Matek 12

2024. november 2., szombat

SOROZATOK

D	Számsorozat	Olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza (képhalmaza a valós számok halmaza). Jelölése: {an}; ahol an a sorozat n-edik tagját jelöli.
M	A sorozat megadása	– Körülírással: a sorozatban szereplő számok tulajdonságával. – Képlettel (általános taggal): az n-edik tag megadása n függvényében. – Rekurzív módon: megadjuk, hogy hogyan lehet kiszámítani a sorozat n-edik tagját az előtte lévő egy vagy több tag ismeretében, valamint megadjuk a rekurzióhoz szükséges első néhány tagot. Például: a 2; 4; 6; 8; … sorozat megadható az előbbi három módon: körülírással: pozitív páros számok növekvő sorozata; képlettel: a_n = 2n (n ∈ N+); rekurzív módon: a_1 = 2 és a_n+1 = a_n + 2 (n ∈ N+).
D	Számtani sorozat	Az {an} számsorozat számtani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármely tag és az előtte álló tag különbsége állandó, vagyis 1 < n esetén an - a_n-1 értéke állandó. Ez az állandó a sorozat differenciája (különbsége). Jele: d Például: 3; 9; 15; 21; … egy olyan számtani sorozat, ahol a_1 = 3, d = 6 12; 7; 2; -3; … egy olyan számtani sorozat, ahol a_1 = 12, d = -5
T	A számtani sorozat n-edik tagja	Ha {an} olyan számtani sorozat, amelynek első tagja a1, és a differenciája d, akkor minden n esetén a_n = a_1 + (n - 1) · d. Például: a_5 = a_1 + 4d
T	A számtani sorozat első n tagjának összege	Az {an} számtani sorozatban az első n tag összege (S_n = a_1 + a_2 + … + a_n): $S_n=(a_1+a_n)/2n$ , másként $S_n=(2a_1+(n-1)d)/2n$
D	Mértani sorozat	Az {an} számsorozat mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármely tag és az előtte álló tag hányadosa 0-tól különböző állandó, vagyis 1 < n esetén a_n/a_n-1 értéke állandó. Ez az állandó a sorozat kvóciense (hányadosa). Jele: q Például: 3; 6; 12; 24; … egy olyan mértani sorozat, ahol a1 = 3, q = 2 108; -36; 12; -4; … egy olyan mértani sorozat, ahol a1 = 108, q = -1/3
T	A mértani sorozat n-edik tagja	Ha {an} olyan mértani sorozat, amelynek első tagja a1, és a kvóciense q, akkor minden n ∈ N+ esetén $a_n = a_1q^(n - 1)$ . Például: a_16 = a_1q¹⁵
T	A mértani sorozat első n tagjának összege	Az {an} mértani sorozatban az első n tag összege (Sn = a_1 + a_2 + … + a_n): ha q ≠ 1, akkor $S_n=a_1(q^n-1)/(q-1); ha q = 1, akkor S_n = na_1$ .
	Kamatos kamat számítása	Ha egy A0 összeg p%-kal kamatozik évente, akkor az n-edik év végére az összeg: $A_n=A_0*(1+p/100)^n$ A kamatozás üteme éves időszaktól eltérő is lehet (például: havi, napi stb.), ekkor figyelni kell arra, hogy a p kamattényező a megfelelő időszakra vonatkozzon. (Az időszakokat a kamattényezőben szereplő időszakhoz kell igazítani.)
	Gyűjtőjáradék	Gyűjtőjáradékról akkor beszélünk, ha úgy gyűjtjük a pénzt, hogy ugyanazon a számlán egyenlő időközönként azonos összeget helyezünk el a bankban, azaz egy alapösszeget egyenlő időközönként ugyanakkora összeggel növelünk.
	Állandó törlesztőrészlet	Állandó (fix) törlesztőrészletről akkor beszélünk, ha a banktól felvett hitelt úgy törlesztjük, hogy azonos időközönként ugyanakkora összeget fizetünk vissza.

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy mértani sorozat első tagja 6; második tagja 12.
a) Add meg a sorozat a_n általános tagját az n függvényében a legegyszerűbb alakban!
b) Mennyi a sorozat 10. tagja?
c) Mennyi az első 30 tag összege? Az eredményt normálalakban add meg!
d) Legalább hány tagot kell összeadni az első tagtól kezdve, hogy az összeg 107-nél nagyobb legyen?

2. Egy vállalkozásban használatban lévő nyomdagép értéke jelenleg 42 millió forint.
A gép rendszeres használata során az állaga folyamatosan romlik, így az értéke átlagosan mindig az előző évi 90%-ára esik vissza.
Az aktuális karbantartásra a cégtulajdonos átlagosan évi 300 000 forintot fordít, így a gép értéke ennyivel megnő évente.
Mennyi lesz a berendezés értéke 8 teljes év múlva?
Válaszod százezer forintra kerekítve add meg!
(Egyéb gazdasági befolyásoló tényezőket ne vegyél figyelembe a feladat megoldása során.)

3. Az egymástól 189 km-re lévő A és B városból egy-egy kerékpáros indul egymással szemben, a B város felé enyhén emelkedő, egyenes úton.
Az A városból éppen délben, a B városból délután 2-kor indul a kerékpáros.
Az A városból induló az első órában 21 km-t tesz meg, és – mivel egyre fáradtabb lesz – a további órák mindegyikében 1,4 km-rel kevesebbet, mint az azt megelőző órában.
A B városból induló, pihenés után lévő kerékpáros az első órában 18 km-t tesz meg, majd minden órában 2-vel többet, mint az azt megelőzőben.
(A kerékpárosok sebessége a teljes mozgás során pozitív.)
a) Hány km-t tettek meg az egyes kerékpárosok délután 4 és 5 óra között?
b) Mikor találkozott a két kerékpáros, és ekkor milyen távol voltak az A várostól?

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Iktass be a 2 és az 54 közé két számot úgy, hogy a megadottakkal együtt egy számtani sorozat négy egymást követő tagját kapd eredményül!

B2. Egy számtani sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 123.
A sorozat differenciája 5.
Mennyi a sorozat hatodik tagja?

B3. Egy számtani sorozat első tagja 7, differenciája - 5/6 .
Mennyi a sorozat 20. tagja és az első 20 tag összege?

B4. Egy mértani sorozat második tagja - 1/9 , hányadosa 3.
Mennyi az 5. tag?

B5. Hat sorozatot megadtunk az általános tagjával.
Írj az általános tagok alá S betűt, ha az számtani, M betűt, ha az mértani sorozatot határoz meg, és E betűt, ha az előbbiek egyike sem érvényes!
Minden helyre írj legalább egy betűt! (n ! N+)
an = 6n
bn = 6
cn = n⁶
dn = 6ⁿ
en = 6 +n
fn = n - 6

B6. Mennyi lehet annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek 3. tagja -7, 5. tagja -112?

B7. Határozd meg a kétjegyű páratlan számok összegét!
Megoldásod részletezd!

B8. Melyik az az 50. pozitív egész szám, ami 7-tel osztva 3 maradékot ad?

B9. Egy mértani sorozat első tagja 4, hányadosa 2.
Az első 100 tag közül hány olyan tagja van a sorozatnak, amelyik
a) 2-nek hatványa?
b) 4-nek hatványa?

B10. Egy sorozat első tagja -9, második tagja 4.
Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő.
Add meg a sorozat további öt tagját!

B11. Igaz-e, hogy a

$sqrt(5) ; sqrt(20) ; sqrt(45)$ lehetnek egy számtani sorozat egymást követő tagjai?
Megoldásod részletezd!

B12. Valaki a bankban 2 millió forintot helyez el kamatos kamatra, és a bank évi 8% kamatot ad.
Mennyi pénze lesz az illetőnek ezen a számlán 2 teljes év elteltével, ha más összeget nem tesz be és nem vesz ki időközben?

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. Adott négy számsorozat (n ∈ N+):
a_n = 5 - 2n;
b_n = 3 ∙ 0,8ⁿ;
c_n = n(n + 1);
d_n = 7.
Töltsd ki a táblázatot a megadott sorozatokra vonatkozóan!
Az utolsó két sorba írt válaszaidat indokold!

	a_n	b_n	c_n	d_n
1. tag
2. tag
3. tag
4. tag
Számtani sorozat? (igen/nem)
Mértani sorozat? (igen/nem)

Q2. Egy cirkuszban a nézők összesen 12 sorban ülhetnek.
Minden sorban az azt megelőző sorhoz képest 10 hellyel van több.
Az utolsó sorban 210 az ülőhelyek száma.
a) Hány ember fér el a nézőtéren?
Az egyensúlyozóművész egy üvegpoharat helyez el egy tálcán, arra tesz egy újabb tálcát, amin aztán két újabb poharat helyez el, majd arra egy újabb tálcát, amire már három poharat tesz.
Így folytatva minden egyes újabb tálcára eggyel több poharat helyez, mint az előtte lévőn volt.
b) Hány tálcát kell egymás fölé halmoznia, ha összesen 66 poharat akar elhelyezni?
A cirkusz vezetése úgy dönt, hogy egy adott napon mindenkinek egységesen 1500 forintos kedvezményes áron kínálja a belépőt.
Egy telt házas előadást követően a bevétel 25 százalékát kifizetik a költségekre, és a maradékot bankban helyezik el.
A bank havi 1%-os kamatos kamatozású betétet biztosít.
c) Mennyi pénz lesz egy teljes év elteltével ezen a bankszámlán, ha (az egyetlen telt házas előadásból adódó nettó bevételen kívül) más összeget erre a számlára nem helyeznek el?

Q3. Egy mértani sorozat harmadik tagja -2, hatodik tagja 250.
a) Határozd meg a sorozat tizedik tagját!
b) Számítsd ki a sorozat első tíz tagjának összegét!
c) Tekintsük a sorozat első 20 tagját.
E tagok közül a páros indexű tagok összegét jelölje A, a páratlan indexű tagok összegét B.
Határozd meg az A/B hányados értékét!
Válaszod tovább már nem egyszerűsíthető valódi tört alakjában add meg!

Q4. a) Mennyi pénzt helyezett el eredetileg egy befektető a bankban kamatos kamatra, ha 10 év letelte után 7%-os éves kamat mellett 32 millió forint volt ezen a számláján, és a 10 év során nem nyúlt ehhez a számlához?
b) A 6%-os éves kamatra elhelyezett kamatos kamatozású bankbetét értéke hány év alatt másfélszereződik meg, ha közben semmilyen tranzakciót nem hajtunk végre a számlán?
c) Hány százalékos éves kamatozást ígérő bankban duplázódhat meg a pénzünk 20 év alatt, ha kamatos kamatra kötjük le?
d) Egy befektető 6 éven keresztül minden év elején 1 200 000 Ft-ot helyez el a gyűjtőszámláján, évi 8%-os kamatos kamatra.
Mennyi pénz lesz ezen a számlán a 6. év végére?

Q5. Egy számtani sorozat első tagja 7, differenciája -9.
a) Tagja-e a sorozatnak a -472?
b) Legalább hány tagot adtunk össze, ha az összeg kisebb, mint -4300?
c) Határozd meg az első 30 tag abszolút értékének az összegét!

FELADATOK II. RÉSZ

R1. A magyarországi autók rendszáma 2022-ig 3 betűből és 3 számjegyből állt.
Hány olyan rendszám létezett 2022-ig, amelynek
a) három betűje SAM, és a 3 szám sorrendben egy növekvő számtani sorozat egymást követő 3 tagja;
b) három betűje MER, és a 3 szám sorrendben egy növekvő mértani sorozat egymást követő 3 tagja?

R2. Néhány szakasz hossza (cm-ben mérve) olyan számtani sorozat egymás után következő tagjai, amelynek differenciája 3, és ezek közül a legrövidebb szakasz hossza 2,3 cm.
A szakaszok hosszának összege 158 cm.
a) Hány szakaszról van szó? Milyen hosszú ezek közül a leghosszabb?
Egy számtani sorozat első és második tagjának összege 48.
A második, harmadik és negyedik tagjának összege 54.
b) Hányszorosa az első 10 tag összege a második 10 tag összegének?

R3. Adott a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 2^{x - 4}, valamint g(x) = 2^{x - 4} függvény.
a) Ábrázold a megadott függvények grafikonját derékszögű koordináta-rendszerben!
b) Add meg a függvények értékkészletét és zérushelyét! Jellemezd a függvényeket monotonitás szempontjából!
Tekintsük a pozitív egész számok halmazára leszűkített f és g függvényt.
Vizsgáld az így kapott a_n = 2^{n - 4}, valamint b_n = 2^{n - 4} (n ! N+) sorozatokat!
c) Mértani sorozat-e az {an}, valamint a {bn} sorozat? Indokold a válaszod!
d) Amennyiben {an} vagy {bn} mértani sorozat, akkor add meg a sorozat első 10 tagjának összegét, valamint első 10 tagjának szorzatát!

R4. Szerencsés Flórián nyert a lottón 5 millió forintot, de annyira szerencsés, hogy az 5 év múlva esedékes nyugdíjazásáig megél a jelenlegi keresetéből.
Azon töri a fejét, hogy mi legyen a nyeremény sorsa.
a) Otthon tartja 5 éven keresztül a pénzt.
Mennyi lesz a pénzének a vásárlóértéke 5 év múlva, ha az éves átlagos infl áció 6% (ami azt jelenti, hogy a pénz vásárlóereje minden évben az előző évhez képest a 100/106-od részére csökken)?
b) Bankba teszi a teljes összeget évi 8% kamatos kamatozású betétre.
Mennyi pénzhez juthat így 5 év múlva? Ennek az összegnek mennyi lesz a vásárlóértéke az a) részben leírt feltételekkel?
c) A nyeremény mellé felvesz 1 500 000 Ft hitelt, és ebből az összegből napelemet csináltat a háza tetejére.
A hitelt 4 év alatt, 4 egyenlő részletben törleszti.
Mekkora a törlesztőrészlet, ha a hitel kamata évi 9%?

R5. (Középszintű érettségi feladat 2020 nyomán)
Egy kutató (a 2000 óta mért adatok alapján tett) egyik feltételezése szerint a 2018 utáni néhány évtizedben a globális éves középhőmérséklet alakulását a következő függvénnyel lehet előre jelezni: g(t) = 15,92 ∙ 1,002^t.
Ebben a képletben t jelöli a 2018 óta eltelt évek számát, g(t) pedig az adott év becsült középhőmérsékletét Celsius-fokban (0 ≤ t).
Ezt a modellt alkalmazva
a) számítsd ki, hogy mennyi volt az éves középhőmérséklet 2018-ban;
b) számítsd ki, hogy mennyi lesz az éves középhőmérséklet 2024-ben;
c) számítsd ki, hogy melyik évben lesz az éves középhőmérséklet 16,7 °C!
Adott a [-2; 2] intervallumon értelmezett f(x) = 2^x - 2 függvény.
d) Vázold a függvény grafikonját, majd határozd meg a függvény zérushelyét és értékkészletét!

2024. november 1., péntek

49. Geometria 2. (Síkgeo és térgeo)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK, SÍKBELI ÉS TÉRBELI ALAKZATOK

D	Geometriai transzformáció	Kölcsönösen egyértelmű leképezés, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is ugyanaz a ponthalmaz.
D	Egybevágósági transzformáció	Olyan geometriai transzformáció, amely távolságtartó, azaz bármely két pont távolsága egyenlő a képeik távolságával. A sík egybevágósági transzformációi: tengelyes tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás, illetve ezek egymás utáni elvégzése.
D	Tengelyesen szimmetrikus alakzat	Ha egy síkidomhoz van olyan egyenes, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor a síkidom tengelyesen szimmetrikus.
	Tengelyesen szimmetrikus síkidomok	Tengelyesen szimmetrikus síkidomok például: egyenlő szárú háromszög, szabályos háromszög, négyzet, téglalap, rombusz, deltoid, húrtrapéz, kör.
D	Középpontos szimmetria	Ha egy síkidomhoz van olyan pont, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor a síkidom középpontosan szimmetrikus.
	Középpontosan szimmetrikus síkidomok	Középpontosan szimmetrikus síkidomok például: négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma, kör.
	Forgásszimmetria	Ha van olyan 0°-nál nagyobb és 360°-nál kisebb szögű elforgatás, amely egy síkidomot önmagába visz át, akkor a síkidom forgásszimmetrikus. Ilyenkor a legkisebb alkalmas a szögre hivatkozunk, és azt mondjuk, hogy az alakzat a szögű forgásszimmetriával rendelkezik.
	Forgásszimmetrikus síkidomok	Forgásszimmetrikus síkidomok: szabályos háromszög, négyzet, téglalap, szabályos sokszög, kör.
D	Egybevágóság	Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi.
T	Háromszögek egybevágóságának alapesetei	Két háromszög egybevágó, ha a két háromszög – egy-egy oldalának hossza és az ezeken fekvő két szög nagysága páronként egyenlő; – két-két oldalának hossza és az általuk közbezárt szög nagysága páronként egyenlő; – két-két oldal hossza és közülük a hosszabbikkal szemben fekvő szög nagysága egyenlő; – a három oldalának hossza páronként egyenlő.
D	Középpontos hasonlósági transzformáció	Adott O pont (a hasonlóság középpontja) és k pozitív valós szám (a hasonlóság aránya) esetén: az O pont képe önmaga (azaz O = Ol); a tér – bármely O ponttól különböző – P pontjához hozzárendeljük a Pl pontot, amely az OP félegyenesének azon pontja, amelyre igaz, hogy az OPl szakasz hossza az OP szakasz hosszának k-szorosa, azaz k = OP'/OP. Ha 1 < k, akkor a transzformáció középpontos nagyítás, ha k < 1, akkor középpontos kicsinyítés, ha k = 1, akkor egybevágóság. Ha k negatív valós szám, akkor a transzformáció a ;k; arányú, O középpontú középpontos hasonlóság és egy O középpontú tükrözés egymásutánja. Például:
	Középpontos hasonlóság	Két alakzatot középpontosan hasonlónak nevezünk, ha a két alakzathoz van olyan középpontos hasonlóság, amely az egyiket a másikba viszi át.
D	Hasonlósági transzformáció	Olyan geometriai transzformáció, amely aránytartó, vagyis amely transzformáció esetén bármely két pont távolságának és a képeik távolságának az aránya állandó. A hasonlóság arányszámának abszolút értéke megadja, hányszorosára változnak az egyes távolságok a transzformáció során.
T	Hasonlósági transzformáció	Minden hasonlósági transzformáció előállítható egy középpontos hasonlósági transzformáció és egy egybevágósági transzformáció egymásutánjaként.
D	Síkidomok hasonlósága	Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha hasonlósági transzformációval egymásba vihetők.
T	Síkidomok hasonlósága	Bármely két azonos oldalszámú szabályos sokszög hasonló. Bármely két kör hasonló.
T	Háromszögek hasonlóságának alapesetei	Két háromszög hasonló, ha a két háromszögben – két-két szög nagysága páronként egyenlő; – két-két megfelelő oldal hosszának aránya és az általuk közbezárt szög nagysága egyenlő; – két-két megfelelő oldal hosszának aránya és közülük a nagyobbikkal szemben fekvő szög nagysága egyenlő; – a három oldal hosszának aránya páronként egyenlő.
T	Arányok hasonló síkidomok, hasonló testek esetén	Ha két síkidom hasonló, és a hasonlóság arányszáma k, akkor a két síkidom kerületének aránya \|k\|, a két síkidom területének aránya k². Ha két test hasonló, és a hasonlóság arányszáma k, akkor a két test felszínének aránya k², a két test térfogatának aránya \|k\|³.
D,T	A háromszög középvonala	A háromszög egy középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos a szemközti oldallal, és feleolyan hosszú.
T	Pitagorasz-tétel	A derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével.
T	A Pitagorasz-tétel megfordítása	Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
T	Thalész-tétel	A kör átmérője a körvonal bármely pontjából – kivéve az átmérőkét végpontját – derékszög alatt látszik.
T	A Thalész-tétel megfordítása	Ha az AB szakasz egy C pontból derékszögben látszik, akkor a C pont rajta van az AB átmérőjű körvonalon.
T	Körérintő, sugár	A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra.
T	Érintőszakaszok	A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak.
D	Középponti szög	Olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontja.
T	Középponti szög, körív, körcikk területe	Adott körben a középponti szögek nagysága és az ezekhez tartozó ívek hossza között egyenes arányosság van. Adott körben a középponti szögek nagysága és az ezekhez tartozó körcikkek területének nagysága között egyenes arányosság van.
D	Hegyesszögek függvényei (a a derékszögű háromszög egyik hegyesszöge)	sin a = a szöggel szemben lévő befogó hossza /átfogó hossza cos a = a szög melletti befogó hossza/ átfogó hossza tg a = a szöggel szemben lévő befogó hossza/a szög melletti befogó hossza
D	90°-os szög szögfüggvényei	sin 90° = 1 cos 90° = 0
D	Szögfüggvények kiterjesztése tompaszögre	90° < a < 180° esetén: sin a = sin(180° - a) cos a = -cos(180° - a) tg a = -tg(180° - a)
T	Pótszögek szögfüggvényei	sin a = cos(90° - a) cos a = sin(90° - a)
T	Ugyanazon szög szögfüggvényeinek kapcsolata	sin2 a + cos2 a = 1 tg a = sin a/cos a a ≠ 90°
T	Szinusztétel	A háromszögben két oldal hosszának aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszának az arányával. A szokásos jelölésekkel: a/b = sin a/sin b
T	Koszinusztétel	A szokásos jelölésekkel: c² = a² + b² - 2 * a * b * cos c
T	A háromszög területképletei	T = am_a/2, ahol ma az a oldalhoz tartozó magasság hossza. T = ab*sin c/2, ahol a és b a háromszög oldala, c az a és b oldalak által közbezárt szög.
T	Négyszögek területképletei	Tparalelogramma = a ∙ ma, ahol ma az a oldalhoz tartozó magasság hossza. T_paralelogramma = a ∙ b sin c, ahol a és b a paralelogramma oldalainak hossza, c az a és b oldalak által közbezárt szög nagysága. Tdeltoid = ef/2, ahol e és f a deltoid átlóinak hossza. T_trapéz = (a + c)/2m, ahol a és c a trapéz alapjainak, m pedig a trapéz magasságának a hossza.
T	A kör kerülete, területe	Az r sugarú kör kerülete: K = 2rπ; területe: T = r²π
T	A körcikk területe	T = r²π/360°*a, ahol r a kör sugarának hossza, a a körcikk középponti szögének fokban megadott nagysága.
T	Testek felszíne	Hasáb, gúla, csonkagúla felszíne: a testet határoló lapok területének összege. A_forgáshenger = 2r² ∙ π + 2r ∙ π ∙ M A_forgáskúp = r2 ∙ π + 2r ∙ π ∙ a A_csonkakúp = π[R² + (R + r) ∙ a + r²] A_gömb = 4r² ∙ π
T	Térfogat	V_hasáb = T_alaplap ∙ M V_gúla = T_alaplap * M/3 V_csonkagúla = M/3(T + √(Tt) + t) Vgömb = 4/3r³π V_forgáshenger = r² ∙ π ∙ M V_forgáskúp = r²πM/3 V_csonkakúp = M*π/3(R² + Rr + r²)

KIDOLGOZOTT FELADAT

4. Egy függőhíd tartószerkezete körívet alkot.
A híd hossza (a körív két vége közötti távolság) 750 méter, és az ív a legmagasabb ponton 120 méteres magasságban emelkedik a hídpálya fölé.
Mekkora a híd ívének sugara?

5. Számítsd ki az ismeretlen szakaszhosszokat és a megjelölt szögeket!
A keresett hosszúságokat két tizedesjegy pontossággal, a szögeket egy tizedesjegy pontossággal határozd meg!

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Egy épület tervrajzán egy 2 cm hosszúságú szakasz jeleníti meg az 5 m hosszú folyosót.
Hány centiméter a rajzon a folyosó szélessége, ha a valóságban 1,8 m széles?

B2. Az r sugarú körvonal egyik pontjából kiinduló két merőleges húr hossza 5 cm, valamint 7 cm.
Add meg az r értékét cm-ben kifejezve két tizedesjegy pontossággal!

B3. Az ABCD téglalap AB oldalának hossza 26 egység, az AC átló az AB oldallal 24,7° nagyságú szöget zár be.
Mekkora a téglalap BC oldalának hossza?
A választ egy tizedesjegyre kerekítve add meg!

B4. Egy kör kerülete 16 m.
Mekkora középponti szög tartozik ebben a körben a 14 m hosszúságú körívhez?

B5. Egy szabályos négyoldalú gúla oldalélének hossza háromszorosa a gúla alaplapján lévő átlónak.
Mekkora szöget zár be az oldalél az alaplappal?
Válaszod fokban, egy tizedesjegyre kerekítve add meg!

B6. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Ha egy háromszöget 4-szeresére nagyítunk, akkor a szögei is 4-szeresére növekednek.
B: Minden szabályos sokszög középpontosan szimmetrikus.
C: Ha egy ötszöget felére kicsinyítünk, akkor területe negyedére csökken.
D: A téglalapnak 4 szimmetriatengelye van.

B7. Egy kör alakú, 3 méter átmérőjű virágágyást 0,5 méter szélességben zúzott kővel vesznek körbe.
Mekkora a zúzott kővel borított rész területe?

B8. Egy paralelogramma átlóinak hossza 10 cm és 16 cm, az átlók által bezárt szög nagysága 60°.
Mekkora a paralelogramma rövidebb oldalának hossza cm-ben kifejezve, egy tizedesjegy pontossággal?

B9. Egy henger alakú tartályba 37 700 liter vizet töltöttek, és így a folyadék felszíne 30 cm magasan van az alaplaptól számítva.
Hány centiméter a tartály belső átmérője?

B10. Egy kocka nagyítása során a felszíne a 64-szeresére növekszik.
Hányszorosára nő ugyanekkor a kocka térfogata?

B11. Egy háromszög oldalainak hossza 10 cm, 24 cm, valamint 26 cm.
Derékszögű-e a háromszög középvonalai – mint oldalak – által alkotott háromszög?
Válaszod indokold!

B12. Egészítsd ki a mondatokat a vonalakra írt szavakkal, kifejezésekkel vagy számokkal úgy, hogy igazak legyenek az állítások!
a) A 28° nagyságú szög szinusza ugyanakkora, mint a nagyságú szög koszinusza.
b) A kör érintője és az érintési pontba húzott sugár .
c) Ha két háromszög két-két szögének nagysága páronként egyenlő, akkor a háromszögek egymással .
d) A tompaszögek koszinusza , mint 0.

FELADATOK II. RÉSZ

P1. A 8 cmg3 sűrűségű nemesacélból készült kézi súlyzók egyik típusának markolata olyan forgáshenger, amelynek átmérője 28 mm.
A súlyzó egésze tömör szerkezetű, és a súlyzóvégek szorosan illeszkednek a markolatra.
A súlyzó teljes hossza 28 cm, ebből a markolat 18 cm hosszú.
A súlyzó össztömege 10 kg.
a) Határozd meg a henger alakú súlyzóvégek átmérőjének nagyságát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve!
b) A kényelmesebb használat érdekében a súlyzó teljes felületét speciális, bőrbarát lakkréteggel vonják be.
Mennyibe kerül egy ilyen súlyzó bevonása, ha mindenhol egyenletes vastagon vonják be, és az 1 dm2-re számolt réteg ára 80 Ft?

P2. Egy szabályos nyolcszög oldalának hossza 12 egység.
a) Számítsd ki a nyolcszög legrövidebb és leghosszabb átlójának hosszát!
b) Hogyan aránylik egymáshoz a nyolcszögbe, valamint a nyolcszög köré írható kör területe?
c) Egy ilyen nyolcszög alapú egyenes hasáb magassága 10 egység hosszúságú. Mekkora a hasáb térfogata?

P3. Bendegúz egyik rajzórai feladatát nagyrészt vonalzó és körző segítségével készítette.

Szabadkézzel csak a virág levelét rajzolta.
A cserepes növény virágzatát egy 3 cm sugarú körben egy 255° középponti szögű körcikkel formázta meg.
A cserépedény alakját úgy alakította ki, hogy két, egy-egy 7 cm hosszúságú alapjával egymáshoz illesztett szimmetrikus trapézt rajzolt.
Az alsó trapéz másik alapja 6 cm, a felső trapéz másik alapja 8 cm hosszúságú.
Az alul lévő trapéz rövidebbik alapján lévő szöget 95°, a felül lévő trapéz rövidebbik alapján lévő szöget 105° nagyságúra szerkesztette.
a) Mekkora nagyságú területet színezett be összesen, ha a virágzat, valamint a cserép színezésével készült el?
b) Bendegúz később elárulta, hogy úgy választotta meg a rajzon a cserép méreteit, hogy az minél inkább hasonlítson az anyukája egyik kedvenc virágát tartó cseréphez.
Felhasználta ugyanis, hogy a cserép olyan csonka kúpokból áll össze, amelyeknek a rajzon a tengelymetszetei jelennek meg negyedére kicsinyített formában.
Hány liter virágföld fér a kedvenc virágot tartó cserépbe, ha azt éppen színültig töltik?

P4. Egy gömb sugara 10 cm hosszúságú.
a) Mekkora a gömb térfogatával megegyező térfogatú félgömb sugara?
b) Mekkora a gömb középponttól 5 cm-re lévő síkmetszet területe?
c) Milyen távolságban van a gömb középpontjától az a síkmetszet, amelynek feleakkora a kerülete, mint a gömb főkörének kerülete?

P5. Az ABC háromszög BC oldalán úgy helyeztük el a P1 és P2, valamint AC oldalán a Q1 és Q2 pontokat, hogy BP1 = P1P2 = P2C, valamint AQ1 = Q1Q2 = Q2C.
Tudjuk, hogy AB = 6 cm.
a) Mekkora a P1Q1, valamint P2Q2 szakaszok hossza?
b) Hányad része az ABC háromszög területének a Q1Q2P2P1 trapéz területe?

49. Geometria 3. (Koordináta-geo)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

VEKTOROK, KOORDINÁTAGEOMETRIA

D	Irányított szakasz	Irányított szakaszt kapunk, ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük, egyik a kezdőpont, másik a végpont.
D	Vektor	Azonos irányú, azonos hosszúságú irányított szakaszok ugyanazt a vektort határozzák meg.
D	Vektor abszolút értéke	A vektor kezdőpontjának és végpontjának a távolságát a vektor abszolút értékének (a vektor hosszának) nevezzük.
D	Vektorok egyenlősége	Két vektor egyenlő, ha azok iránya megegyezik, és az abszolút értékük egyenlő.
D	Nullvektor	A nullvektor az a vektor, amelynek kezdő- és végpontja egybeesik, iránya tetszőleges. A nullvektor abszolút értéke 0.
D	Vektorok összege	Ha egy vektor ugyanazt az eltolást hozza létre, mint az a vektorral és b vektorral való eltolás egymásutánja, akkor ezt a vektort az a és a b vektor összegének nevezzük.
D	Vektorok különbsége	A c = a - b vektor az a és b különbségvektora, ha az a vektor a b és c vektor összege.
D	Vektor számszorosa	Az a vektor m valós számmal vett szorzata a m ∙ a vektor, amely az a vektorral párhuzamos, hossza az a hosszának ;m;-szerese, iránya az a irányával megegyezik, ha 0 1 m; az a irányával ellentétes, ha m 1 0; tetszőleges, ha m = 0 (ekkor a m ∙ a = 0 ∙ a = 0, vagyis a nullvektor).
D	Ellentett vektor	Két vektor egymás ellentettje, ha hosszuk egyenlő, irányuk ellentétes. Az a vektor ellentettje a (-1) ∙ a vektor, rövidebben -a vektor.
T	Vektor koordinátái	A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben bázisvektoroknak nevezzük az origóból az (1; 0) pontba mutató i és a (0; 1) pontba mutató j egységvektorokat. A sík bármely a vektora egyértelműen felírható az i és j bázisvektorok segítségével a = a1i + a2j alakban. Ekkor az a koordinátái: a(a1; a2)
T	Műveletek vektorokkal	a(a1; a2) és b(b1; b2) vektorok, c valós szám: a + b (a1 + b1; a2 + b2) a - b (a1 - b1; a2 - b2) c ∙ a(c ∙ a1; c ∙ a2)
T	Vektor hossza	A derékszögű koordináta-rendszerben az a(a1; a2) vektor hossza: ;a;= a
D	Pont koordinátái	Egy pont koordinátái megegyeznek az origóból a pontba mutató vektor (helyvektor) koordinátáival.
T	AB vektor koordinátái	Az A(a1; a2) és B(b1; b2) pontok esetén AB (b1 - a1; b2 - a2).
T	Két pont távolsága	Az A(a1; a2) és B(b1; b2) pontok távolsága egyenlő az AB vektor hosszával: AB AB b a b a 1 1 2 2 2 = = ^ - h +^ - h2
T	Felezőpont	Az A(a1; a2), B(b1; b2) végpontú szakasz felezőpontja: F a b ; a b
D	Alakzat egyenlete	Egy alakzat egyenlete a síkban olyan x és y változókat tartalmazó egyenlőség (vagy egyenlőtlenség), melyet azoknak és csak azoknak a P(x; y) pontoknak a koordinátái tesznek igazzá, amelyek illeszkednek az alakzatra.
T	Egyenes egyenlete	Minden, az y tengellyel nem párhuzamos egyenes egyenlete felírható y = mx + b alakban, ahol m az egyenes meredeksége (iránytangense), és az egyenes az y tengelyt a (0; b) pontban metszi (m ! R, b ! R). Az y tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete x = c alakú (c ! R).
T	Merőlegesség, párhuzamosság	Két egyenes párhuzamos, ha meredekségük egyenlő, vagy ha párhuzamosak az y tengellyel. Két egyenes merőleges egymásra, ha meredekségeik szorzata -1, vagy ha az egyik párhuzamos az x tengellyel, a másik párhuzamos az y tengellyel.
T	A kör egyenlete	Ha a kör középpontja C(u; v), és sugara r, akkor a kör egyenlete: (x - u)2 + (y - v)2 = r2
M	Egyenesek metszéspontja	Az egyenesek egyenletéből álló kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásai adják a közös pont koordinátáit. (Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az egyeneseknek nincs közös pontja.)

KIDOLGOZOTT FELADAT

6. Adottak az ABC háromszög csúcsai: A(-5; 3), B(-1; 0) és C(4; 12).
a) Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát!
b) Számítsd ki a B csúcsnál lévő belső szög nagyságát!
c) Írd fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenesének egyenletét!

7. Az e egyenes meredeksége -3, és az y tengelyt a (0; 6) pontban metszi.
a) Írd fel az egyenes egyenletét!
b) Írd fel annak az f egyenesnek az egyenletét, amely merőleges e-re, és az x tengelyt a (-5; 0) pontban metszi!
c) Határozd meg az e egyenes és az y = 2x - 9 egyenletű g egyenes metszéspontjának koordinátáit!
d) Az e egyenes a koordinátatengelyekkel együtt egy derékszögű háromszöget hoz létre.
Mekkora ennek a háromszögnek a területe?
e) Írd fel a d) részben leírt derékszögű háromszög Th alész-körének egyenletét!
Számolással igazold, hogy az origó illeszkedik erre a körre!

Megoldás

a) A szokásos jelölésekkel: me = -3, b = 6, ezért az egyenes egyenlete y = -3x + 6.
b) Mivel az e és az f egyenesek nem párhuzamosak az y tengellyel, ezért akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha meredekségeik szorzata -1, ezért az e egyenes me és az f egyenes mf meredekségére: me ∙ mf = -1, amiből m 31f = .
Az f egyenes az x tengelyt a -5-ben metszi, vagyis az egyenesre illeszkedik az A(-5; 0) pont.
Az előbbi adatokkal az y = mx + b alakú egyenletbe helyettesítéssel:
0 3 b= 1 $ ]-5g+ adódik, így b 3= 5 .
Tehát az f egyenes egyenlete: y x 3.
c) Az e és a g egyenesek metszéspontját jelöljük B-vel!
A B pont koordinátáit az egyenesek egyenletéből álló, kétismeretlenes, elsőfokú egyenletrendszer megoldása adja.
Az egyenlő együtthatók módszerét használva, a két egyenlet különbsége 0 = 5x - 15, amiből x = 3 adódik.
Visszahelyettesítéssel számolható a másik ismeretlen értéke: y = -3.
A metszéspont tehát: B(3; -3).
d) Az e egyenesnek az x tengellyel alkotott metszéspontja az egyenes egyenletéből az y = 0 helyettesítéssel számolható, így 0 = -3x + 6 miatt x = 2.
A tengelyekkel alkotott metszéspontokból adódóan a létrejött derékszögű háromszög befogóinak hossza 6 és 2 egység, ezért a háromszög területe T 2 = 6 $ 2 = 6 területegység.

e) A derékszögű háromszög átfogója a Thalész-körének egy átmérője, ezért a kör egyik átmérőjének végpontjai az e egyenes tengelymetszetei, vagyis (az ábra jelöléseit használva) P(2; 0) és Q(0; 6).

A kör C középpontja a PQ szakasz felezőpontja, így C(1; 3), valamint sugarának hossza a PQ szakasz hosszának felével egyenlő.
A PQ szakasz hossza a Pitagorasz-tétellel számolva: PQ = 22 + 62 = 40 = 2 10 , vagyis a sugár hossza r = 10 .
Az előbbiek felhasználásával a kör egyenlete: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 10 Az origó koordinátáit a kör egyenletébe helyettesítve (0 - 1)2 + (0 - 3)2 = 10, amiből 10 = 10 adódik, vagyis fennáll az egyenlőség. Ezzel beláttuk, hogy az origó koordinátái kielégítik a kör egyenletét, tehát az origó rajta van a körön.

FELADATOK I. RÉSZ

C1. Határozd meg az A(-3; 8) és B(7; -2) végpontú szakasz felezőpontjának koordinátáit!

C2. Adottak az a(-3; 8) és b(7; -2) vektorok. Számítsd ki a 2a, az a + b, valamint a b - a vektorok koordinátáit!

C3. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(-5; 4) pont, és a körvonal egyik pontja az origó!

C4. Milyen hosszú a PQ szakasz, ha P(-6; 9) és Q(-1; -3)?

C5. Hol metszi az y = 4x - 3 egyenletű egyenes az x tengelyt?

C6. Adott az e: y = 5x - 7 és az f: y = k · x + 3 egyenletű egyenes.
Milyen k valós szám esetén merőleges egymásra a két egyenes?

C7. Válaszd ki, és jelöld aláhúzással a dőlten szedett szavak közül azt, amely igazzá teszi az állítást!
a) Az AB vektorban a B pont a vektornak a kezdőpontja / végpontja.
b) Ha egy körnek és egy egyenesnek egy közös pontja van, akkor az egyenes a kört elkerüli / érinti / metszi.
c) Ha két vektor egymással párhuzamos, akkor egymásnak biztosan az ellentettjei / a számszorosai
d) Az x2 + (y - 5)2 = 100 egyenletű kör középpontja illeszkedik a koordináta-rendszer x tengelyére / y tengelyére / origójára.

C8. Az ]x - 2g2 +]y + 5g2 = 9 egyenletű körvonalra illeszkedik-e a P(0; -3) pont?
Válaszod indokold!

C9. Az ABCD négyzet AB oldalvektorát jelölje b, és AD oldalvektorát jelölje d.
Legyen H a BC oldal B-hez közelebb lévő harmadolópontja. Állítsd elő az AH vektort a b és d vektorok segítségével!

C10. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Két vektor összege lehet rövidebb az eredeti két vektor mindegyikénél.
B: Ha két egyenes meredeksége egyenlő, akkor az egyenesek párhuzamosak egymással.
C: Ha egy pont egyenlő távolságra van a két koordinátatengelytől, akkor a pont két koordinátája egyenlő.
D: Egy vektor -3-szorosának hossza az eredeti vektor hosszának 3-szorosa.

C11. Írd fel az m 3 =- 2 meredekségű, P(4; -2)ponton átmenő egyenes egyenletét!

C12. A rajzon lévő vektorok mindegyike rácspontból indul, és rácspontban végződik.
Írd a pontok helyére egy-egy vektor betűjelét úgy, hogy helyesek legyenek az egyenlőségek!

a) a + b = ….
b) e - a = ….
c) b = -2 · ….
d) a = 0,5 · ….

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. A koordinátasík három helyvektora a(5; 4), b(-1; 2) és c(-6; -3).
a) Rajta van-e az a végpontja az e: y 7 x 8 egyenletű egyenesen?
b) Illeszkedik-e a b végpontja a k: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 36 egyenletű körvonalra?
c) Melyik vektor hosszabb: az a + b vagy a c - a?

Q2. Tekintsük a koordináta-rendszer A(-17; 9), B(12; 11) és C(7; -1) pontjait.
a) Számítással igazold, hogy a háromszög C csúcsánál lévő szög derékszög!
b) Írd fel az AC oldal felezőmerőlegesének egyenletét!
c) Mekkora a háromszög és a háromszög köré írható kör területének aránya?

Q3. Adott az e: y 2 x 3 11 3 egyenletű egyenes és a k: (x - 6)2 + (y + 9)2 = 169 egyenletű kör.
a) Add meg a kör középpontjának koordinátáit!
b) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a kör középpontjára, és merőleges az e egyenesre! c) Hol metszi a kör az x tengelyt?
d) Határozd meg annak a háromszögnek a szögeit, amelyet a kör középpontja, valamint a kör x tengellyel alkotott metszéspontjai hoznak létre!

Q4. A sík két egyenese: e: y = 2x + 11 és f: y = -0,5x + 3,5.
a) Számítással igazold, hogy a két egyenes merőleges egymásra!
b) Határozd meg a két egyenes metszéspontjának koordinátáit!
c) Tekintsd azokat a négyzeteket, amelyeknek két oldalegyenese az e és f egyenesek, és közös csúcsuk a két egyenes metszéspontja!
Hány ilyen 6 egység oldalhosszúságú négyzet van?
Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkednek ezen négyzetek középpontjai!

Q5. Egy túrázó csapat az indulási és érkezési helyük pozícióját a térképhez rögzített koordináta-rendszerben ábrázolta.
A koordináta-rendszer egységei a valóságban 1 km-nek felelnek meg.
Az indulási helyük a P(3; 2) pontban, az érkezési helyük a Q(11; 17) pontban volt, és a közbeeső utat egyenes vonal mentén tették meg.
a) Hány kilométert haladtak, míg a P pontból a Q pontba jutottak?
Másnap, a továbbhaladás előtt tanácskozni kezdtek:
Aladár azt javasolta, hogy menjenek tovább ugyanebben az irányban, és tegyenek meg ugyanakkora távolságot, mint eddig.
Béla azt mondta, hogy induljanak el az eddigi útirányra merőlegesen, a folyó irányába fordulva (a folyó a koordinátarendszer x tengelye mentén folyik), és menjenek el egészen a folyó partjáig.
Cecil azt szerette volna, ha a folyó egy olyan pontjához jutnak el, ahonnan az eddig megtett PQ útjuk derékszög alatt látszik.
b) Van-e vajon mindhármuk ötletének megfelelő érkezési pont a térképen?
Ha van ilyen pont, akkor határozd meg az egyes úti céloknak megfelelő pontok koordinátáit!
Melyik esetben hány kilométert fognak megtenni a túra következő szakaszában?

FELADATOK I. RÉSZ

D1. Egy derékszögű háromszög átfogója 25 cm, a hozzá tartozó magassága 6,72 cm hosszú.
Mekkora a háromszög területe?

D2. Egy 18 cm sugarú körben megrajzoltunk egy 18 cm hosszú húrt.
Mekkora a húr végpontjai által meghatározott körívekhez tartozó középponti szögek nagysága?

D3. Egy kocka mindegyik sarkáról levágunk egy olyan gúlát, amelynek az oldallapjai derékszögű háromszögek, és alapélei kisebbek, mint a kocka élének fele (lásd az ábrát).

Hány lapja, hány csúcsa és hány éle van a keletkezett testnek?

D4. Számítsd ki a y = -2x - 4 és a y = 3x + 1 egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit!

D5. Az 1 : 30 000 arányú térképen egy tó 2 cm2 területű kék foltként van ábrázolva.
Hány négyzetméter a valóságban a tó víztükrének a területe?

D6. Adott az A(-3; 5) és a B(4; 2) pont.
a) Számítsd ki az AB szakasz hosszát!
b) Add meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!

D7. Döntsd el, hogy az alábbi összefüggések közül – amelyek a mellékelt ábrára vonatkoznak – melyik igaz, melyik hamis!
a) a2 + c2 = b2 + d2
b) m2 = c2 - b2
c) c2 + d2 = a2 + 2ab + b2

D8. Hányszorosára, illetve hány %-kal változik az egyenes hasáb térfogata, ha
a) a magasságát felére csökkentjük, de az alaplapját változatlanul hagyjuk;
b) az alaplapját 0,5-szeresére kicsinyítjük, de a magasságát változatlanul hagyjuk;
c) a hasábot 1,2-szeresére nagyítjuk?

D9. Egy szabályos sokszög egyik külső szöge 15°-os. Hány oldalú ez a sokszög?
Add meg a következő egyenesek meredekségét!
a) y = -4x + 1,6
b) 9x - 9y = 9

D11. Egy deltoidról tudjuk, hogy van két derékszöge.
Melyik kijelentés igaz az alábbiak közül?
A: Ez a deltoid biztosan egy négyzet.
B: Ennek a deltoidnak pontosan három derékszöge van.
C: Ebben a deltoidban a külső szögek összege 360°.
D: Ennek a deltoidnak van körülírt köre.
E: Ebben a deltoidban a belső szögek összege 360°.

D12. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K(-12; 5), sugara pedig r = 13.

FELADATOK II. RÉSZ

R1. Egy háromszög egyik oldala 8,5 cm hosszú, a rajta fekvő két szög 50°-os, illetve 66°-os.
a) Mekkora szögben látszanak a háromszög oldalai a beírt kör középpontjából?
b) Mekkora a háromszög másik két oldala?
c) Mekkora a háromszög területe?

R2. 80 cm hosszúságúra darabolt, 10 cm átmérőjű fahengerekből olyan cölöpöket esztergálnak, amelyeknek a hengeres része ugyancsak 10 cm átmérőjű (lásd az ábrát).
Egy cölöp hossza 77 cm, a csonka kúp alakú rész 5 cm magas, a henger alakú rész 60 cm hosszú.
A cölöp csonka kúp alakú végén lévő kör 5 cm átmérőjű.
A cölöpök külső felületét vízálló lakkal vonják be.
Hány m2 felületet kell belakkozni, ha 15 000 darab cölöpöt gyártanak?
Válaszodat tíz négyzetméterre kerekítve add meg!

R3. Adott a síkban egy kör és rajta kívül egy P pont.
A P pont 34 cm távolságra van a kör középpontjától.
P-ből a körhöz érintőket húzunk, ahol az érintőszakaszok hossza 30 cm.
a) Mekkora a kör sugara?
b) Mekkora szöget zár be egymással a két érintő?
c) Mekkora annak a síkrésznek a területe, amelyet a két érintőszakasz és az érintési pontokat összekötő rövidebb körív határol?

R4. Egy húrtrapéz átlói merőlegesek a trapéz egy-egy szárára.
A trapéz hosszabbik alapja 24 cm-es, egyik szöge 60°-os.
a) Mekkora a trapéz köré írt kör sugara?
b) Számítsd ki a trapéz kerületét!
c) Számítsd ki a trapéz területét!

R5. Az ABC háromszög két csúcsa A(-3; 5) és C(5; 1), az AB oldal felezőmerőlegesének egyenlete y 1 x 3 1.
a) Írd fel az AB egyenes egyenletét!
b) Melyik pont az AB szakasz felezőpontja?
c) Határozd meg a B pont koordinátáit!
d) Írd fel a C-ből induló magasságvonal egyenletét!

FELADATOK II. RÉSZ

S1. Az ABCD négyzet két szemközti csúcsa: A(-3; -2) és C(3; 2).
a) Mekkora a négyzet oldala, kerülete, területe?
b) Írd fel az AC egyenes egyenletét!
c) Írd fel a négyzet beírható körének egyenletét!
d) Írd fel a négyzet köré írható körének egyenletét!

S2. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 13 cm, átlóinak hossza 10 cm, illetve 24 cm.
a) Igazold, hogy a paralelogramma átlói merőlegesek egymásra!
b) Igazold, hogy ez a paralelogramma rombusz!
c) Igazold, hogy az oldalhosszak négyzetének összege egyenlő az átlóhosszak négyzetének összegével!
d) Mekkorák ennek a rombusznak a szögei?
e) Számítsd ki ennek a rombusznak a magasságát!

S3. Egy háromszög két oldalának hossza 16 cm, illetve 7 cm. A 16 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 9 cm.
a) Mekkora a súlyvonal és a 16 cm-es oldal által bezárt szög?
b) Mekkora a háromszög harmadik oldala?
c) Mekkora területű részekre osztja a háromszöget a súlyvonal?

S4. Egy 10 cm belső átmérőjű, 15 dm magasságú forgáshenger alakú tartály tele van folyékony viasszal.
A viaszból annyi 5 cm sugarú gömböt öntünk ki, ahányat csak lehet.
(A fagyás során bekövetkező térfogatváltozástól eltekintünk.)
a) Hány gömböt tudunk így készíteni?
b) A henger térfogatának hányad része marad meg a gömbök elkészítését követően?
c) Hogy aránylik egymáshoz a henger alakú tartály felszíne és a gömbök felszínének az összege?

S5. Az ABC háromszög szabályos, oldalhossza 12 cm, az AB oldalának felezőpontja F.
a) Mekkora távolságra van az F pont a BC oldaltól?
b) Az A, B, C pontok körül 6-6 cm sugarú kört rajzolunk.
A háromszög területének mekkora része nem tartozik hozzá egyik körhöz sem?
c) Az A, B, C pontok körül egy-egy 12 cm sugarú kört rajzolunk.
Mekkora annak a síkidomnak a területe, amelynek pontjai mindhárom körhöz hozzátartoznak?

2024. augusztus 31., szombat

Kezdőoldal

I. TÉRGEOMETRIA

II. SOROZATOK

III. STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

IV. RENDSZEREZŐ ÖSSZEFOGLALÁS

45. Rendszerező összefoglalás
46. Halmazok, logika, kombinatorika, gráfok
47. Számtan, algebra
48. Függvények, sorozatok
49. Geometria
50. Statisztika, valószínűségszámítás

V. PRÓBAÉRETTSÉGI-FELADATSOROK

1. Próbaérettségi-feladatsorok
2. Próbaérettségi-feladatsorok
3. Próbaérettségi-feladatsorok

3. Próbaérettségi-feladatsorok

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

I. rész

1. Hány olyan egész szám van, amelynek abszolút értéke nem nagyobb, mint 5?

2. Egy rombusz átlói 40 cm és 32 cm hosszúak.
Milyen hosszú a rombusz oldala?
Válaszod tizedes tört alakban, két tizedesjegyre kerekítve add meg!

3. Határozd meg, hogy a 3; 4; 6; 4; 5; 8; 10; 5; 4; 7; 10 minta esetében hány százalékkal nagyobb a minta terjedelme a minta félterjedelménél!

4. Egy szabályos tizennégyszög esetében mennyi a
a) belső szögek összege;
b) külső szögek összege?

5. Legyen x egy pozitív egész szám.
Tekintsd a következő állítást:
A: Ha x osztható 5-tel, akkor az ötös számrendszerben az egyesek helyén álló számjegye 0.
a) Mi az A állítás logikai értéke?
b) Fogalmazd meg az állítás megfordítását!
c) Mi a b) részben megfogalmazott állítás logikai értéke?

6. Egy pénzérmét egymás után háromszor feldobunk.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy először fejet dobunk, utána kétszer írást?

7. Az A halmaznak 14 eleme van.
Hány olyan részhalmaza van az A halmaznak, amelynek 3 vagy 4 eleme van?

8. Egy számtani sorozat első tagja 6; differenciája 0,4.
Határozd meg az első 100 tag összegét!

9. Az ábrán egy másodfokú függvény grafikonja látható.

A parabolaív „csúcspontja” rácspont (mindkét koordinátája egész szám), és a parabolára illeszkedik a (4; 0) koordinátájú pont.
a) Add meg a grafikonjával megadott másodfokú függvény hozzárendelési szabályát!
b) Add meg a függvény értelmezési tartományát!
c) Add meg a függvény értékkészletét!

10. Legyen az A halmaz a [2; 6] zárt intervallum, a B halmaz a ]3; 10[ nyílt intervallum.
Add meg intervallumjelőléssel az A , B és az A \ B halmazokat!

11. Pista 28 cm átmérőju pizzát rendelt 2150 Ft-ért, de a kiszállítás után lemérve a pizza átmérője csak 25 cm.
Hány százalékkal kisebb területű pizzát kapott Pista, mint amire számított?
Írd le a számítás menetét!
A végeredményt egy tizedesjegyre kerekítve add meg!

12. Legyen az A esemény az, hogy két dobókockával dobva a dobások összege 6.
Válaszd ki az alábbi események közül az összeset, amellyel az A esemény egymást kizáró eseménypárt alkot!
B: Az egyik dobás eredménye 6.
C: A két dobás szorzata 5.
D: A két dobás különböző, a nagyobbik és a kisebbik dobás különbsége 4.

II. rész „A”

13. Adott a koordináta-rendszerben három pont: A(-3; 2), B(5; 0) és C(2; 5)
a) Írd fel az AB átmérőju kör egyenletét!
b) Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög derékszögű!
c) Az AB átmérőjű körlemezen véletlenszeruen kiválasztunk egy P pontot.
Mennyi a valószínűsége, hogy a P pont az ABC háromszögnek is belső pontja?

14. Egy középiskolai kosárlabda-bajnokságon 8 csapat körmérkozést játszik, vagyis bármely csapat egy-egy meccset játszik minden másik csapattal.
A mérkozések mind ugyanazon a pályán zajlanak, egymás után.
Egy meccsre 15 percet szánnak, és a meccsek közt 5 perces szünetet tartanak.
a) Mennyi ideig tart a bajnokság lebonyolítása?
b) Hányféleképpen alakulhatott az első mérkőzés két részt vevő csapata, ha arra véletlenszeruen választották ki a csapatokat?
c) Déli 12 órára már 9 mérkozés lezajlott a csapatok között.
Igaz-e, hogy ekkor biztosan van olyan csapat, amelyik már 3 meccsen is túl van?
d) Két csapat a 12. a osztály diákjai közül állt össze.
Ha véletlenszeruen választják ki a 8 csapat számára a római számmal ellátott öltözőket (I.; II.; …; VIII.), akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy az I., II. vagy III. öltözők valamelyikét kapja ez a két csapat?

15. Egy szabályos sokszögnek 25-tel kevesebb átlója van, mint az annál kettővel nagyobb oldalszámú szabályos sokszögnek.
a) Hány oldalúak ezek a sokszögek?
b) Mekkora az említettek közül a kisebb oldalszámú szabályos sokszög egy szögének nagysága?
A választ fokban, egy tizedesjegy pontossággal add meg!
c) A nagyobb oldalszámú szabályos sokszög oldalának hossza 20 cm.
Mekkora annak a hasábnak a felszíne és térfogata, amelyiknek az alaplapja egy ilyen sokszög, magassága pedig 6 cm?

II. rész „B”

16. Egy csomagolóüzemben meghibásodott egy gép, és 0,2 valószínűséggel nem ragaszt matricát az éppen összeállított dobozra.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy a hibás gép 12 alkalom közül legfeljebb 2 alkalommal nem ragaszt matricát a dobozra?
Az üzem egyik alkalmazottja úgy dönt, hogy nyit egy új bankszámlát (egy gyűjtőszámlát), és ezen a számlán gyűjti a megtakarításait.
Negyedévente befizet 120 000 Ft-ot erre a számlára.
A számla éves kamata 8%, a számlán negyedévente – az új tétel befizetése előtt – írják jóvá a negyedéves kamatot.
(A következő negyedévben minden alkalommal az addig bent lévo összeg, a jóváírt kamat és az újonnan befizetett összeg is kamatozik.)
b) Mennyi pénz lesz a számlán 3 év múlva, ha 3 év alatt a leírtakon kívül más pénzmozgás nem történik rajta?
c) Az üzem egy másik alkalmazottja néhány évvel ezelőtt bankbetétbe helyezte el 1 500 000 Ft-ját, éves 6%-os kamatos kamatra.
Hány év telt el a lekötés óta, ha most 50%-kal több pénze van ezen a számláján, mint amikor lekötötte a pénzét, és azóta nem nyúlt ehhez a számlához?

17. Egy társasjátékban olyan dobókockákat használnak, amelyeknek egyik oldalán kettő, két oldalán négy és három oldalán hat pötty látható.
a) Töltsd ki a táblázatot, majd határozd meg, hogy mennyi egy dobás várható értéke!
Dobás
A dobás valószínűsége
b) Két ilyen dobókockával dobva mennyi a valószínűsége, hogy a két dobás összege 8?
c) Az események függetlenségének definíciója alapján bizonyítsd be, hogy nem független egymástól a következő két esemény!
A: Két ilyen kockával dobva a dobások összege 8.
B: Két ilyen kockával dobva pontosan egy dobás hatos.

18. Egy laboratóriumban az egyik napon hússzor végeztek el egy mérést.
Gyakorisági táblázatba foglalták a mérési eredményeket.
Mérés eredménye (másodperc) 12,5 13 13,5 14 14,5
Gyakorisága 3 6 5 4 2
a) Készíts a mérési eredményekrol kördiagramot, és add meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek nagyságát!
b) Készíts a mérési eredményekrol dobozdiagramot!
c) Határozd meg a mérési eredmények szórását!
d) Másnap folytatták a méréseket.
Azt tapasztalták, hogy ha a másnapi első két mérési eredménnyel kiegészítik az előző napi eredményeket, akkor az eredmények átlaga 0,1-del megnő.
Mennyi a másnapi két mérési eredmény átlaga?

2024. november 2., szombat

Kezdőoldal

I. TÉRGEOMETRIA

II. SOROZATOK

III. STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

IV. RENDSZEREZŐ ÖSSZEFOGLALÁS

V. PRÓBAÉRETTSÉGI-FELADATSOROK

48. Sorozatok

SOROZATOK

KIDOLGOZOTT FELADAT

Megoldás

Megoldás

Megoldás

FELADATOK I. RÉSZ

FELADATOK II. RÉSZ

FELADATOK II. RÉSZ

2024. november 1., péntek

49. Geometria 2. (Síkgeo és térgeo)

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK, SÍKBELI ÉS TÉRBELI ALAKZATOK

KIDOLGOZOTT FELADAT

Megoldás

Megjegyzés:

Megoldás

Megjegyzés:

FELADATOK I. RÉSZ

FELADATOK II. RÉSZ

49. Geometria 3. (Koordináta-geo)

VEKTOROK, KOORDINÁTAGEOMETRIA

KIDOLGOZOTT FELADAT

Megoldás

Megjegyzés:

Megoldás

FELADATOK I. RÉSZ

FELADATOK II. RÉSZ

FELADATOK I. RÉSZ

FELADATOK II. RÉSZ

FELADATOK II. RÉSZ

2024. augusztus 31., szombat

Kezdőoldal

I. TÉRGEOMETRIA

II. SOROZATOK

III. STATISZTIKA, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

IV. RENDSZEREZŐ ÖSSZEFOGLALÁS

V. PRÓBAÉRETTSÉGI-FELADATSOROK

3. Próbaérettségi-feladatsorok

I. rész

II. rész „A”

II. rész „B”