest alaplapjának két éle 12 cm és 16 cm, a téglatest testátlója 60°-os szöget zár be az alaplap síkjával.
a) Mekkora a téglatest testátlójának hossza?
b) Mekkora a téglatest ismeretlen hosszúságú éle?
c) Mekkora szöget zár be egymással két testátló?

12. Az ábrán látható kocka élei 10 cm hosszúak.
a) Számítsd ki az EBD, APH és QPR háromszögek oldalainak hosszát és szögeinek nagyságát!
(P, Q, R pontok a kocka ábra szerinti éleinek felezőpontjai.)

b) Mekkora szöget zárnak be az EBD és PQR háromszögek síkjai a kocka ABCD alaplapjával?

13. Egy téglatest élhosszúságainak aránya 1 : 2 : 3.
A téglatest cm2-ben mért felszínének mérőszáma megegyezik a cm3-ben mért térfogat mérőszámával.
Határozd meg a téglatest éleinek hosszúságát!

14. Egy négyzet alapú egyenes hasáb testátlója 25 cm, alapéle feleakkora, mint az oldaléle.
a) Mekkora szöget zár be a testátló a hasáb éleivel?
b) Mekkora szöget zár be a testátló a testet határoló lapok síkjaival?
c) Mekkora távolságra vannak a testátlótól a hasáb csúcsai?

15. A 8 cm élű kocka csúcsai közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott csúcsok közötti távolság 8 2 cm?

16. Kocka alakú, 10 mm élhosszúságú kis kockacukrokból 135 db kerül egy téglatest alakú dobozba.
a) Milyen méretű dobozokba csomagolhatják a kockacukrot, ha a doboznak nincs 3 cm-nél kisebb éle?
b) Melyik doboz elkészítése igényel kevesebb csomagolóanyagot?

17. Egy szabályos nyolcszög alapú egyenes hasáb alapéle 6 cm, oldaléle 0,7 dm.
Milyen hosszúságú a legrövidebb testátlója?
Mekkora szöget zár be a leghosszabb testátló az alaplap síkjával?

19. Egy 12 cm magasságú egyenes hasáb alapja egy egyenlő szárú háromszög.
A hasáb valamelyik két oldallapjának hajlásszöge 70°, térfogata 360 cm3.
Mekkorák a hasáb alapélei?

21. Egy 20 cm magas egyenes hasáb alaplapja olyan szabályos nyolcszög, amely köré 8 cm sugarú kör írható.
Számítsd ki a hasáb felszínét és térfogatát!

Henger

25. Egyenes körhenger alapkörének sugara 5 cm, kiterített palástja pedig olyan téglalap, amelyben az oldalhosszak aránya 2 : 3.
Mekkora a henger felszíne és a térfogata?

26. Egy henger alakú sajtkorong 1,2 kg, a korong átmérője 18 cm, magassága 6 cm.
Ebből egy 15 dkg-os cikket vágnak le.
Mekkora a sajtdarabon lévő piros műanyag fólia területe?

27. Egy henger alakú fadarabot, aminek magassága 30 cm, alapkörének átmérője 21 cm, az alaplapokra merőleges, két egymással párhuzamos síkú vágással három darabra hasítunk.
A síkok az alapkör átmérőjét három egyenlő részre osztják.
Mekkora a keletkezett fadaraboknak a térfogata és a felszíne?

28. Egy pók egy forgáshenger alakú helyiség mennyezetének pereméről a padló átellenes pontjába kétféleképpen is eljuthat ugyanakkora úton:
– függőlegesen leereszkedik, majd a padló átmérője mentén folytatja útját, vagy
– végig a paláston halad úgy, hogy a palástot síkba kiterítve útja egy egyenes szakasz.
Számítsd ki a henger magasságának és átmérőjének arányát!

Gömb,henger, kúp

2. Ennek az építőjátéknak az elemei forgás szimmetrikusak.
Számold ki, mennyi az egyes elemek felszíne és térfogata!

37. Egy henger alakú fazék belső átmérője 20 cm, magassága 28 cm.
A fazékba hat liter vizet tettünk.
Hány darab túrógombócot tehetünk egyszerre a vízbe, ha azt szeretnénk, hogy utána a víz szintje a fazék felső peremétől számítva legalább 2 cm-re legyen?
Egy túrógombóc átmérője 4 cm.
(A vízbe helyezett túrógombócok teljesen elmerülnek a vízben.)

gömb

3. Egy bolygó sugara 2440 km.
a) Milyen hosszú ezen a bolygón az egyenlítő?
b) Mekkora a bolygó felszíne és térfogata?

4. Egy 2 cm × 3 cm × 5 cm-es, téglatest alakú gyurmából
a) egy nagy gömböt formázunk.
Mekkora a gömb sugara és felszíne?
b) öt egybevágó, kisebb gömböt formázunk.
Mekkora egy kis gömb térfogata és sugara?
Mekkora összesen az 5 gömb felszíne?

5. Egy 7,2 cm sugarú gömböt félbevágunk a középpontján átmenő egyik síkkal.
Mennyi a keletkező részek felszíne és térfogata?

6. Egy gömb alakú gyümölcsben középen gömb alakú mag van.
A mag átmérője 1,4 cm, a teljes gyümölcs átmérője 4,2 cm.
a) Hány cm2 a gyümölcs héja?
b) Hány cm3 a gyümölcs húsa, ha a héj vastagságától eltekintünk?

39. Milyen távol van a 15 cm sugarú gömb középpontjától az a síkmetszete, amelynek területe 2/3 része a főkör területének?

40. Egy 20 cm átmérőjű gömböt három, páronként egymásra merőleges, a gömb középpontján áthaladó síkkal elvágunk.
Mennyivel változott meg az így kapott testek együttes felszíne az eredeti gömb felszínéhez képest?

42. Egy recept alapján annyi tésztát gyúrtunk, ami 50 db 3 cm átmérőjű kókuszgolyó elkészítéséhez elegendő.
Mi ennél nagyobb, 4 cm átmérőjű golyókat formázunk, és a maradékból is készítünk egy gömböt.
a) Hány darab kókuszgolyónk lesz?
b) A kókuszreszelék mennyisége, amiben a golyókat megforgatjuk, egyenesen arányos a golyók felszínével.
A kisebb méretű (3 cm) golyókhoz szükséges kókuszreszelék hány százalékára lesz szükségünk a nagyobb golyók készítése során?

Gúla

8. Négyoldalú szabályos gúla alapéle 32 mm, magassága 40 mm.
a) Mekkora a térfogata?
b) A gúla tetejéről az alaplappal párhuzamos síkkal levágunk egy 8 mm magasságú kis gúlát.
Mekkora a levágott kis gúla és a keletkező csonkagúla térfogata?

20. Egy háromoldalú gúla alaplapjának ismerjük két oldalának hosszát és az általuk közbezárt szög nagyságát: a = 8 cm, b = 13 cm, c = 50°.
A gúla 10 cm-es magasságának talppontja az a oldal felezőpontjában van.
Határozd meg a gúla többi élének a hosszát!

22. Egy 9 dm3 térfogatú szabályos hatoldalú gúla oldaléle az alapsíkkal 72°-os szöget zár be.
Milyen hosszúságú az oldaléle?
(Gimnáziumi érettségi feladat – 1988)

24. Egy szabályos ötszög alapú gúla alapéle 5 cm.
Ha a gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal elmetsszük, a síkmetszet területe harmadrésze az alaplap területének.
A metszősík alaplaptól mért távolsága 4 cm.
Számítsd ki az eredeti gúla térfogatát és felszínét!

43. Egy szabályos hatszög alapú gúla alapéle 15 cm, magassága 20 cm.
Határozd meg a gúlába írható gömb sugarát!

Kúp

9. Egy forgáskúp alapkörének átmérője 6,8 cm.
Magassága 5,4 cm.
a) Mekkora a térfogata?
b) Mekkora a felszíne?
c) Ez a forgáskúp úgy keletkezett, hogy egy egyenlő szárú háromszöget megforgattunk a szimmetriatengelye körül.
Mekkorák voltak a háromszög oldalai?

10. Egy forgáskúp alapkörének átmérője 6,8 cm.
Magassága 5,4 cm.
A forgáskúp tetejéről, az alaplappal párhuzamos síkkal levágunk egy 0,9 cm magas kis forgáskúpot.
a) Mekkora a levágott kis kúp térfogata és felszíne?
b) Mekkora a keletkező cso nkakúp térfogata és felszíne?

29. Egy forgáskúp nyílásszöge 60°, magassága 10 cm.
Mekkora a kiterített palástjának a középponti szöge és a területe?

30. Egy forgáskúp alapkörének sugara 7 cm, alkotója 25 cm hosszú.
A kúpot kettévágjuk a csúcsán átmenő, az alaplapra merőleges síkkal.
Mekkora a keletkezett részek felszíne és térfogata?

31. Mekkora annak a kúpnak a nyílásszöge, amelynek palástja háromszor akkora területű, mint az alapkör területe?

34. Egy egyenes körkúp felszíne 314 cm2, a kúp alkotójánakés az alapkör sugarának összege 20 cm.
Számítsd ki a kúp térfogatát!

Összetett test

18. Egy lakóház bejáratánál a mellékelt ábrán látható lépcsőt akarják kiönteni betonból.
Hány m3 betont kell hozzá keverni?

23. Az egyik húsüzemben olyan hengeres alakú felvágottrudakat gyártanak, aminek a két vége félgömbben végződik.
Egy ilyen rúd teljes hossza 22 cm, keresztmetszete pedig 8 cm átmérőjű kör.
a) Mekkora egy ilyen rúd térfogata?
b) Mekkora a rajta lévő fólia területe?

36. Egy 10 cm oldalú szabályos háromszöget megforgatunk az egyik oldalegyenese körül.
Határozd meg az így keletkezett forgástest felszínét és térfogatát!

38. Az ábrán látható test úgy keletkezett, hogy egy forgáskúpból kivágtak egy kisebb forgáskúpot.
A két kúp tengelye egybeesik, nyílásszögük egyenlő, és a kisebb kúp térfogata 27-ed része a nagy kúp térfogatának.
A két kúp csúcsának távolsága 8 cm, a nagy kúp alkotója 20 cm.
Határozd meg a keletkezett test felszínét!

41. Egy 12 cm élhosszúságú kocka minden csúcsánál levágunk a kockából egy olyan háromoldalú gúlát, amelynek oldalélei a kockaélek 4 cm hosszú darabjai.
a) Hány lapja, csúcsa, éle van a visszamaradó testnek?
b) Mekkora a megmaradt test térfogata és felszíne?
(Szakközépiskolai érettségi feladat – 1988)

44. Karácsony előtt egy gyertyakészítő az egyenes körhenger formájú gyertyákat négyesével szeretné dobozolni.
Erre többféle lehetőség is kínálkozik:
– téglatest alakú dobozokba;

– henger formájú dobozba csomagolja a gyertyákat.
(A dobozokat gyertyákkal együtt felülnézetből ábrázoltuk.)

A gyertyák átmérője 6 cm, magassága 9 cm, és úgy kell a dobozokban elhelyezni őket, hogy ne lötyögjenek.
a) A dobozokat kartonpapírból készítik.
Melyiknek legkisebb az anyagszükséglete?
b) Számold ki, hogy az egyes esetekben a doboz térfogata hány százaléka a gyertyák együttes térfogatának!
c) Számold ki, hogy az egyes esetekben a doboz térfogatának hány százaléka üres!

Csonkakúp, csonkagúla

32. A bábszínházban jelmezeket készítenek egy mesejáték szereplőinek.
A királylány ruháját eredetileg egy 8000 cm2 területű anyagból szabták ki, de a szabásvarrás során 21,5%-os volt az anyagveszteség.
Az elkészített ruha csonkakúp-palást alakú, melynek nyakánál mért átmérője 10 cm, a legalján mért átmérője 30 cm.
Milyen magas a királylány, ha a ruhagallértól a feje búbjáig mért távolság 30 cm, a ruha aljától a talpáig mért távolság 44 cm?

33. Egy körgyűrű két körének átmérője 204 mm, illetve 30,6 cm.
A körgyűrű síkjában, a középpontjából induló két félegyenes 120°-os szöget alkot.
Készíts ábrát!
a) Mekkora a körgyűrű két részének (a két körgyűrűcikknek) a területe?
b) Mindkét körgyűrűcikkből egyenes csonkakúppalástot készítünk.
Mekkora a csonkakúpok alapkörének és fedőkörének a sugara?
c) Mekkora a b) feladatban szereplő két csonkakúp magassága és térfogata?

35. 1 literes, csonkakúp alakú tejfölöspohár alapkörének (belső) átmérője 9 cm, fedőkörének átmérője 11 cm hosszú.
A pohárban 8 dl tejföl van.
Milyen magasan áll a tejföl a pohárban?

45. Egy 50 cm3 térfogatú egyenes csonkakúp alapkörének a sugara 25 mm, fedőkörének sugara 13 mm.
Milyen magas a csonkakúp?