BEVEZETŐ
A franciaországi Valençay (ejtsd válanszé) nevű kecskesajt csonkagúla alakú.Egy legenda szerint ennek a formának „történelmi magyarázata” van.
Napóleon – kudarcba fulladt egyiptomi hadjáratából visszatérve Valençay városába – állítólag annyira feldühödött az akkor még piramis formájú sajt láttán, hogy egy kardcsapással levágta a tetejét.
Az ilyen módon „megcsonkított” formát a mai napig őrzi ez a sajt.
KIDOLGOZOTT FELADAT
A bevezetőben említett sajt alakja a „napóleoni vágás” előtt szabályos négyoldalú gúla volt, amelynek – tegyük fel, hogy – alapéle 4 cm, oldaléle pedig 7 cm hosszú volt.Az alaplapjával párhuzamos vágással keletkező kisebb gúla magassága az eredeti gúla magasságának 60%-a.
A gúla másik része egy csonkagúla.
Számítsd ki a csonkagúla térfogatát!
Megoldás
A lemetszett kisebb gúla középpontosan hasonló az eredeti gúlához.A hasonlóság aránya k = 0,6, ezért a térfogatok aránya: Vykicsi = k3 = 0,63 = 0,216.
A csonkagúla térfogatát megkapjuk, ha az eredeti gúla térfogatából levonjuk a levágott gúla térfogatát:
Vcsonka = Vnagy - Vkicsi = Vnagy - 0,216 $ Vnagy = 0,784 $ Vnagy
Az eredeti „nagy” gúla magasságát az ábra szerint Pitagorasz-tétellel számolhatjuk: M 72 2 2 2 41 = -^ h = . 6,4 (cm).
A nagy gúla térfogata: V , , 3= = (cm3).
A csonkagúla térfogata: Vcsonka = 0,784 · 34,1 = 26,7 cm3.
ELMÉLET
1. A csonkagúla / csonkakúp térfogata kiszámításának egyik módja: az eredeti gúla/kúp és a lemetszett, hozzá hasonló gúla/kúp térfogatának különbsége.2. Bebizonyítható, hogy ha egy csonkagúla / csonkakúp alaplapjának területe T, fedőlapjának területe t, magassága pedig M, akkor a térfogata: V M T T t t csonka 3 = $ ^ + $ + h
Egy szabályos négyoldalú csonkagúla esetén, ha az alaplap éle a, a fedőlap éle b hosszúságú, és a test magassága M, akkor az egyenes csonkagúla térfogata:
V M a ab b 3
V M R Rr r 3
Vcsonka = M/3(T + √T*t + t) = $ ^ + $ + h
Vcs.k. M R Rr r 3
FELADAT
1. Egy szabályos négyoldalú gúla magassága 8 cm, az oldallapjai pedig 45°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával.
Ebből a gúlából – egy, az alaplapjával párhuzamos síkkal – levágunk egy 6 cm magas gúlát.
Számítsd ki
a) az eredeti és a levágott gúla alaplapjának területét;
b) az eredeti és a levágott gúla térfogatát, valamint a keletkező csonkagúla térfogatát is;
c) a levágott gúla és a megmaradt csonkagúla felszínét!
Ebből a gúlából – egy, az alaplapjával párhuzamos síkkal – levágunk egy 6 cm magas gúlát.
Számítsd ki
a) az eredeti és a levágott gúla alaplapjának területét;
b) az eredeti és a levágott gúla térfogatát, valamint a keletkező csonkagúla térfogatát is;
c) a levágott gúla és a megmaradt csonkagúla felszínét!
2. Egy szabályos négyoldalú csonkagúla alaplapja 12 cm oldalú négyzet, fedőlapja 8 cm oldalú négyzet, magassága 6 cm.
a) Számítsd ki a csonkagúla kiegészítő gúlájának magasságát!
b) Számítsd ki a csonkagúla térfogatát!
a) Számítsd ki a csonkagúla kiegészítő gúlájának magasságát!
b) Számítsd ki a csonkagúla térfogatát!
3. Egy forgáskúp alapkörének sugara 3 cm, magassága 12 cm.
A kúp csúcsától 4, illetve 8 cm távolságban elmetsszük a kúpot az alaplapjával párhuzamos két síkkal.
Így egy kis kúp és két csonkakúp keletkezik.
Számítsd ki mindhárom test térfogatát!
A kúp csúcsától 4, illetve 8 cm távolságban elmetsszük a kúpot az alaplapjával párhuzamos két síkkal.
Így egy kis kúp és két csonkakúp keletkezik.
Számítsd ki mindhárom test térfogatát!
HÁZI FELADAT
1. Egy szabályos négyoldalú gúla oldalélei 10 cm hoszszúak, az oldalélek az alaplap síkjával 52°-os szöget zárnak be.
a) Számítsd ki a gúla magasságát és az alapélének hosszát!
b) Mekkora térfogatú részekre vágja a gúlát az a sík, amelyik párhuzamos az alaplapjával, és attól 2 cm távolságra van?
a) Számítsd ki a gúla magasságát és az alapélének hosszát!
b) Mekkora térfogatú részekre vágja a gúlát az a sík, amelyik párhuzamos az alaplapjával, és attól 2 cm távolságra van?
2. Egy egyenes csonkakúp alapkörének sugara 10 cm, fedőkörének sugara 4 cm, magassága 5 cm.
a) Milyen magas az a kúp, amelyből ez a csonkakúp származik?
b) Számítsd ki a kiegészítő kúp és a csonkakúp térfogatát!
a) Milyen magas az a kúp, amelyből ez a csonkakúp származik?
b) Számítsd ki a kiegészítő kúp és a csonkakúp térfogatát!
3. Van olyan zselés cukorka, amely közelítőleg csonkakúp alakú.
Egy szem cukorka alaplapja 310 mm2, fedőlapja 180 mm2 területű síkidom, a magassága 17 mm hosszú.
a) Számítsd ki egy darab zselés cukorka térfogatát!
b) Számítsd ki a zselé sűrűségét, ha egy 10 dkg-os zacskóban 16 darab cukorka van!
Egy szem cukorka alaplapja 310 mm2, fedőlapja 180 mm2 területű síkidom, a magassága 17 mm hosszú.
a) Számítsd ki egy darab zselés cukorka térfogatát!
b) Számítsd ki a zselé sűrűségét, ha egy 10 dkg-os zacskóban 16 darab cukorka van!
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
