24. Számtani sorozatok

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

BEVEZETŐ

A világ gabonatermelése 1960 és 2010 között évente átlagosan körülbelül 27 millió tonnával növekedett.
1960-ban a termelés körülbelül 824 millió tonna volt.
Ezt a folyamatot modellezhetjük egy olyan sorozattal, melynek első tagja 824, és minden tag 27-tel nagyobb, mint az előtte álló tag.
Azon sorozatokat, amelyek esetében az egymás után álló tagok különbsége, azaz an - an - 1 állandó, számtani sorozatnak nevezzük.
(Az ábrán a piros vonal mutatja a számtanisorozat-szeru trendet.
A narancssárgával jelölt valódi termelési adatok kissé eltérnek ettől.)

ELMÉLET

számtani sorozat

Definíció:
Az {an} sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha a második tagtól kezdve bármely tag és az elotte álló tag különbsége állandó, vagyis n > 1 esetén a_n - a_n-1 értéke állandó.
Ez az állandó a sorozat differenciája (különbsége).
Jele: d.
A számtani sorozat n-edik tagját (n > 1 esetén) megkapjuk, ha az előtte álló taghoz a differenciát adjuk, vagy ha az első taghoz (n - 1)-szer adjuk hozzá a differenciát.

Ha ismert egy számtani sorozat két tagja (és mindkettőről tudjuk, hogy hányadik tagok), az egyértelmuen meghatározza a számtani sorozatot.
A differenciát a tagok különbsége segítségével meghatározhatjuk.
Például:
a12 = 40; a15 = 46 → a15 - a12 = 3d → 46 - 40 = 3d → d = 2
Megjegyzés:
Ha egy feladatban egy számtani sorozat három egymást követő tagja szerepel, akkor érdemes „szimmetrikus” jelölést használni:

KIDOLGOZOTT FELADAT

Tibor január elsejétől kezdve minden hónapban 100 forinttal többet tesz be a perselyébe, mint az elozo hónapban.
Tudjuk, hogy az április–június hónapokban összesen 8100 forintot tett a perselybe.
Mennyi pénzt tett Tibor a perselybe januárban?

Megoldás

Tibor júniusban 100 forinttal többet, áprilisban pedig 100 forinttal kevesebbet tett a perselybe, mint amennyit májusban.
Ha a májusban betett összeg forintban c, akkor az áprilisi c - 100, a júniusi c + 100.
(c - 100) + c + (c + 100) = 3c → 3c = 8100 → c = 2700
A májusban betett pénz 2700 Ft, a januári 400 Ft-tal kevesebb, azaz 2300 Ft.
Ellenőrzés:
A perselybe tett összegek januártól júniusig: 2300; 2400; 2500; 2600; 2700; 2800 Ft.
Az utolsó háromnak az összege 2600 + 2700 + 2800 = 8100 Ft.

FELADAT

1. A 33-nál nagyobb páros számokat növekvő sorba állítva számtani sorozatot kapunk.
a) Melyik szám ennek a sorozatnak az első tagja?
a_1 = ✓ ✗
b) Mennyi a differencia?
d = ✓ ✗
c) Melyik szám e sorozat 77. tagja?
a_77 = ✓ ✗
d) Hányadik tagja ennek a sorozatnak az 1948?
n = ✓ ✗

---

2. Egy számtani sorozat 10., 11. és 12. tagjának összege 63.
a) Számítsd ki a sorozat 11. tagját!
a_11 = ✓ ✗
b) Számítsd ki a sorozat első tagját, ha 5 a sorozat differenciája!
a_1 = ✓ ✗
c) Számítsd ki a sorozat 10. és 12. tagját, ha 7 a sorozat differenciája!
a_10 =
a_12 = ✓ ✗
d) Mutasd meg, hogy a 11. tag a 10. tag és a 12. tag számtani közepével egyenlő, akármennyi is a differencia!

---

3. A {bn} számtani sorozatról tudjuk, hogy b_7 - b_1 = 24 és b_7 + b_1 = 4.
a) Mennyi a differencia?
d = ✓ ✗
b) Mennyi az első tag?
b_1 = ✓ ✗
c) Mennyi a hetedik tag?
b_7 = ✓ ✗
d) Mennyi a negyedik tag?
b_4 = ✓ ✗

---

4. Egy város főterét az ábrán látható szabály szerint hatszög alakú kolapokkal burkolják.

a) Milyen sorozatot alkot a más-más színű kőlapok száma belülről kifelé haladva, a középső fehér lapot kivéve?
(A sorozat első tagja a rózsaszín hatszögek száma.)
Számtani sorozat Mértani sorozat Fibonacci-sorozat ✓ ✗
b) Hány darab kőlap van a belülről számított 12-dik „körben”?
✓ ✗
c) Hány kőlappal van több a 20-dik „körben”, mint a 15-dik „körben”?
✓ ✗
d) Hány szín van, amelybol 100-nál kevesebb kőlap kell, ha minden „kör” színe különböző?
✓ ✗

---

5. Egy számtani sorozat 28. tagja 96, 32. tagja 112.
Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 192?
n = ✓ ✗

---

6. (Érettségi feladat, 2022)
Egy számtani sorozat első három tagjának összege 18.
A harmadik és a negyedik tag összege 28-cal nagyobb az első és a második tag összegénél.
Határozd meg a sorozat első tagját és a különbségét!
a_1 =
d =
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Iktass be 4 számot 5 és 8 közé úgy, hogy a hat szám együtt egy számtani sorozat hat egymás utáni tagja legyen!
d =
a_2 =
a_3 =
a_4 =
a_5 =

---

2. (Érettségi feladat, 2017)
A tapasztalatok szerint egy Balaton-parti strandon júliusban folyamatosan nő a strandolók száma.
Ezért a strandbüfében bevált rendszer, hogy a július 1-jei megrendelést követően július 2-tól kezdve július 31-ig mindennap ugyanannyi literrel növelik a nagykereskedésből megrendelt üdítő mennyiségét.
A könyvelésből kiderült, hogy július 1-jén, 2-án és 3-án összesen 165 litert, július 15-én pedig 198 litert rendeltek.
Hány litert rendelnek július 31-én?

---

3. A 37-tel osztva 3 maradékot adó pozitív egész számok növekvő sorozata egy számtani sorozat.
a) Melyik a sorozat legkisebb tagja, amely nagyobb, mint 999?

b) Melyik a sorozat legnagyobb tagja, amely kisebb, mint 10 000?

c) Hány négyjegyű tagja van a sorozatnak?

---

4. Egy számtani sorozat ötödik és hatodik tagjának összege 60.
A nyolcadik, kilencedik és tizedik tag összege 69.
Határozd meg a sorozat első tagját és differenciáját!
a_1 =
d =

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /