Bevezető
A középszintu matematika érettségi feladatsor két részből, ennek megfelelően két feladatlapból áll.■ Rendelkezésre álló idő: 45 perc
■ Elérheto pont: 30 pont
■ Feladatok száma: általában 12
■ Ha külön felszólítás nem írja, akkor nem kell részletezni és indokolni a feladatok megoldását.
■ A feladat végeredményét vagy a választ be kell írni az előre megadott üres keretbe.
■ A szürkített téglalapba nem szabad írni semmit, azt a javító tanár tölti ki.
■ Néhány esetben hozzáteszi a feladat szövege, hogy „Megoldását részletezze!” vagy „Indokolja a válaszát!”, ekkor az indoklást, illetve a számítás menetét is le kell írni.
■ Rendelkezésre álló idő: 135 perc
■ Elérhető pont: 70 pont
■ A feladatlapon 6 feladat szerepel, amely további két részre oszlik.
■ A II. A részben 3 feladat szerepel.
■ A II. B részben 3 feladat szerepel, amelybol 2-t kell megoldani.
Neked kell eldönteni, hogy melyik 2 feladatot választod.
Az értékelésnél csak ez a 2 feladat veheto figyelembe.
■ Annak a feladatnak a sorszámát, amelyet kihagysz, be kell írni a feladatlap 3. oldalán az erre kijelőlt üres négyzetbe.
■ A feladatok rendszerint több alpontból állnak.
Ezek a részfeladatok akkor is megoldhatók, ha az egyik részfeladatot nem sikerül megoldani.
Az egyes részfeladatok eredménye nem szükséges a következő alpontok megoldásához – néhány esetben azonban rávezető lépésként is funkcionálnak, és segítséget jelentenek a következő részfeladatokhoz.
■ Minden feladat után szerepel az is, hogy arra a feladatra, azon belül az egyes alpontokra hány pontot lehet kapni.
Ebbe a részbe nem szabad beleírni, ezt a javító tanár tölti ki.
Támpontul szolgálhat azonban a feladat nehézségét illetően.
Használható segédeszközök: számológép, függvénytáblázat, körző, vonalzó, szögmérő.
A számológép nem lehet olyan, amely alkalmas szöveges adatok tárolására és megjelenítésére.
E L S Ő F E L A D AT L A P ( I . )
M Á S O D I K F E L A D AT L A P ( I I . )
◼ Ismerd meg a számológépedet!
◼ Lapozd végig, tanulmányozd a négyjegyu függvénytáblázatokban a matematikai ismereteket, azonosságokat, tételeket bemutató részt!
I. rész
1. Egy számtani sorozat második tagja -42; differenciája 3.
Mennyi az első tíz tag összege?
Mennyi az első tíz tag összege?
2. Hány éle van annak az ötpontú gráfnak, amelyben minden pontnak 2 a fokszáma?
3. A [0; 10] intervallumban véletlenszeruen kiválasztunk egy valós számot.
Mennyi a valószínusége, hogy a szám közelebb van a 3-hoz, mint a 9-hez?
Mennyi a valószínusége, hogy a szám közelebb van a 3-hoz, mint a 9-hez?
4. Állapítsd meg az ábrán lévő diagrammal megadott adatsor átlagát, mediánját és móduszát!
5. Egy sportcipő eredeti ára 35 990 Ft.
A nyár végi árleszállításon 12%-os kedvezménnyel árusítják.
Hány forint így a cipő?
Az eredményt tízesekre kerekítve add meg!
A nyár végi árleszállításon 12%-os kedvezménnyel árusítják.
Hány forint így a cipő?
Az eredményt tízesekre kerekítve add meg!
6. Egy villanypózna magasságát szeretnénk megmérni.
Az internetről megtudtuk, hogy a mai napon, deleléskor a nap 40°-os szögben süt (a napsugárnak a vízszintessel bezárt szöge 40°).
Mérés alapján megállapítottuk, hogy az oszlop árnyéka 6,7 méter.
Milyen magas az oszlop?
A választ méterben, egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
Az internetről megtudtuk, hogy a mai napon, deleléskor a nap 40°-os szögben süt (a napsugárnak a vízszintessel bezárt szöge 40°).
Mérés alapján megállapítottuk, hogy az oszlop árnyéka 6,7 méter.
Milyen magas az oszlop?
A választ méterben, egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
7. Az ábrán lévő dobozdiagram egy minta adatainak előszlását szemlélteti.
Határozd meg a diagram alapján a minta elemeinek
a) mediánját;
b) alsó és felső kvartilisét;
c) minimumát és maximumát!
Határozd meg a diagram alapján a minta elemeinek
b) alsó és felső kvartilisét;
c) minimumát és maximumát!
8. Hány olyan tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, amely 4 jegyű, 5-tel osztható, és minden számjegye különböző?
9. Az ábrán az f függvény grafikonja látható.
a) Rajzold meg az ;f; függvény grafikonját!
b) Határozd meg az ;f; függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!
a) Rajzold meg az ;f; függvény grafikonját!
b) Határozd meg az ;f; függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!
10. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A , B = {a; b; c; d; e; f; g}, A \ B = {e; g}, és A + B = {a; b}.
Hány eleme van a B halmaznak?
Válaszod indokold!
Hány eleme van a B halmaznak?
Válaszod indokold!
11. Mennyivel nagyobb az 1 egység sugarú gömb felszíne, mint az 1 egység oldalélu kocka felszíne?
12. Válaszd ki az alábbi állítások közül minden olyan állításnak a betujelét, amelyik az A állítás tagadása!
A = Minden kutya ugat.
B = Nem minden kutya ugat.
C = Nincs olyan kutya, amelyik ugat.
D = Van olyan kutya, amelyik nem ugat.
E = Egyetlen kutya sem ugat.
A = Minden kutya ugat.
B = Nem minden kutya ugat.
C = Nincs olyan kutya, amelyik ugat.
D = Van olyan kutya, amelyik nem ugat.
E = Egyetlen kutya sem ugat.
II. rész „A”
13.
a) Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán! 4x + 13 = 2x + 5
b) Melyek azok az egész számok, amelyek kielégítik a -x2 + 5x 2 0 és az x2 - 0,5x - 3 # 0 egyenlőtlenséget is?
b) Melyek azok az egész számok, amelyek kielégítik a -x2 + 5x 2 0 és az x2 - 0,5x - 3 # 0 egyenlőtlenséget is?
14. Az ABCD paralelőgramma három csúcsa: A(-6; 0), B(2; 3), C(-2; 8).
a) Számítsd ki a D csúcs koordinátáit!
b) Írd fel a C pontra illeszkedo; 0,25 meredekségu egyenes egyenletét!
c) Határozd meg a paralelőgramma kerületét egy tizedesjegy pontossággal!
d) Mekkora annak a kúpnak a térfogata, amelynek palástját az AB szakasz x tengely körüli megforgatásával kapjuk?
a) Számítsd ki a D csúcs koordinátáit!
b) Írd fel a C pontra illeszkedo; 0,25 meredekségu egyenes egyenletét!
c) Határozd meg a paralelőgramma kerületét egy tizedesjegy pontossággal!
d) Mekkora annak a kúpnak a térfogata, amelynek palástját az AB szakasz x tengely körüli megforgatásával kapjuk?
15. Egy biciklistáborban mindennap háromféle túrát indítottak.
A „kis” túrára leginkább a kezdő bicajosok jelentkeztek, vagy azok, akik az előző nap nagyon elfáradtak.
A „közepes” túrán már nagyobb távolságokat kellett megtenni, és nehezebb terepen, a „nagy” túrán indulóknak már napi 100–110 km-t is kellett tekerni, nem egyszer dimbes-dombos vidéken.
54 olyan bicajos volt, aki legalább egyszer vállalta a „nagy” túra kihívását, és 84-en vettek részt „kis” túrán a tábor alatt.
A „kis” túrán vagy „nagy” túrán részt vevőknek a 15%-a „nagy” túrán és „kis” túrán is részt vett.
a) Hány olyan biciklis volt, aki részt vett a „kis” túrán, de a „nagy” túrán nem?
A táborban volt 10 olyan ember, aki mindhárom túrát kipróbálta, és 12 olyan, aki csak a „közepes” túrát.
A „közepes” túrázók közül 70-en más túrán is részt vettek.
A „közepes” túrán indulóknak a fele a „kis” túrán is indult.
b) Hány olyan résztvevője volt a tábornak, aki a „közepes” túrán és a „nagy” túrán is részt vett?
A „kis” túrára leginkább a kezdő bicajosok jelentkeztek, vagy azok, akik az előző nap nagyon elfáradtak.
A „közepes” túrán már nagyobb távolságokat kellett megtenni, és nehezebb terepen, a „nagy” túrán indulóknak már napi 100–110 km-t is kellett tekerni, nem egyszer dimbes-dombos vidéken.
54 olyan bicajos volt, aki legalább egyszer vállalta a „nagy” túra kihívását, és 84-en vettek részt „kis” túrán a tábor alatt.
A „kis” túrán vagy „nagy” túrán részt vevőknek a 15%-a „nagy” túrán és „kis” túrán is részt vett.
a) Hány olyan biciklis volt, aki részt vett a „kis” túrán, de a „nagy” túrán nem?
A táborban volt 10 olyan ember, aki mindhárom túrát kipróbálta, és 12 olyan, aki csak a „közepes” túrát.
A „közepes” túrázók közül 70-en más túrán is részt vettek.
A „közepes” túrán indulóknak a fele a „kis” túrán is indult.
b) Hány olyan résztvevője volt a tábornak, aki a „közepes” túrán és a „nagy” túrán is részt vett?
II. rész „B”
16. Egy fiúkból álló 10 fos baráti társaság tagjainak lábméreteirol a következőket tudjuk:
Aladár 42, Brúnó 41, Cingár 44, Dönci 42, Elemér 43, Furfang 42, Guszti 43, Huncut 42, Icurka 36.
Jankó lábmérete nem ismert.
a) Határozd meg Jankó lábának nagyságát, ha tudjuk, hogy 41,8 a tíz fiú lábméretének átlaga!
b) A tíz fiú lábméretének ismeretében határozd meg, mennyi a lábméretek mediánja!
A tíz ember nevét felírjuk egy-egy papírra, a papírokat bedobjuk egy kalapba.
Véletlenszeruen húzzuk ki a neveket a kalapból.
c) Állítsd növekvo sorrendbe az alábbi események valószínuségét!
A: először egy legfeljebb negyvenes lábméretu ember nevét húzzuk ki a kalapból.
B: A kalapból kihúzott nevek alapján, balról jobbra sorba állítva az embereket, monoton növekvő lábméret szerint sorakoznak fel.
C: Négy név véletlenszeru kiválasztása esetén pontosan 2 embernek lesz közülük 42 a lábmérete.
d) Legalább hány nevet válasszunk ki a kalapból, hogy biztosan legyen a nevek között magánhangzóval kezdődő?
A felsőroltak közül Icurka a legfiatalabb, Cingár a legidősebb.
e) Számítsd ki, hány éves Icurka és Cingár, ha tudjuk, hogy kettejük életkorának különbsége 16 év, és tudjuk, hogy 4 év múlva életkoraik hányadosa 2,6 lesz!
Aladár 42, Brúnó 41, Cingár 44, Dönci 42, Elemér 43, Furfang 42, Guszti 43, Huncut 42, Icurka 36.
Jankó lábmérete nem ismert.
a) Határozd meg Jankó lábának nagyságát, ha tudjuk, hogy 41,8 a tíz fiú lábméretének átlaga!
b) A tíz fiú lábméretének ismeretében határozd meg, mennyi a lábméretek mediánja!
A tíz ember nevét felírjuk egy-egy papírra, a papírokat bedobjuk egy kalapba.
Véletlenszeruen húzzuk ki a neveket a kalapból.
c) Állítsd növekvo sorrendbe az alábbi események valószínuségét!
A: először egy legfeljebb negyvenes lábméretu ember nevét húzzuk ki a kalapból.
B: A kalapból kihúzott nevek alapján, balról jobbra sorba állítva az embereket, monoton növekvő lábméret szerint sorakoznak fel.
C: Négy név véletlenszeru kiválasztása esetén pontosan 2 embernek lesz közülük 42 a lábmérete.
d) Legalább hány nevet válasszunk ki a kalapból, hogy biztosan legyen a nevek között magánhangzóval kezdődő?
A felsőroltak közül Icurka a legfiatalabb, Cingár a legidősebb.
e) Számítsd ki, hány éves Icurka és Cingár, ha tudjuk, hogy kettejük életkorának különbsége 16 év, és tudjuk, hogy 4 év múlva életkoraik hányadosa 2,6 lesz!
17. Egy váza alakja szabályos ötszög alapú egyenes hasáb, amelynek alapélei 12 cm-esek, magassága pedig 18 cm.
a) Hány dl víz fér a vázába?
A vázába vizet töltünk 12 cm magasságig, majd beleejtünk egy 6 cm átmérőjű, tömör gömböt, ami teljesen elsüllyed a vízben.
b) Mennyivel emelkedik meg a vízszint?
A 25 °C-os szobában a vázába 50 °C-os vizet töltünk.
A víz elkezd hulni, hőmérséklete t perc múlva a következő összefüggés alapján számolható:
T]t g = 25 + 25 $ kt, ahol t az eltelt idő percben mérve, k a lehűlési tényező (k 1 1), amely egy mértékegység nélküli arányszám, T pedig a víz hőmérséklete °C-ban mérve.
Mérésünk alapján a víz hőmérséklete 15 perc elteltével 35 °C-os lett.
c) Mekkora a k értéke? A választ két tizedesjegy pontossággal add meg!
a) Hány dl víz fér a vázába?
A vázába vizet töltünk 12 cm magasságig, majd beleejtünk egy 6 cm átmérőjű, tömör gömböt, ami teljesen elsüllyed a vízben.
b) Mennyivel emelkedik meg a vízszint?
A 25 °C-os szobában a vázába 50 °C-os vizet töltünk.
A víz elkezd hulni, hőmérséklete t perc múlva a következő összefüggés alapján számolható:
T]t g = 25 + 25 $ kt, ahol t az eltelt idő percben mérve, k a lehűlési tényező (k 1 1), amely egy mértékegység nélküli arányszám, T pedig a víz hőmérséklete °C-ban mérve.
Mérésünk alapján a víz hőmérséklete 15 perc elteltével 35 °C-os lett.
c) Mekkora a k értéke? A választ két tizedesjegy pontossággal add meg!
18. Egy cég 3 000 000 Ft hitelt vesz fel egy banktól.
A hitelt 4 év alatt, 4 egyenlő részletben törlesztik, tehát évente egyszer fizetnek törlesztőrészletet.
A hitel kamata évi 10%.
a) Mekkora a hitel törlesztorészlete?
A felvett 3 000 000 Ft-ból a cég egy új gépet vásárol.
A gép értéke az amortizáció miatt minden évben az előző évi értékének a 15%-ával csökken.
b) Jelőlje a gép értékét az egymás utáni években a1, a2 és a3 (a1 = 3 000 000).
Hány százalékkal több a1 értéke, mint a3?
c) Hányadik évben csökken a gép értéke 1 000 000 Ft alá?
A hitelt 4 év alatt, 4 egyenlő részletben törlesztik, tehát évente egyszer fizetnek törlesztőrészletet.
A hitel kamata évi 10%.
a) Mekkora a hitel törlesztorészlete?
A felvett 3 000 000 Ft-ból a cég egy új gépet vásárol.
A gép értéke az amortizáció miatt minden évben az előző évi értékének a 15%-ával csökken.
b) Jelőlje a gép értékét az egymás utáni években a1, a2 és a3 (a1 = 3 000 000).
Hány százalékkal több a1 értéke, mint a3?
c) Hányadik évben csökken a gép értéke 1 000 000 Ft alá?
