2024. augusztus 28., szerda

14. A forgáskúp felszíne és térfogata

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Arkhimédész nevéhez kapcsolódik a – már korábban is említett – híres ábra, amelyik egy forgáshengert, egy ebbe írt gömböt és forgáskúpot mutat.
A gömb sugara ugyanakkora, mint a henger alapkörének sugara.
A henger magassága az alapköre átmérőjének hosszával egyenlő.
A forgáskúp alapköre a henger alapkörével egyezik meg.
A kúp csúcsa a henger fedőlapjának középpontja.
a) Számítsuk ki a három test térfogatának arányát!
b) Számítsuk ki a henger, a gömb és a kúp felszínét, ha a henger alapkörének sugara 5 cm!

Megoldás

a) A forgáskúp térfogatát ugyanúgy számolhatjuk ki, mint a gúlák térfogatát: V
= , amely az M = 2r kapcsolat miatt V r r r kúp= r $ = r .
A gömb térfogata: V r r , tehát éppen kétszerese a kúp térfogatának.
A forgáshenger térfogata: V T M r2 2r 2r3
henger = alap $ = r $ = r, tehát éppen háromszorosa a kúp térfogatának.
Így V : V : V kúp gömb henger = 1 : 2 : 3.

b) A henger magassága 10 cm, ezért a felszíne:
A 2 T K M 2 52 2 5 10 150 henger = $ alaplap + alaplap $ = $ r + $ r $ = r cm2
A gömb sugara 5 cm, ezért a felszíne: A 4 r2 4 52 100
gömb = $ r = $ r = r cm2.
Ez pontosan kétharmada a henger felszínének.
A kúp felszínét az alaplap területének és a kúppalást területének összege adja:
A T T kúp = alaplap + palást
A kúp alapterülete: Talaplap 25= r (cm2)
A forgáskúp kiterített palástja olyan körcikk, amelynek a sugara a forgáskúp alkotója, körívének hossza pedig a kúp alapkörének kerületével egyenlő.
A kúp alkotójának hosszát Pitagorasz-tétellel számíthatjuk ki: a = 52 + 102 = 125 (cm)
Az alapkör kerülete 10r (cm), tehát a kiterített palást egy olyan körcikk, amelynek a sugara 125 cm, íve pedig 10r cm hosszú.
A körcikk területét kiszámíthatjuk a T i r körcikk 2 körcikk $ körcikk = képlettel, tehát T 2 10 125 25 5 palást = r $ = r $ (cm2)
A kúp felszíne: Akúp = 25r + 25r $ 5 = 25r^1 + 5 h (cm2)
Közelítő értékekkel adódik, hogy a henger felszíne 471 cm2, a gömb felszíne 314 cm2, a kúp felszíne pedig 254 cm2.

Megjegyzés

Arkhimédész észrevette, hogy a forgáshengerbe írt gömb és a henger felszínének aránya minden esetben 2 : 3, ugyanúgy, mint a térfogatuk aránya.
Erre a felfedezésére nagyon büszke volt.
Kívánsága szerint sírkövére a hengerbe írt gömb és kúp körvonalait vésték.
Halála után 150 évvel a híres ábra alapján sikerült azonosítani a sírját, melyet Cicero író és államférfi kutatott fel Szürakuszaiban.

ELMÉLET

A forgáskúp palástja síkba kiterítve egy körcikk, amelynek sugara a kúp alkotójával, határoló íve pedig a kúp alapkörének kerületével megegyező hosszúságú.
Ebből adódik, hogy a forgáskúp felszíne, ha az alapkör sugarának hossza r, és alkotójának hossza a:
A T T r2 r a r r a kúp alaplap palást = + = r + r = r] + g
A forgáskúp térfogatát az alapterület és a magasság (M) szorzatának harmadrésze adja: V T M forgáskúp 3 alaplap $ = , vagyis V r M forgáskúp = r $ .

Megjegyzés:

Egy kúp térfogata a kúppal azonos alapterületű és magasságú henger térfogatának a harmadrésze.
Aforgáskúp = r2*pi r*pi*a = r*pi(r + a)
Vforgáskúp = r2*pi* M/3
Emlékeztető: A körcikk területe: Tkörcikk = ikörcikk * rkörcikk/ 2

FELADAT

1. Egy forgáskúp alapkörének az átmérője 7,5 cm, a magassága pedig 9 cm hosszú.
Mekkora
a) a felszíne;

b) a térfogata;

c) a nyílásszöge;

d) szöget alkotnak a forgáskúp alkotói az alapsíkkal?



2. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 4,2 dm, szára 2,9 dm hosszú.
A háromszöget megforgatjuk a szimmetriatengelye körül, így egy forgáskúpot kapunk.
a) Mekkora a kúp nyílásszöge?

b) Mekkora a kúp térfogata?

c) Mekkora a kúp kiterített palástjának középponti szöge?

d) Mekkora a kúp felszíne?



3. Egy építkezéshez 2 köbméter sódert rendeltek.
A rendelt áru meg is érkezett.
A teherautóról leborított sóderkupac nagyjából kúp alakú, az alaplapja 3 m átmérőjű körnek látszik, a kupac magassága pedig 80 cm körül van.
Számítsd ki az adatokból, hogy körülbelül menynyi a sóderkupac térfogata!
Megérkezett-e a kívánt mennyiség?



4. Egy forgáskúp alakú születésnapi papírcsákót egy olyan körcikkből készítettek el, amelynek középponti szöge 132o nagyságú, íve 44 cm hosszú.
Hány cm magas a papírcsákó?
Válaszod egészre kerekítve add meg!


HÁZI FELADAT

1. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 35 mm és 84 mm.
Ezt a háromszöget megforgatjuk a hoszszabbik befogó egyenese körül 360°-kal.
Számítsd ki a keletkezett test felszínét és a térfogatát!

2. Egy 88 mm magasságú forgáskúp alkotói 45°-os szöget alkotnak az alapkör síkjával.
Mekkora a kúp felszíne és térfogata?

3. Egy pattogatott kukoricát árusító helyen olyan forgáskúp alakú papírtölcsért adnak, amelynek palástja egy 20 cm sugarú körből kivágott körcikk, és a körcikk ívének hossza 60 cm.
Mekkora a körcikkből készített kúp térfogata?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /