KIDOLGOZOTT FELADAT
Feldobunk három különböző pénzdarabot, egy 10 forintost, egy 20 forintost és egy 50 forintost.
Feljegyezzük (ilyen sorrendben), hogy a pénzérméknek a fej vagy az írás oldala látható.
Mennyi a valószínűsége, hogy az A, a B, az A + B, illetve az A * B esemény bekövetkezik? A: a 10 forintoson az írás oldal látható
B: az érmék közőtt pontosan egy fej látható
Feljegyezzük (ilyen sorrendben), hogy a pénzérméknek a fej vagy az írás oldala látható.
Mennyi a valószínűsége, hogy az A, a B, az A + B, illetve az A * B esemény bekövetkezik? A: a 10 forintoson az írás oldal látható
B: az érmék közőtt pontosan egy fej látható
ELMÉLET
1. Esemény valószínűsége
Ha az elemi események egyformán valószínűek (és a számuk véges), akkor P(A) = kedvező elemi események száma/összes elemi esemény számaA komplementer esemény valószínűsége: P(ˉA)=1-P(A).
Ha az A és a B események egymást kizáró események (azaz nem következhetnek be egyszerre), akkor:
- P(A vagy B bekövetkezik) = P(A + B) = P(A) + P(B);
- P(A és B bekövetkezik) = P(A * B) = 0.
Megjegyzés:
Az A esemény szempontjából kedvező elemi eseménynek hívjuk az A eseménybe tartozó elemi eseményeket.Ezek azok az elemi események, amikor az A esemény bekövetkezik.
2. Független események
Definíció:Az A és a B események függetlenek, ha P(A * B) = P(A) * P(B).
A függetlenség akkor teljesül, ha a B esemény valószínűsége ugyanakkora abban az esetben, ha az A esemény bekövetkezik, mint amikor az ˉA következik be, és viszont.
Függetlenek például azok az események, amelyek esetében az egyik bekövetkezése nem befolyásolja, hogy a másik bekövetkezik-e.
Ha például feldobunk két dobókockát, akkor az az esemény, hogy az első kocka hatos, nincs hatással arra, hogy a második kocka hatos-e.
Két esemény függetlenségét úgy bizonyíthatjuk, hogy ellenőrizzük, teljesül-e a P(A * B) = P(A) * P(B) egyenlőség.
FELADAT
1. A háromjegyű pozitív egész számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) egyik számjegye sem ötös;
✓ ✗
b) legalább egy számjegye ötös;
✓ ✗
c) pontosan egy számjegye ötös?
✓ ✗
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) egyik számjegye sem ötös;
✓ ✗
b) legalább egy számjegye ötös;
✓ ✗
c) pontosan egy számjegye ötös?
✓ ✗
2. Egy társasjátékban a játékos egyszerre két dobókockával dob, az egyik kocka fehér, a másik fekete.
Ha a fehér kockával nem egyest dob, akkor annyit léphet elore, amennyi a két dobás összege.
Ha azonban a fehér kockával egyest dob, akkor meg kell fordítani a fehér kockát, így az egyesből hatos lesz, és azt kell hozzáadni a fekete kockával dobott számhoz.
(Ha például a fehérrel egyest és a feketével négyest dob, akkor a fehér kockát hatosra fordítja, így az összeg 6 + 4 = 10.)
Foglald táblázatba, hogy az egyes elemi események esetén mennyit lép előre a játékos!
Mennyi a valószínűsége, hogy a játékos
a) hatot;
✓ ✗
b) nyolcat vagy kilencet;
✓ ✗
c) legfeljebb négyet;
✓ ✗
d) legalább tízet lép előre?
✓ ✗
Ha a fehér kockával nem egyest dob, akkor annyit léphet elore, amennyi a két dobás összege.
Ha azonban a fehér kockával egyest dob, akkor meg kell fordítani a fehér kockát, így az egyesből hatos lesz, és azt kell hozzáadni a fekete kockával dobott számhoz.
(Ha például a fehérrel egyest és a feketével négyest dob, akkor a fehér kockát hatosra fordítja, így az összeg 6 + 4 = 10.)
Foglald táblázatba, hogy az egyes elemi események esetén mennyit lép előre a játékos!
| Fehér 1 | Fehér 2 | Fehér 3 | Fehér 4 | Fehér 5 | Fehér 6 | |
| Fekete 1 | ||||||
| Fekete 2 | ||||||
| Fekete 3 | ||||||
| Fekete 4 | ||||||
| Fekete 5 | ||||||
| Fekete 6 |
a) hatot;
✓ ✗
b) nyolcat vagy kilencet;
✓ ✗
c) legfeljebb négyet;
✓ ✗
d) legalább tízet lép előre?
✓ ✗
3. Egy technikum tanulóira vonatkozik a táblázat.
a) Töltsd ki a táblázatot!
✓ ✗
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kosárlabdázó
A) lány;
B) fiú?
✓ ✗
c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott diák
A) kosárlabdázó;
B) nem kosárlabdázó lány;
C) kosárlabdázó lány vagy nem kosárlabdázó fiú;
D) kosárlabdázó fiú vagy nem kosárlabdázó lány?
✓ ✗
d) Számítással igazold, hogy a következő két esemény nem független egymástól!
E: Egy véletlenszerűen kiválasztott diák kosárlabdázik.
F: Egy véletlenszerűen kiválasztott diák fiú.
✓ ✗
| Lányok | Fiúk | Összes | |
| A tanulók száma | 165 | ||
| A tanulók %-os aránya | 75 | ||
| A kosárlabdázók száma | 270 | ||
| A kosárlabdázók %-os aránya a lányok, illetve a fiú közőtt |
≈18 | - |
✓ ✗
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kosárlabdázó
A) lány;
B) fiú?
✓ ✗
c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott diák
A) kosárlabdázó;
B) nem kosárlabdázó lány;
C) kosárlabdázó lány vagy nem kosárlabdázó fiú;
D) kosárlabdázó fiú vagy nem kosárlabdázó lány?
✓ ✗
d) Számítással igazold, hogy a következő két esemény nem független egymástól!
E: Egy véletlenszerűen kiválasztott diák kosárlabdázik.
F: Egy véletlenszerűen kiválasztott diák fiú.
✓ ✗
4. Feldobunk három szabályos pénzérmét.
Tekintsük a következő eseményeket!
A: Mindhárom érmével azonosat dobunk.
B: Több fejet dobunk, mint írást.
C: Ugyanannyi fejet dobunk, mint írást.
a) Mennyi az események valószínűsége?
✓ ✗
b) Számítással igazold, hogy az A és B események függetlenek!
✓ ✗
Tekintsük a következő eseményeket!
A: Mindhárom érmével azonosat dobunk.
B: Több fejet dobunk, mint írást.
C: Ugyanannyi fejet dobunk, mint írást.
a) Mennyi az események valószínűsége?
✓ ✗
b) Számítással igazold, hogy az A és B események függetlenek!
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. A háromjegyű pozitív egész számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám
a) számjegyei különbözők;
b) mindhárom számjegye kisebb, mint 4?
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám
a) számjegyei különbözők;
b) mindhárom számjegye kisebb, mint 4?
2. Egy ház 67 lakója közül 15 gyerek, a felnőttek 57,7%-a nő, a gyerekek 40%-a fiú.
Mennyi a valószínűsége, hogy ha a lakók névsorából véletlenszerűen kiválasztunk valakit, akkor ő egy
a) gyerek;
b) felnőtt nő;
c) felnőtt vagy fiú;
d) lány?
Mennyi a valószínűsége, hogy ha a lakók névsorából véletlenszerűen kiválasztunk valakit, akkor ő egy
a) gyerek;
b) felnőtt nő;
c) felnőtt vagy fiú;
d) lány?
3. Öt lány, Anna, Bea, Cili, Dóri és Eszter véletlenszerű sorrendben érkeznek meg egy találkozójukra.
a) Mennyi a következő események valószínűsége?
A: Anna érkezik harmadikként.
B: Bea érkezik negyedikként.
C: Cili és Dóri közvetlenül egymás után érkeznek.
b) Számítással igazold, hogy A és B nem független események!
a) Mennyi a következő események valószínűsége?
A: Anna érkezik harmadikként.
B: Bea érkezik negyedikként.
C: Cili és Dóri közvetlenül egymás után érkeznek.
b) Számítással igazold, hogy A és B nem független események!
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
