BEVEZETŐ
Egyiptom fővárosa, Kairó közvetlen közelében találhatók a – több mint 4 ezer évvel ezelőtt épült – gízai piramisok.A piramisok közül Kheopsz fáraó piramisa az ókori világ hét csodájának az egyetlen még ma is látható darabja.
A piramis tájolását illetően több elméletet gyártottak, de mindegyikben közös, hogy a módszer alapvetően csillagászati alapokon nyugszik.
A piramis az emberiség történetének egyik építészeti remeke, megtervezéséhez és elkészítéséhez alapos matematikai ismeretekre volt szükség.
A piramis alakja szabályos négyoldalú gúla, méretei lenyűgözőek.
ELMÉLET
A gúla csúcsának az alapsíktól való távolságát a gúla testmagasságának (röviden: magasságnak) nevezzük.
Az ábrán láthatók a szokásos elnevezések.
Ebben az esetben a gúla alaplapja ötszög, ezért ezt ötoldalú gúlának mondjuk.
Az ötoldalú gúlának 6 lapja van (az ötszög az alaplapja, és 5 háromszög az öt oldallapja).
Ha a gúla alaplapja szabályos sokszög, és minden oldaléle egyenlő hosszúságú, akkor szabályos gúlának nevezzük.
Bizonyítható, hogy ha egy gúla minden oldaléle egyenlő hosszú, akkor a gúla alaplapja körbe írható sokszög, és a kör középpontja a gúla csúcsának az alapsíkon lévő merőleges vetülete.
A háromoldalú gúlát, aminek tehát az alaplappal együtt négy lapja van, görög eredetű szóval tetraédernek nevezzük.
A tetraéder 4 lapja közül bármelyik tekinthető alaplapnak.
A szabályos háromoldalú gúla alaplapja szabályos háromszög, oldallapjai egyenlő szárú háromszögek.
A szabályos tetraéder olyan szabályos háromoldalú gúla, amelynek mind a 4 lapja szabályos háromszög.
FELADAT
1. A Kheopsz-piramist egy szabályos négyoldalú gúlával modellezhetjük.
Ezt láthatod az ábrán.
Végezz számításokat a piramis eredeti adatainak ismeretében: az alapél hossza AB = 232,4 méter, a magasság FE = 146,7 méter.
a) Mekkora az oldallap magasságának és az alapél felének hányadosa?
(Érdekesség: ez az arányszám az ún. aranymetszés esetén adódó állandó.)
b) Igazold, hogy a piramis egyik oldallapjának a területe és a gúla magasságának a négyzete négyzetméterben, ezresekre kerekítve ugyanazt az értéket adja!
c) Mekkora az oldalél és az alaplap hajlás szöge?
d) Mutasd meg, hogy az oldallap és az alaplap hajlásszöge körülbelül 10o-kal nagyobb az oldalél és az alaplap hajlásszögénél!
Ezt láthatod az ábrán.
a) Mekkora az oldallap magasságának és az alapél felének hányadosa?
(Érdekesség: ez az arányszám az ún. aranymetszés esetén adódó állandó.)
b) Igazold, hogy a piramis egyik oldallapjának a területe és a gúla magasságának a négyzete négyzetméterben, ezresekre kerekítve ugyanazt az értéket adja!
c) Mekkora az oldalél és az alaplap hajlás szöge?
d) Mutasd meg, hogy az oldallap és az alaplap hajlásszöge körülbelül 10o-kal nagyobb az oldalél és az alaplap hajlásszögénél!
2. Egy szabályos hatoldalú gúla oldalélének hossza 7 2 egység hosszú.
Az oldalél az alaplappal 45oos szöget zár be.
a) Mekkora az alapél hossza?
b) Hány fokos szöget zár be egymással a gúla oldallapja és alaplapja?
A választ egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
Az oldalél az alaplappal 45oos szöget zár be.
a) Mekkora az alapél hossza?
b) Hány fokos szöget zár be egymással a gúla oldallapja és alaplapja?
A választ egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
3. Egy szabályos tetraéder alapélének hossza 8 cm.
Mekkora szöget zárnak be egymással a tetraéder lapjai?
Mekkora szöget zárnak be egymással a tetraéder lapjai?
HÁZI FELADAT
1. Igaz vagy hamis?
A: A gúla magassága nem lehet hosszabb a gúla egyetlen oldalélénél sem.
B: Ha a gúla egyik oldallapján összekötjük a két oldalél felezőpontját, akkor biztosan van olyan alapél, amely kétszerese a felezőpontokat összekötő szakasz hosszának.
C: Van olyan gúla, amelynek van testátlója.
D: Egy szabályos tízoldalú gúla alaplapjának területe kisebb, mint az oldallapok területeinek összege.
A: A gúla magassága nem lehet hosszabb a gúla egyetlen oldalélénél sem.
B: Ha a gúla egyik oldallapján összekötjük a két oldalél felezőpontját, akkor biztosan van olyan alapél, amely kétszerese a felezőpontokat összekötő szakasz hosszának.
C: Van olyan gúla, amelynek van testátlója.
D: Egy szabályos tízoldalú gúla alaplapjának területe kisebb, mint az oldallapok területeinek összege.
2. Egy szabályos négyoldalú gúla oldallapjai szabályos háromszögek.
A gúla alaplapjának területe 100 cm2.
a) Mekkora a gúla magassága?
b) Határozd meg, hogy mekkora szöget zár be az oldallap az alaplappal!
c) Mekkora szöget zár be egymással a gúla oldaléle és alaplapja?
A gúla alaplapjának területe 100 cm2.
a) Mekkora a gúla magassága?
b) Határozd meg, hogy mekkora szöget zár be az oldallap az alaplappal!
c) Mekkora szöget zár be egymással a gúla oldaléle és alaplapja?
3. Egy gúla alapja egy olyan derékszögű háromszög, amelynek befogói 5 cm, valamint 12 cm hosszúak.
A gúla 12 cm hosszúságú oldaléle az alaplap derékszögű csúcsából indul, és merőleges az alaplap síkjára.
a) Határozd meg a test ismeretlen éleinek hosszát!
b) Készítsd el a test síkba terített hálójának vázlatos rajzát!
c) Melyik a gúla legnagyobb területű lapja, és mekkora ez a terület?
A gúla 12 cm hosszúságú oldaléle az alaplap derékszögű csúcsából indul, és merőleges az alaplap síkjára.
a) Határozd meg a test ismeretlen éleinek hosszát!
b) Készítsd el a test síkba terített hálójának vázlatos rajzát!
c) Melyik a gúla legnagyobb területű lapja, és mekkora ez a terület?
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
