42. Mintavételek

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

BEVEZETŐ

Mennyi a valószínűsége az ötöslottóban a kéttalálatos szelvénynek?
A kéttalálatos szelvény azt jelenti, hogy azon a héten 2 számot eltaláltunk az ötből, és hármat nem.
Vagyis két szám a kihúzott 5 közül kerűl ki, és 3 szám a többi közül, azaz a maradék 85 közül.

Az összes eset számát az adja, hogy hányféleképpen választhatunk ki 90 elem közül 5-öt, ha nem számít a kiválasztás sorrendje.
Ez `((90),(5))`.
A kedvező esetek száma:
5 elem közül kiválasztunk 2-t, ez `((5),(2))` db lehetőség, és 85 elem közül kiválasztunk 3-at, ez `((85),(3))` lehetőség.
Mivel a 2 találatot bármely 3 nem nyero számhármassal párosíthatom, ezek szorzata adja meg a kedvező esetek számát: `((5),(2))*((85),(3))`.
A valószínűség: `(((5),(2))*((85),(3)))/((90),(5))= 10*98770/43949268` ≈ 0,0225.

ELMÉLET

Mintavételek (ismétlés)

A mintavétel során kiválasztunk néhány elemet egy halmaz elemei közül.
Általában azt vizsgáljuk, hogy a kiválasztott elemek közül hány rendelkezik egy adott tulajdonsággal.
A kiválasztás történhet visszatevés nélkül vagy visszatevéssel.

Visszatevés nélküli mintavétel (ismétlés)

Legyen N darab elem, melyek közül M darab rendelkezik és N - M darab nem rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal.

Visszatevés nélkül kiválasztunk összesen n darab elemet.
Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott elemek közül pontosan k darab rendelkezik az adott tulajdonsággal (n - k darab pedig nem rendelkezik):
`P(k)=(((M),(k))*((N-m),(n-k)))/((N),(n))`

Visszatevéses mintavétel – a binomiális eloszlás (ismétlés)

A visszatevéses mintavétel esetén a már vizsgált elemeket visszatesszük az eredeti halmazba, így minden egyes kiválasztás során ugyanazt a kísérletet ismételjük.
Ha n-szer ismétlünk egy kísérletet (pl. visszatevéses mintavételt), és minden kísérlet p valószínűséggel kedvező, akkor annak a valószínűsége, hogy az n db kísérlet közül pontosan k db lesz kedvező:
`P(pont osan kedvező)=((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)`

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy középiskolában két végzos (12-es) osztály van.
A 12. a osztályba 11 lány és 13 fiú, a 12. b osztályba 15 lány és 10 fiú tanuló jár.
a) Az érettségielnök a 12. a osztályból és a 12. b osztályból is véletlenszerűen kiválaszt egy-egy diákot, akinek a dolgozatait jogszerűség szempontjából ellenorzi.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy mindkét kiválasztott tanuló lány?
b) Egy újságíró interjút készít az érettségiről.
Véletlenszerűen kiválaszt két végzos diákot.
Mekkora a valószínűsége, hogy mindkét tanuló lány?

Megoldás

a) Az A osztály létszáma 24, a B osztályé pedig 25.
Az elnök összesen 24 * 25 = 600 különböző módon választhat a két osztályból egy-egy diákot.
Az A osztályból 11-féleképpen, a B-ből 15-féleképpen választhat lányt, vagyis a két lány választására 11 * 15 = 165 lehetőség van.
A valószínűség tehát 165/600 = 0 275.
b) Az újságíró a 49 tanuló közül választ ki kettőt, tehát a lehetőségek száma `((49),(2))` = 1176.
A két osztályban összesen 26 lány van, közülük bármelyik kettő egyenlő valószínűséggel választható, tehát a kedvező esetek száma `((26),(2))` = 325.
A valószínűség tehát 325/1176 ≈ 0 276.
Ez a feladat a visszatevés nélküli mintavételre mutat példát.

2. Az egyik gyógyszer esetében úgy tapasztalták, hogy mindössze 3% annak valószínűsége, hogy a gyógyszer szedése közben valamilyen mellékhatás lép fel.
Ha a gyógyszerrel kezelt betegek közül 100 alkalommal megvizsgálnak egy-egy véletlenszerűen kiválasztott beteget (akár ugyanazt többször), akkor mennyi a valószínűsége, hogy
a) egyik esetben sem;
b) éppen három esetben;
c) háromnál kevesebb esetben voltak mellékhatások?

Megoldás

A feladat szövege olyan helyzetet mutat be, amikor ugyanaz a kísérlet ismétlodik egymás után 100-szor.
Ilyen helyzetben a binomiális eloszlás írja le a keresett valószínűségeket.
a) 0,97 annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott betegnél nem tapasztalható mellékhatás.
Ha a kiválasztást 100 alkalommal ismételjük, akkor a kérdezett valószínűség 0,97^100 ≈ 0,048, azaz kb. 5%.
b) A binomiális eloszlásra adott képlet szerint a kérdezett valószínűség: `((100),(3))*0,03^3*0,97^97` ≈, vagyis kb. 23%.
c) Össze kell adni azokat a valószínűségeket, amikor pontosan 2 esetben, pontosan 1 esetben, illetve egyszer sem voltak mellékhatások: `((100),(2))*0,03^2*0,97^98+ ((100),(1))*0,03*0,97^99+0,97^100` ≈0,420 , azaz kb. 42%.

FELADAT

1. Az ötöslottóban Sándor kedvenc számai azok, amelyek négyzetszámok vagy köbszámok.
A lottóhúzáskor (viszszatevés nélkül) véletlenszerűen húznak öt számot az 1; 2; 3; …; 90 számok közül.
Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott öt szám közőtt
a) mind az öt szám Sándor kedvenc számai közül való;
✓ ✗
b) pontosan három való Sándor kedvenc számai közül;
✓ ✗
c) pontosan egy való Sándor kedvenc számai közül?
✓ ✗

---

2. Anna palacsintát süt.
Tegyük fel, hogy minden alkalommal, az előző palacsintáktól függetlenül, 0,1 valószínűséggel elszakad a palacsinta.
Mennyi a valószínűsége, hogy 8 palacsinta közül
a) pontosan 1 szakad el;
✓ ✗
b) pontosan kettő szakad el;
✓ ✗
c) legfeljebb kettő szakad el?
✓ ✗

---

3. Egy szerencsekerék 0,25 valószínűséggel a „Nyertél!”, a többi esetben a „Sajnos most nem nyertél” feliratnál áll meg.
10-szer megpörgetjük a szerencsekereket.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) pontosan kétszer nyerünk;
✓ ✗
b) pontosan háromszor nyerűnk;
✓ ✗
c) kétszer vagy háromszor nyerűnk?
✓ ✗

---

4. Egy 36 fős osztály tanulóit megkérdezték, hogy 3-féle pizza közül (Margherita, Carbonara, pepperónis) melyiket szeretik a legjobban. Kördiagramon ábrázoltuk a válaszokat.

Ha véletlenszerűen kiválasztunk 5 tanulót, akkor mennyi a valószínűsége, hogy
a) mind az öten a Margherita pizzát jelölték meg;
✓ ✗
b) pontosan ketten választottak Carbonara pizzát;
✓ ✗
c) közülük egy ember választotta a pepperónis pizzát?
✓ ✗

---

5. Párosítsd a kérdést a hozzá tartőző válasszal és a binomiális együtthatót annak értékével!
Az egyik feladatra hiányzik a válasz, add meg a megoldást!

9 dobásból 3 talált a kosárba. Hányféleképpen alakulhatott, hogy melyik dobások voltak sikeresek?		`((12),(3))`		715
9 dobás mellé ment, és 3 talált a kosárba. Hányféleképpen alakulhatott, hogy melyik dobások voltak sikeresek?		`((13),(4))`		84
12 dobás mellé ment, és 3 talált a kosárba. Hányféleképpen alakulhatott, hogy melyik dobások voltak sikeresek?		`((9),(4))`		220
9 dobásból 4 talált a kosárba. Hányféleképpen alakulhatott, hogy melyik dobások voltak sikeresek?		`((9),(3))`		126
9 dobás mellé ment, és 4 talált a kosárba. Hányféleképpen alakulhatott, hogy hányadik dobások voltak sikeresek?

✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. (Érettségi feladat, 2021)
Az {1; 2; 3; 4; 5} halmaz elemei közül véletlenszerűen kiválasztunk két különbözőt.
Mennyi a valószínűsége, hogy a két kiválasztott szám átlaga egész szám?

---

2. Egy társasjátékban a játék elején mindenki dob a kockával.
Ha valaki legalább hármast dob, akkor húzhat induláskor egy szerencsekártyát.
Ha négyen játszanak a játékban, akkor mennyi a valószínűsége, hogy
a) mindenki húzhat szerencsekártyát;

b) két játékos húzhat, és két játékos nem húzhat szerencsekártyát?

---

3. Egy számítógépes játék úgy van beállítva, hogy mindig, amikor új mezőre kattint a játékos, ugyanolyan valószínűséggel megnő a pontszáma.
0,64 annak a valószínűsége, hogy két új mezőre lépve mindkétszer megnő a pontszáma.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy új mezőre lépve megnő a pontszáma?

---

4. (Érettségi feladat, 2022)
Egy szállodában 20 db egyforma fedett edényben kétféle müzlikeveréket tartanak.
5 edényben natúr, 15 edényben csokis müzli van.
Egy alkalmazott a reggeli sietségben véletlenszerűen választ ki az edények közül 4-et, és ezeket egy tálcára teszi.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy a 4 edény közül egyben natúr, háromban pedig csokis müzli lesz?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /