2024. augusztus 28., szerda

10. Térelemek hajlásszöge

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Egy tárolóláda alakja olyan téglatest, amelynek magassága 5 cm, alaplapjának oldalai pedig 6 cm, valamint 30 cm hosszúak.
Elfér-e két olyan vékony fémpálca ebben a ládában, amelynek hossza 31 cm? Ha elfér a két pálca, akkor az elhelyezés után mekkora szöget zárnak be egymással, valamint a láda legnagyobb területű lapjával?

Megoldás

A ládában elhelyezhető pálca nem lehet hosszabb, mint a testátló.
A testátló hossza (e) kiszámítható az élek hosszának ismeretében:
e2 = 52 + 62 + 302, ebből e = 31 cm, tehát elhelyezhetők a pálcák a testátlók mentén.
Ha a két pálcát ugyanazon testátló mentén helyezzük el, akkor hajlásszögük nagysága 0o.
Ha a két pálcát két különböző testátló mentén helyezzük el (az ábra jelöléseivel például AG, valamint HB testátlók mentén), akkor azok – a téglatest középpontos szimmetriája miatt –felezve metszik egymást, ezért HK = AK = 15,5 cm.
A két pálca által bezárt szög a HAK egyenlő szárú háromszög szárszögének nagysága.
A HAKi HA oldala az ADHE téglalap lapátlója, mely a Pitagorasz-tétel alapján AH = 52 + 62 = 61 . 7,81 (cm).
A HAK egyenlő szárú háromszög szárszögének felező egyenese az AH alapot a P pontban metszi.
A HPKi-ből: ,sin , , HK HP2 15 5 a = = 3 905 . 0 2519, ebből 2 a . 14,6°, így a . 29,2°
A két pálca tehát közelítőleg 29,2° nagyságú szöget zár be egymással.
A legnagyobb területű lap az ABCD téglalap.
Tekintsük az AG testátlóban elhelyezett pálcát.
Ez az alaplappal éppen akkora szöget zár be, mint a pálca és a pálca ABCD lapra eső merőleges vetülete („árnyéka”) egymással, vagyis a GACB nagyságát (b) keressük.
A GACi derékszögű, mert a téglatest CG éle merőleges az ABCD lapra, így annak AC egyenesére is.
A GAC derékszögű háromszögben: sin AG ,CG 31 b = = 5 . 0 1613, ebből b . 9,3°.
Az AG testátló mentén elhelyezett pálca tehát közelítőleg 9,3° nagyságú szöget zár be a legnagyobb területű lappal.
Az egybevágóság miatt, ha bármelyik másik testátló mentén helyezzük el a pálcát, ugyanezt a hajlásszöget kapjuk.

FELADAT

1. Az ABCDEFGH négyzetes oszlop alapéleinek hossza 5 cm, a test magassága 9 cm hosszú (ld. ábra).
a) Milyen síkidomok az ABGH, valamint ACGE négyszögek?
b) Mekkora az ABGH, valamint ACGE síkidomok területének nagysága?
c) Mekkora szöget zár be az ABGH, valamint ACGE sík a négyzetes oszlop alaplapjával, valamint oldallapjaival?
//1. b) 51,5 cm2, 63,6 cm2. c) 61°, 29°, 90° illetve 90°, 45°.
//R15


ELMÉLET

Térelemek hajlásszöge

1. Két egyenes hajlásszöge

Két metsző egyenes hajlásszöge a két egyenes által meghatározott két-két egyenlő szög közül a nem nagyobbik (legfeljebb 90°). Két párhuzamos egyenes szöge 0°.

2. Egyenes és sík hajlásszöge

Egy egyenes merőleges egy síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére (ekkor az egyenes síkra eső merőleges vetülete az egyenes és a sík metszéspontja).
Belátható, hogy egy egyenes és egy sík merőlegességének elegendő feltétele, ha az egyenes merőleges az egyenes és sík metszéspontjára illeszkedő, a síkban lévő két egyenesre.
Egy (a síkra nem merőleges) egyenes és egy sík hajlásszögén az egyenesnek és az egyenes síkra eső merőleges vetületének a hajlásszögét értjük.
Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes és a sík szöge 0°.

3. Két sík hajlásszöge

Két metsző sík hajlásszöge megegyezik azzal a szöggel, amit a két sík metszésvonalának tetszőleges pontjában a metszésvonalra merőlegesen állított egyik, illetve másik síkra illeszkedő egyenesek határoznak meg.
Párhuzamos síkok szöge 0°.

Megjegyzés:

1. A fentiek szerint két egyenes, egyenes és sík, illetve két sík hajlásszöge sem lehet nagyobb 90°-nál.
2. A hajlásszögek meghatározásához a szöget tartalmazó, alkalmas derékszögű háromszögben végezhetjük a számolást a hegyesszögek szögfüggvényei segítségével.

FELADAT

2. Az ABCDEFGH kocka élhosszúsága 6 cm.
a) Jelöld a-val az AG egyenes és a BCGF sík hajlásszögét!
Határozd meg az a értékét!
b) Jelöld b-val az BDG sík és az ABCD sík hajlásszögét!
Határozd meg a b értékét!
//2. a) 35°. b) 55°.


3. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb leghosszabb testátlójának hossza 14 cm, és ez a testátló 60° nagyságú szöget zár be az alaplap síkjával.
a) Mekkora a hasáb alapélének és magasságának hossza?
b) Mekkora a rövidebb testátló hossza?
//a) 3,5 cm, 12 cm. b) 13,6 cm.

HÁZI FELADAT

1. Egy téglatest éleinek hoszsza 5,18 cm, 3,75 cm és 9,92 cm.
a) Mekkora az AG testátló és az alaplap síkjának a szöge (a)?

b) Mekkora az AG testátló és az AE él szöge?
c) Mekkora az AG és a CE testátló szöge?
d) Igaz-e, hogy az AG és a CE testátló szöge éppen 2-szerese az EAG szögnek?

2. Az ABCDAlBlClDl négyzetes oszlop alaplapjának területe 1 dm2, palástjának területe 280 cm2.
A test ABCD alaplapjának A csúcsát kössük össze az AlBlClDlfedőlap K lapközéppontjával!
a) Hány cm hosszúságú az AK szakasz?
b) Hány fokos szöget zár be az AK szakasz az AB alapéllel?
c) Hány fokos szöget zár be az AK szakasz az ABCD alaplappal?
Válaszod két tizedesjegy pontossággal add meg!

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /